固体物理(第3章)

1、3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动的研究晶格振动的研究 晶体的热学性质晶体的热学性质 固体热容量固体热容量 热运动是晶体宏观性质的表现热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律 一摩尔固体有一摩尔固体有N个原子，有个原子，有3N个振动自由度，按能个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量摩尔热容量()VTECT3ENkT总的内能总的内能3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正

2、坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质晶格振动晶格振动 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础研究固体宏观性质和微观过程的重要基础晶格振动晶格振动 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系导电性、磁性、结构相变有密切关系 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降摩尔热容量摩尔热容量 与温度无关与温度无关33VCNkR 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-1 简

3、谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 简谐近似简谐近似 只考虑最近邻原子之间的相互作用只考虑最近邻原子之间的相互作用)(tn研究对象研究对象 由由N个质量为个质量为m的原子组成的晶体的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量偏离平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置( )nnnRRt(1, 2, 3)niinR第第n个原子的平衡位置个原子的平衡位置3个方向上的分量个方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质( )itN个原子的位移矢量个原子的位移矢量)3, 43, 2, 1(Nii 体系的势能函数在平衡位

4、置按泰勒级数展开体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开NjijijiNiiiitemsHighVVVV31,023100)(21)(取取00V平衡位置平衡位置0)(0iV 不计高阶项不计高阶项系统的势能函数系统的势能函数230,11()2Niji jijVV 3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量NjijijiNiiiVmH31,02312)(2121系统的势能函数系统的势能函数NjijijiVV31,02)(21系统的动能函数系统的动能函数NiiimT31221 含有坐标的交叉项含有坐标的交叉项3-1

5、 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质引入简正坐标引入简正坐标NQQQQ3321, 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来31Niiijjjma Q 假设存在线性变换假设存在线性变换系统的哈密顿量系统的哈密顿量NiiiNiiQQH31223122121拉格朗日函数拉格朗日函数NiiiNiiQQVTL31223122121正则动量正则动量iiiQQLp32112NiiTQ 322112NiiiVQ 3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性

6、质系统的哈密顿量系统的哈密顿量NiiiNiiQpH31223122121正则方程正则方程iiHpQ 3N个独立无关的方程个独立无关的方程20,1, 2, 3,3iiiQQiN简正坐标方程解简正坐标方程解sin()iiQAt简正振动简正振动 所有原子参与的振动，振动频率相同所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模振动模 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动iiiQQLp正则动量正则动量3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质只考察某一个振动模只考察某一个振动模)sin(tAmaQmajiijji

7、ijiNjjijiiQam31系统能量本征值计算系统能量本征值计算正则动量算符正则动量算符iiQip系统薛定谔方程系统薛定谔方程),(),()2121(31313122312NNNiiiNiiQQEQQQpsin()jjQAt3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ任意一个简正坐标任意一个简正坐标)()(2122222iiiiiiQQQQ 谐振子方程谐振子方程能量本征值能量本征值iiin)21(本征态函数本征态函数)()2exp()(2iiniinHQ/i

8、iQ)(inH 厄密多项式厄密多项式3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质NiiiNiinE3131)21(NiinNQQQQQi313321)(),(系统能量本征值系统能量本征值系统本征态函数系统本征态函数)()2exp()(2iiniinHQN个原子组成的晶体个原子组成的晶体),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ系统薛定谔方程系统薛定谔方程3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热

9、学性质3-2 一维单原子链一维单原子链 绝热近似绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响描述电子对离子运动的影响晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先计算原子之间的相互作用力先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 将电子的运动和离子的运动分开将电子的运动和离子的运动分开 3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶

10、格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质一维无限原子链一维无限原子链 每个原子质量每个原子质量m，平衡时原子间距，平衡时原子间距a 原子之间的作用力原子之间的作用力 第第n个原子离开平个原子离开平 衡位置的位移衡位置的位移n 第第n个原子和第个原子和第n1个个 原子间的相对位移原子间的相对位移nn1第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的距离个原子间的距离nna13-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质2221()( )()()2aadvd vv av aHigh item

11、sdrdr 平衡位置时，两个原子间的互作用势能平衡位置时，两个原子间的互作用势能)(av)(av发生相对位移发生相对位移 后，相互作用势能后，相互作用势能nn1 常数常数)(av0)(adrdv 平衡条件平衡条件3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项dvfd adrvd)(22相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力 恢复力常数恢复力常数2221()( )()()2aadvd vv av aH

12、igh itemsdrdr 3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质原子的运动方程原子的运动方程 只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力个原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n个原子的运动方程个原子的运动方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一个原子运动方程类似每一个原子运动方程类似 方程的数目和原子数相同方程的数目和原子数相同3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和

13、简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质方程解和振动频率方程解和振动频率 )2(1122nnnndtdm设方程组的解设方程组的解)(naqtinAenaq 第第n个原子振动相位因子个原子振动相位因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem得到得到224sin ()2aqm应用三角公式应用三角公式3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质()it naqnAe 连续介质中的机械波连续介质中的机械波(2)()xiti

14、t qxyAeAe波数波数2q 格波方程格波方程格波的意义格波的意义晶体中的格波晶体中的格波2(2/ )naitqnAe2q 格波和连续介质波具有完全类似的形式格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有原子同时做频率为一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动的振动波长波长3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 格波的波形图格波的波形图 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波()it naqnAe 向上的箭头代表向上的箭头代表原子沿原子沿X轴向

15、右振动轴向右振动 向下的箭头代表向下的箭头代表原子沿原子沿X轴向左振动轴向左振动3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质格波波长格波波长)(naqtinAe2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度qvp不同原子间相位差不同原子间相位差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相邻原子的相位差相邻原子的相位差aqnaqaqn ) 1(3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体

16、的热学性质波矢的取值波矢的取值和和布里渊区布里渊区)(naqtinAe格波格波相邻原子相位差相邻原子相位差aqaq2 原子的振动状态相同原子的振动状态相同格波格波1的波矢的波矢aaq2421相邻原子相位差相邻原子相位差12aq3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质)(naqtinAe格波格波格波格波2的波矢的波矢aaq255/422222aq相邻原子的位相差相邻原子的位相差1/2aq 两种波矢两种波矢q1和和q2的格波中，原子的振动完全相同的格波中，原子的振动完全相同3-2 3

17、-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质aqqaa21aq222aq波矢的取值波矢的取值 相邻原子的相位差取值相邻原子的相位差取值 第一布里渊区第一布里渊区 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 其它区域不能提供新的物理内容其它区域不能提供新的物理内容3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质玻恩卡门（玻恩卡门（Born-Karman）周期性

18、边界条件）周期性边界条件 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每 个原子的振动形式都一样个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述的原子不能用中间原子的运动方程来描述3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 处理问题时考虑处理问题

19、时考虑 到环链的循环性到环链的循环性 N很大，原子运动近似为直线运动很大，原子运动近似为直线运动设第设第n个原子的位移个原子的位移n再增加再增加N个原子之后个原子之后第第N+n个原子的位移个原子的位移nN3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质则有则有nnN)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0, 32, 22, 12NNNNNNh2qhNa h为整数为整数波矢的取值范围波矢的取值范围aqa3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与

20、晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质22NNh2a 2/2/aNNa h N个整数值，波矢个整数值，波矢q 取取N个不同的分立值个不同的分立值 第一布里渊区包含第一布里渊区包含N个状态个状态每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度2qNa 第一布里渊区的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数第一布里渊区状态数2qhNa 波矢波矢3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质格波的色散关

21、系格波的色散关系)2(sin422aqm2sin()2aqm 频率是波数的偶函数频率是波数的偶函数格波相速度格波相速度qvp 不同波长的格波传播速度不同不同波长的格波传播速度不同 色散关系色散关系 q3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 q空间的周期空间的周期频率极小值频率极小值min0 频率极大值频率极大值max2/ m 0qa02/m只有频率在只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减其它频率的格波被强烈衰减02/m)2s

22、in(2aqm色散关系色散关系2a3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质格波格波 长波极限长波极限情况情况 0,qa0q当当)2sin(2aqm/am q 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致2)2sin(qaqaElasticVq /ElasticVam 3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质格波格波 短波极限短波极限情

23、情况况qa2/sin()2aqmmax2/m 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 不同频率的格波传播速度不同不同频率的格波传播速度不同3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质长波极限下长波极限下0) 1(qaqnaanq短波极限下短波极限下/qa2 /2qa0q 相邻两个原子振动相位差相邻两个原子振动相位差2/q 晶格可看作是连续介质晶格可看作是连续介质 相邻原子的振动相位相反相邻原子的振动相位相反3-2 3-2 一维单原子链 晶格振

24、动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质原子位移和简正坐标的关系原子位移和简正坐标的关系 第第q个格波引起第个格波引起第n个原子位移个原子位移)(naqtiqnqqeA第第n个原子总的位移个原子总的位移qnaqtiqqnqnqeA)(qinaqqneQNm1令令1inaqnqqmeQNqitqqQNmA e 3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质原子坐标和简正坐标的变换原子坐标和简正坐标的变换31N

25、nnjjjma Q 线性变换为么正变换线性变换为么正变换1inaqnqaeN*nqnqaanqnjaaq 有有3N个取值个取值nnqqqma Q1inaqnqqmeQN3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质动能和势能的形式动能和势能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N项独立的模式项独立的模式动能的正则坐标表示动能的正则坐标表示nnmT221212qqTQ 势能的正则坐标表示势能的正则坐标表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQ

26、Nm1原子位移原子位移 为实数为实数 正交性正交性3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质势能势能qinaqqneQNm1)1(11qaqniqneQNmnnnU21)(211()(), 011()2Nia q qiaqiaqina q qqqq qnUQ QeeeemN 22qiaqiaqqqeeQQmU1cos()qqqQ Qaqm3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体

27、的热学性质 )cos(1*qqqaqQQmU将将 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122212qqqUQ 哈密顿量哈密顿量2221()2qqqqHTUQQ 系统复数形式的简正坐标系统复数形式的简正坐标qitqqQNmA e 系统势能系统势能3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质)()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU2201( )( )2qTaqb q 实数形式的简正坐标实数形式的简正坐标令令222

28、01( )( )2qqUaqb q 哈密顿量哈密顿量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q 3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质能量本征值能量本征值1()2qnqqn 声子声子 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子晶格振动的能量量子；或格波的能量量子q当这种振动模处于当这种振动模处于 时，说明有时，说明有 个声子个声子qqn)21(qn2()/exp()( )2qqnqqnQH 本征态函数本征态函数 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是

29、以简正一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数坐标为宗量的谐振子波函数 3-2 3-2 一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 晶格振动的问题晶格振动的问题 声子系统问题的研究声子系统问题的研究 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统声子系综是无相互作用的声子气组成的系统 声子具有能量声子具有能量_动量，

30、看作是准粒子动量，看作是准粒子晶格振动晶格振动 声子体系声子体系3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-3 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链 两种原子两种原子m和和M _( M m) _ 构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 系统有系统有N个原胞个原胞 同种原子间的距同种原子间的距离离2a_晶格常数晶格常数3-33-3一维双原子链一维双

31、原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子振两种原子振动的振幅动的振幅A和和B一一般来说是不同的般来说是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质)12(12)2(2aqntinqnatinB

32、eAe22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系数行列式为零有非零的解，系数行列式为零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质02cos2cos2222Maqaqm221/22()411sin()mMmMaqmMmM 一维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立的格波221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()

33、41 1sin()mMmMaqmMmM3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 与与q之间存在着两之间存在着两 种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在 两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波05/283-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质两种格波的振幅两种格波的振幅0)2()cos2(0)co

34、s2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2221/22()411sin()mMmMaqmMmM 光学波光学波 声学波声学波3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质相邻原胞相位差相邻原胞相位差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子方程原子方程q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里渊区第一布里渊区 布里渊区大小布里渊区大小周期性边界条件周期性边界条件nnNhaqN2)2(22aNhq a2aq3-33-3一维双原子链一维双原子链

35、声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质22aNhq Naq h为整数为整数每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区允许的第一布里渊区允许的q值的数目值的数目NNaa/ 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目 对应一个对应一个q有两支格波：一支有两支格波：一支声学波声学波和一支和一支光学波光学波 总的格波数目为总的格波数目为2N ： 原子的数目原子的数目: 2Nq的取值的取值3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质色散关系色散关系的特点的特点 短波极限短波

36、极限2qa 两种格波的频率两种格波的频率1/21/21/2max1/21/21/2min2()()()()()2()()()()()mMMmmMMmMMmmMm因为因为 Mmmaxmin)()(3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质maxmin)()(maxmin)()( 不存在格波不存在格波 频率间隙频率间隙10/283-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比aqmABcos22)

37、(2aqmABcos22)(2 光学波光学波 声学波声学波3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 m原子静止不动，相邻原子振动的相位相反原子静止不动，相邻原子振动的相位相反22()2cosBmAaq cos ()02aa()BA BA2qa 时时m和和M原子振动的振幅原子振动的振幅 声学波声学波1/2max2()()M 3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 光学波光学波22()2cosBmAaq cos ()02aa1/2min2()()

38、m()0BA M原子静止不动，相邻原子振动的相位相反原子静止不动，相邻原子振动的相位相反 BA3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质长波极限长波极限0q声学波声学波221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM0, 0q0, 0qaqmABcos22)(2()1BA 3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方

39、向一致 代表代表原胞质心的振动原胞质心的振动15/283-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质光学波光学波 长波极限长波极限0q221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原胞

40、质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动原子之间相对运动3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质131402()1010 /s 长光学波与电磁波的作用长光学波与电磁波的作用 在长波极限下，对于典型的在长波极限下，对于典型的 和和 值值 对应于远红外的光波对应于远红外的光波 远红外光波激发离子远红外光波激发离子 晶体，可引起晶体中晶体，可引起晶

41、体中 长光学波的共振吸收长光学波的共振吸收3-33-3一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质光波的频率光波的频率0c q 波矢远远小于一般格波的波矢，只有波矢远远小于一般格波的波矢，只有 的长光学的长光学 波可以与远红外的光波发生共振吸收波可以与远红外的光波发生共振吸收0q 将可以与光波作将可以与光波作 用的长光学波声用的长光学波声 子称为电磁声子子称为电磁声子20/283-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3.4 三维晶格的振动三维晶格的振动 三维复式格子三维复式格子各原

42、子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目321NNNN 原子的质量原子的质量nmmmm,321第第l个原胞的位置个原胞的位置332211)(alalallR原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置nlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质第第k个原子运动方程个原子运动方程 klklmk23, 2, 1 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方

43、向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程原子位移方程的解原子位移方程的解qklRtikeAkl 将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质2,kkkkAkkqCAm;,;,;,222111nznynxzyxzyxAAAAAAAAA 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个)3, 3, 2, 1(njj1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格

44、振动与晶体的热学性质2,kkkkAkkqCAm 3n个线性齐次方程个线性齐次方程长波极限长波极限0q3个个qj 趋于一致趋于一致nAAAA,321 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波 3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相 对运动对运动 3n3支光学波支光学波3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质结论结论 晶体中一个原胞中有晶体中一个原胞中有n个原子组成个原子组成 有有3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波波

45、矢波矢332211bxbxbxq 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢321,bbb三维晶格中的波矢三维晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢123,xxx 3个系数个系数3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 1 12 23 3xyzlit Rx bkxkxlit Rx bkykylit Rx bkzkzlA eklA eklA ek 采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件1 1 1 1122222333 332,2,2N a x bhN a x bhN a x bh 1 11 1()xlitN aRx bkkxA e 3 33 3()zl

46、itN aRx bkkzA e 2 22 2()ylitN aRx bkkyA e3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质11111 1 1122222222333333 33222hhxxN a bNhhxxN a bNhhxxN a bN333222111bNhbNhbNhq波矢波矢波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积123123*()bbbVNNN*0vN 倒格子原胞体积倒格子原胞体积*0123()vbbb状态密度状态密度*0123()NNvbbb033(2 )(2 )NvV3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶

47、格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振动波函数原子振动波函数qlRie)(波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢332211bnbnbnGnnGqqqlRiqGlRieen)()()(1 12233( )2 ()nR lGl nl nl nqklRtikeAkl 不同原胞之间相位联系不同原胞之间相位联系 原子振动状态一样原子振动状态一样3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质k的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区2211bqbx2222bqby2

48、233bqbz333222111bNhbNhbNhq11122NNh22222NhN22333NhN 个取值个取值321NNNN 111222333xyzhqbNhqbNhqbN3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波支声学波和和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目nNnN3) 333( 晶体中原子的坐标数目晶体中原子的坐标数目nNiiiqqnE31)(21)(晶格振动总的能量晶格振动总的能量)(qi 晶格振动能量量子晶格振动能量量子 声子声子_Phonon3-4 3-4 三维晶格的振动三

49、维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质二维布里渊区二维布里渊区 正方格子的布里渊区正方格子的布里渊区 正方格子的基矢正方格子的基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢jabiab22213-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点1122,bbbb垂直平分线方程垂直平分线方程akakyx 第一布里渊区第一布里渊区大小大小2)2(a3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质

50、第二布里渊区第二布里渊区由由4个倒格点个倒格点12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 第二布里渊区大第二布里渊区大小小的垂直平分线和第一的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成布里渊区边界所围成3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质由由4个倒格点个倒格点12122 ,22 ,2bbbb 第三布里渊区第三布里渊区2)2(a第三布里渊区大小第三布里渊区大小的垂直平分线和第二布的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成里渊区边界边界所围成3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质

51、第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 二维斜格子其它布里渊区的形成二维斜格子其它布里渊区的形成 3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振

52、动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-5 离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波 光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动 正负离子组成的晶体，正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化长光学波使晶格出现宏观极化 波长很长的光学波：长光学波波长很长的光学波：长光学波 波长很长的声学波：长声学波波长很长的声学波：长声学波 声学波代表原胞质心的振动声学波代表原胞质心的振动 光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动波长波长 原胞的线度原胞的线度

53、a3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质1. 长光学波的宏观方程长光学波的宏观方程 两种正负离子组成的复式格子两种正负离子组成的复式格子_立方晶体立方晶体 长光学波长光学波 极化波极化波 半波长内，正离子半波长内，正离子组成的布喇菲原胞同向组成的布喇菲原胞同向位移，负离子组成的布位移，负离子组成的布喇菲原胞反向位移喇菲原胞反向位移 晶体出现宏观极化晶体出现宏观极化3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格

54、振动与晶体的热学性质原胞中的两个正负离子质量原胞中的两个正负离子质量两个正负离子的位移两个正负离子的位移MandMand描述长光学波运动的宏观量描述长光学波运动的宏观量)()(21MWMMMMM黄昆方程黄昆方程Pand E 宏观极化强度和宏观电场强度宏观极化强度和宏观电场强度11122122Wb Wb EPb Wb E 1221bb 原胞体积原胞体积3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 正负离子相对运动位移产生的极正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化化和宏观电场产生

55、的附加极化EbWbW 1211EbWbP2221 离子相对运动的动力学方程离子相对运动的动力学方程1) 静电场下晶体的介电极化静电场下晶体的介电极化 恒定电场下恒定电场下0W EbbW1112EbbbP)(11212223-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质EPE00)0(EP0 1)0(和和 比较比较EbbbP)(112122221202211 (0)1bbb因为因为2) 高频电场下晶体的介电极化高频电场下晶体的介电极化 电场的频率远远高于晶格振动的频率电场的频率远远高于晶格振动的频率

56、0WEbP22EbWbP2221EP0 1)(022 ( )1b 3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质2011b0220021122011 1)()()0(bbbb在长光学波下有在长光学波下有 横长光学波的频率横长光学波的频率11122122Wb Wb EPb Wb E 黄昆方程黄昆方程3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 晶体中存在晶体中存在长光学纵波长光学纵波(LO)和和长

57、光学横波长光学横波(TO) 长光学纵波声子称为极化声子长光学纵波声子称为极化声子(LO)，长光学纵波伴随，长光学纵波伴随 有宏观的极化电场有宏观的极化电场 长光学横波长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，伴随着有旋的宏观电磁场，电磁声子电磁声子(TO) 长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合 极化声子极化声子 _ 纵光学声子纵光学声子3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质-+-+-+-+-+EE 3-5 离子晶体的长光学波 晶格振动与晶体的热学性质3

58、-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质-+-+-+-+-+EE 3-7 3-7 晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-8 晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 固体的定容热容固体的定容热容()VVECT E 固体的平均内能固体的平均内能固体内能固体内能 晶格振动的能量晶格振动的能量和和电子热运动的能量电子热运动的能量实验结果实验结果 低温下金属的热容低温下金属的热容3VCTAT 温度不是太低的情况

59、，忽略电子对比热的贡献温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献T 电子对比热的贡献电子对比热的贡献3AT 晶格振动对比热的贡献晶格振动对比热的贡献3-7 3-7 晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质晶格振动对热容的贡献晶格振动对热容的贡献 经典理论经典理论 一个简谐振动平均能量一个简谐振动平均能量TkBN个原子，总的平均能量个原子，总的平均能量TNkEB3摩尔固体热容摩尔固体热容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律实验表明实验表

60、明 在低温时在低温时热容量随温度迅速趋于零热容量随温度迅速趋于零 ! 能量均分定律能量均分定律3-7 3-7 晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3-4 3-4 三维晶格的振动三维晶格的振动 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 一个频率为一个频率为 j的的振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级振动模由一系列量子能级 组成组成 子体系子体系/jBjEk TnPCe子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率1()2jjjEn/(1)j