一元二次不等式恒成立问题专项练习

1、一元二次不等式恒成立问题专项练习例题：设函数力=加一“一1.(1)若对于一切实数羽f(x)<0恒成立，求的取值范围；(2)对于1,3,。+5恒成立，求力的取值范围.(3)对于任意加£ 1,3,制分<一皿+5恒成立，求实数大的取值范围.解：(1)要使一卬*一1<0恒成立，若6=0,显然一1<0,满足题意；(成0,若加W0,则1>即一4冰0.，一4W0./ ="+4成0,(2)方法一 要使f(x)<一6+5在1,3上恒成立，就要使6<。在1,3上恒成立. 乙)4令 g(x) =(x6,1,3.当苏0时，g(x)在1,3上是增函数，6，g

2、(x)s=g(3) =7/7/6<0, ：.0<叫: 当勿=0时，一6。恒成立;当加0时，g(x)在1,3上是减函数,，g(x)皿=/1)=/一6<0,得水6,，成0.综上所述，加的取值范围是一8,6V,方法二当1,3时，方力<一勿+5恒成立, 即当 1,3时，x+1) 6<0 恒成立.11.32).下一x+l= x一歹 +->0, 乙)又 x+D6<0, .水二布 二函数尸金=T在口上的最小值为m 一 .只需水领可综上所述，力的取值范围是(一8,晟.(3) 解 f(x) </?7+5, 即版一加x-1<%+5,力(fx+1) 6<0

3、.设 g(ni)=m(下一x+1) 6.则g(就是关于力的一次函数且斜率 xx+l =g(而在1,3上为增函数，要使g(<0在1,3上恒成立，只需g(而皿=g(3)<0,即 3(fx+1) 6<0, xx1<0,、VI 7r/ -TT- Xt1 /51 +/5方程* X1=。的两根为M= o , x2= o ,练习：1.当xw (1,2)时，不等式V+m+zRO恒成立，则力的取值范围是解析：构造函数7'(x) =f+mx+4, x£l,2,则f(x)在1,2上的最大值为f(l)或f(2).由于当(1,2)时，不等式三十K+4<0恒成立.I (f

4、1 WO,fl+zzrF4W0,则有即If 2 WO,14+2/zrHWO,mW 5,可得1 4所以"<5.2 .若不等式系+3+120的解集为R,则实数m的取值范围是()22W2W2 或勿22D. 2W加<2答案D 解析 由题意，得=序-4W0, /.2<勿2.3 .当不等式f+x+A>0恒成立时，A的取值范围为答案& +8)解析由题意知zKO,即14K0, 得若，即居(；，+8).3.若关于x的不等式4:一加力0对任意(0,1恒成立，则m的最大值为 ()B. -1C. 3答案C解析 由已知可得对一切xG (0,1恒成立，又f(x)=f4x在(0,1

5、上为减函数，ain /'(1) 3,mW 3,.二卬的最大值为-3.4.对任意aG 1,1 ,函数fx) =x2 + (a4)x+42a的值恒大于零，则x的取 值范围是()<K3<1 或"3<K2<1 或 x>2答案B解析 设 g(a) = (x2)a+(V4x+4),g(a) >0 恒成立且 ae-l,lg 1 =f3x+2>0,1 =f5：，+6>o求I或x>2, =<.底2或x>3<=>X1 或 x>3.5.对于任意实数x,不等式(a2)f2(a2)x4<0恒成立，则实数a的取值范

6、围是()A. ( 8, 2)满足题意.3解得一铲水1.B. (8, 2C. (-2,2) D. (-2,2答案D解析当a2W0时，a2<0,fa<2,即14 a2 3 答案 一:，1 5解析 当1=0时，a=l或a= -1.若a=l,则原不等式为一1<0,恒成立， 若a 1,则原不等式为2x1<0, 即芯，不合题意，舍去.当，一 1W0,即aW±l时， 原不等式的解集为R的条件是 官一1<0,<“=一 a-1 2+4 ，一 1 <0, 综上，a的取值范围是卜宗1 .7.已知函数 /'(%) =x + ax+3.(1)当x£R

7、时，F(x)2a恒成立，求a的取值范围；(2)当/£-2,2时，恒成立，求a的取值范围.解(l)f(x)2a恒成立，即/+”+3 4>0恒成立，必须且只需/=4(3 a)W0,即 力+4a 12W0,-4 a2-4 <0,虚<4,解得一 2水2.当a2 = 0时，-4<0恒成立，综上所述，-2<aW2.6.若不等式(，-l)f(al)x1<0的解集为R,则实数a的取值范围是，-6WaW2,的取值范围为-6,2.(2) f(x) =x +ax+3=(x+件+ 3-牛当一生一2,即a4时，f(x)nin=f( 2) = 2a+7,7由-2d+7'a得不存在；当一2W5<2,即一4WaW4 时，Ax)njn