一元二次函数总结(1)

1、一元二次函数的图象定义:一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的一元 次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系 数和常数项。、一元二次函数y= ax2 + bx + c （ a+ 0 ）的图象（其中a,b,c均为常数）1 .当a>0时函数图象开口向上；对称轴为x=-2a/b,有最小值且为（4ac b2）/4a；当 xC （ -oo , - 2a/b时递减；当 xC -2a/b, +oo）时递增;图z2 .当a< 0时函数图象开口向下；对称轴为x=-2a/ b,有最大值且为（4ac- b2）/4a； 当x C （

2、-oo ,- 2a/b时递增；当x C - 2a/b,十）时递减;曼下载 收藏 2.A= b2 4acx轴有两个交点；x轴只有一个交点;x轴没有交点。(力 A =0(5)三、抛物线y ax bxc中,a，b，c的作用a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.例1:画出y；x2 yx2 y 2x2的图象当4>0时，函数图象与 当4=0时，函数图象与 当a<0时，函数图象与 （如下图所示）y1 2 x22y 2x归纳:般地，抛物线y ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a 0时, 抛物线的开口向

3、下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置1 C1例2:回出二次函数y (x 1)2, y (x 1)2的图象，考虑他们的开口万向、2 2y 2（x 1）2y 2（x 1）2i可以看出，抛物线y ：(x 1)2的开口向下，对称轴是进过点(-1,0)且与x轴 垂直的直线，记为x=-1,顶点是(-1,0);抛物线y 1 (x 1)2的开口向下，对称轴是x=1,顶点是(1,0)。1例3:回出函数y -(x 1)2 1的图象，指出它的开口万向、对称轴及顶点。抛物线y1x2经过怎样的变换可以得到抛物线 y 1(x 1)2 1?1抛物线y 1(x 1)2

4、1的开口万向向下、对称轴是x=-1 ,顶点是(-1,-1)。把抛物线y1x2向下平移1个单位，冉向左平移 2个单位，就得到抛物线2y (x 1)2 1。归纳：一般地，抛物线y a(x h)2 k与y ax2形状相同，位置不同。把抛物 线y ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线 y a(x h)2 k。平移的 方向、距离要根据h, k的值来决定。抛物线y a(x h)2 k有如下特点：(1)当a 0时，抛物线的开口向上；当a 0时，抛物线的开口向下；(2)对称轴是直线x=h；5(3)顶点坐标是(h, k)19例4:回出y x2 6x 21的图象212归纳：一般地，可以用配方法求抛物线

5、y ax2 bx c(a 0)的顶点与对称轴2 ./ b、2 4ac b2y ax bx c a(x )2a 4a因此，抛物线y ax2 bx c的对称轴是x,顶点坐标是 2a4ac b2a4a2-).(2) c的大小决定抛物线y ax2 bxc与y轴交点的位置.当x 0时，y c , 。抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0 , c):c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则(2) a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|x i-X2|= b 4ac ,与 y 轴交

6、点为(0,c)a同b2-4ac>0 , ax2+bx+c=0有两个不相等的实根b2-4ac<0, ax2+bx+c=0 无实根b2-4ac=0 , ax2+bx+c=0有两个相等的实根二.四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件1 .若x<y< m(m为x轴上的一点)，则需满足：>0卜-2a/b<mLf(m) >02 .若m<x<y ( m为x轴上的一点)，则需满足：>0卜-2a/b>mLf(m) >03 .若x<m<y ( m为x轴上的一点)，则需满足：4 .若x,y ( m,n ) ( m,n为x

7、轴上的一点)，则需满足：>0/m< - 2a/b< nLf(m) >0,f(n) >05 .若m<x<n<y<p ( m,n,p为x轴上的一点)，则需满足：厂 f(m) >0H(n) <0Lf(p) >06 .若只有一根在(m,n )之间(m, n为x轴上的一点)，则需满足：= 0Lm< - 2a/b< n或 f(m) - f(n ) < 0厂 f(m) =0或Lm< 2a/b< ( n+m ) /2厂 f(n) =0(n + m ) /2< 2a/b< n五、二次函数由特殊到一般

8、，可分为以下几种形式： y ax2 ； y ax2 k; y a x h 2 ； y a x h 2 k; y ax2 bx c.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时开口向上当a 0时开口问卜x 0(y 轴)(0,0)2y ax kx 0(y 轴)(0, k),2 y ax hx h(h,0),2.y a x h kx h(h, k)y ax2 bx cb x 2a/ b 4ac b2、 ( 2a' 4a )六、二次函数图像的变换规律：y=ax2 (a>0)的图像7G*x轴翻折抛物线y=a(x-h) 2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。2

9、 ,y=-ax (a>0)的图像当h<0时，向左平移同个单位长度,当h>0时，向右平移四个单位长度y=a (x-h) 2的图像当k>0时，向上平移圆个单位长度 当k<0时，向下平移圆个单位长度y=a (x-h) 2-k 的图像写成一般形式y=ax2+bx+c 的图像规律：在原有函数基础上“ h值正右移，负左移，k值正上移，负下移”七、直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系)2(1) y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0,C)(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h, ah 2 bh c).(3)抛物线与x轴的交点二

10、次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应 一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次 方程的根的判别式判定： 有两个交点 0 抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切； 没有交点 0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两 交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax2 bx c k的两个实数 根.而根的存在情况仍如(3) 一样由根的判别式判定。2(5) 次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax

11、 bx ca 0的图 像G的交点，由方程组y kx 2 n的解的数目来确定：y ax2 bx c 程组有两组不同的解时l与G有两个交点； 程组只有一组解时l与G只有一个交点； 方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点2为Ax/, Bx2。由于xi、X2是方程axbx c 0的两个根，故由韦一 、一，b c达止理知：xi &-,xi x?-a a4cb2 4aca a aax2 bx c当函数y的值AB x1 x2xix2 2. xi一2-； x24x1 x2八、二次函数与次方程的关系:次方程0 ax2 bx c就是二次函数

12、y为0时的情况.(2)二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、 有一个交点、没有交点；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值，即一元二次方程ax2 bx c 0 的根.当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程 22y ax bx c有两个不相等的实数根；当二次函数y ax bx c的图 象与x轴有一个交点时，则一元二次方程 ax2 bx c 0有两个相等的实 数根；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴没有交点时，则一元二次 方程ax2 bx c 0没有实数根。例5:观察函数y

13、x2 x 2, y x2 6x 9, y x2 x 1的图象与x轴的交点，得出一元二次方程的根。可以看出：(1)抛物线y x2 x 2与x轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当x去公共 点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2 x 2 0的根是-2,1.(2)抛物线y x2 6x 9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3,当x=3时, 函数值是0.由此得出方程x2 6x 9 0有两个相等的实数根3。(3)抛物线y x2 x 1与x轴没有公共点，可知，方程x2 x 1 0没有实根。归纳：一般地，从二次函数y ax2 bx c的图象可知，(1)如果抛物线y ax2 bx c与x轴有公共点，公共点的横坐标时xO ,那么当x x0及时方程ax2 bx c 0的一个根。(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点( b2 4ac 0),有一个公共点(b2 4ac 0),有两个公共点(b2 4ac 0)。这