一次函数典型应用题

1、中考中与不等式结合函数有关的经济类型题近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由 于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例， 也许对你有所帮助。例1已知雅美服装厂现有 A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产 M , N两种型 号的时装共80套。已知做一套 M型号的时装需要 A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45 元；做一套N型号的时装需要 A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N种型 号的时装套数为X ,用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。(1)求

2、y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)雅美服装厂在生产这批服装中，当 N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是 多少？解：由题意得：y 45(80 x) 50x = 5x 36001.1x 0.6(80 x) 700.4x 0.9(80 x) 52 解得：4。？04，y与x的函数关系式为：y 5x 3600 ,自变量的取值范围是：40<x<44.在函数y 5x 3600中，y随x的增大而增大当x = 44时，所获利润最大，最大利润是：5 44 3600=3820 (元)例2 某市电话的月租费是 20元，可打60次免费电话(每次 3分钟)，超过60次后，超过部分每

3、次 0.13 元。(1)写出每月电话费 y (元)与通话次数 x之间的函数关系式；(2)分别求出月通话 50次、100次的电话费；(3)如果某月的电话费是 27 .8元，求该月通话的次数。20(0 x 60)解；(1)由题意得：y xl'Hjgj. y= 20 0.13(x 60)(x 60)(2)当x = 50时，由于x <60 ,所以y =20 (元)当 x = 100 时，由于 x>60,所以 y = 20 0.13(100 60)=25.2 (元)(3) y =27.8 >20 .,.x>60 .20 0.13(x 60) 27.8解得：x = 120

4、(次)例3荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂 A、B两种不同规格的货厢 50节，已知用一节 A型货厢的运费是 0.5万元，用一节 B型货厢的运费是 0.8万元。(1)设运输这批货物的总运费为y (万元)，用A型货厢的节数为x (节)，试写出y与x之间 的函数关系式；(2)已知甲种货物 35吨和乙种货物15吨，可装满一节 A型货厢，甲种货物 25吨和乙种货物 35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。(3)利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元

5、？解：(1)由题意得：y 0.5x 0.8(50 x) = 0.3x 40)与X之间的函数关系式为：y= 0.3x 40(2)由题意得：35x 20(50 x) 153015x 35(50 x) 1150 解得：28WXW30X是正整数x =28 或 29 或 30，有三种运输方案：用 A型货厢28节，B型货厢22节；用A型货厢29节，B型货 厢21节；用A型货厢30节，B型货厢20节。(3)在函数y= 0.3x 40中.y随x的增大而减小当x = 30时，总运费y最小，此时y = 0.3 30 40 = 31 (万元)方案的总运费最少，最少运费是31万元。例4 某工厂现有甲种原料 360千克

6、，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产 A、B两种产品， 共50件。已知生产一件 A种产品，需用甲种原料 9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产 一彳B种产品，需用甲种原料 4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。(1)按要求安排 A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；(2)设生产A、B两种产品获总利润为 y (元)，生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解；(1)设需生产A种产品x件，那么需生产 B种产品(50 x)件，由题意得：9x 4(50 x) 3603x 10(50 x

7、) 290 解得：30wxw32.x是正整数.x = 30 或 31 或 32，有三种生产方案：生产 A种产品30件，生产B种产品20件；生产A种产品31件， 生产B种产品19件；生产A种产品32件，生产B种产品18件。(2)由题意得；y 700x 1200(50 x)= 500x 60000.y随x的增大而减小当x=30时，y有最大值，最大值为：500 30 60000=45000 (元)答：y与x之间的函数关系式为：y= 500x 60000,(1)中方案获利最大，最大利润为45000 元。例5 某地上年度电价为 0.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至 0.550 .75元之间，经

8、测 算，若电价调至x元，则本年度新增用电量 y (亿度)与(x 0.4)(元)成反比例，又当x = 0.65时, y =0.8。(i)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为 0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?收益=用电量X (实际电价一成本价)解：.y与(x 0.4)反正比例 k.,.y = x 0.4把x = 0.65, y= 0.8代入上式得：k = 0.20.2y .”与*之间的函数关系式为：x 0.40.21 x 0.30.8 0.3 1 1 20%(2)由题意得：x 0.42化简彳导:x 1.1x 0.3 02即 10x11x 3 0

9、(2x 1)(5x 3) 0x1 = 0.5, x2 =0.60.55 V x<0. 75 .x = 0.5不符题意，应舍去。故 x = 0.6答：电彳调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。例6为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1 .0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过 7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x (立方米)，应交水费为y (元)(1)分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关系式；(2)如果某单位共有用户 50户，某月共交水

10、费514 .6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过 7立方米的用户最多可能有多少户？解：(1)当 0wx<7 时，y (1.0 0.2)x=1.2x当 x>7 时，y (1.5 0.4)(x 7) 1.2 7= 1.9x 4.9(2)当x = 7时，需付水费：7X1.2 = 8.4 (元)当 x = 10 时，需付水费：7X1.2+1.9 (10 7) = 14.1 (元)设这个月用水未超过 7立方米的用户最多可能有a户，则：8.4a 14.1(50 a) 514.6化简彳导:57a 190.4“23a 33 解得：57答：该单位这个月用水未超过 7立方米的用户

11、最多可能有 33户。例7辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果 42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。（1）设用x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为 W （百元），求 W与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应 的车辆分配方案。苹果品种ABC每辆汽车运载量（吨）2.22.12每吨苹果获利（白兀）685解：(1)由题意得：2.2x 2/y 2(20 x y) 42化简彳导:y 2x 20当y=0 时，x=10 1 V x <10答：y与x

12、之间的函数关系式为：y 2x 20；自变量x的取值范围是：1Vx <10的整数。由题意得：W=2.2 6x 2.1 8y 2 5 (20 x y)=3.2x 6.8y 200= 3.2x 6.8( 2x 20) 200=10.4x 336.w与x之间的函数关系式为：y = 10.4x 336. W随x的增大而减小当x = 2时，W有最大值，最大值为：W最大值10.4 2 336一、取大值=315.2 （百兀）当 x = 2 时，丫 2x 20 = 16, 20 x y=2答：为了获得最大利润，应安排 2辆车运输A种苹果，16辆车运输B种苹果，2辆车 运车C种苹果。同学们，从以上几例的解答

13、过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？小结：确定函数解析式，求函数值确定自变量取值范围实际问题数学问题方案设计：利用不等式或不等式组及题意方案决策：最优方案：利用一次函数的性质及自变量次 函 数 应 用一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升 5微克，接着逐步衰减，至 8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后:(1)分别求出x<1, x>1时y与x之间的函数

14、关系式;(2)如果每毫升血液中含药量为 2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时?解析本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难解 答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两个 一次函数图象的组合.当xW1时，设y=kix.将(1 , 5)代入，得ki =5. y=5x.Q =当 x>1 时，设 y=k 2x+b.以(1 , 5), (8 , 1.5)代入，得 -111y=m 4 .222=7 (2)以y=2代入y=5x，得 ；1 11y =以y=2代入 上 工，得X2=7.C-故这个有效

15、时间为5小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用 二、预测型例2 (2002年辽宁省)随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中 的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：(1)求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数关系式；(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？年份(X)200020012002入学儿童人数(y)252023302140解析建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入ky = 一学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设* (k>

16、0),在三点(2000 , 2520) , (2001 , 2330),(2002 , 2140)中任选一点确定k值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数设 y=kx+b (k 却)，将(2000 , 2520)、(2001 , 2330)代入，得2000k + b = 2520, fk = -190, 2001k+ b - 2330. 1b-382520故 y=-190x+382520.又因为y=-190x+382520 过点(2002 , 2140),所以y=-190x+382520能较好地描述这一变化趋势.所求函数关系式为 y=-1

17、90x+382520.(2)设x年时，入学儿童人数为1000人，由题意得-190x+382520=1000. 解得x=2008.所以，从2008年起入学儿童人数不超过1000人.注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.三、决策型例3 (2003年甘肃省)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 1万元，其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1吨废渣所用的原料费为 0.0

18、5万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.解析 先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解(1)y i=x-0.55x-0.05x-20=0.4x-20 ;y2 =x-0.55x-0.1x=0.35x.(2)若 yi >y2,则 0.4x-20 >0.35x

19、 ,解得 x>400 ;若 yi=y 2,贝U 0.4x-20=0.35x ,解得 x=400 ;若 yivy2,则 0.4x-20 V 0.35x ,解得 x<400.故当月生产量大于 400件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于 400件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时,用数学的眼光来分辨， 会使我们作出的决策更合理.四、最值型例4 （2003年江苏省扬州市）杨嫂在再就业中心的支持下，创办了 “润扬”报刊零售点，对 经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.买进每份0.2元，卖出每份0.3元；一个月（以30天计）内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份 0.1元退回给报社.（1）填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润（单位：元）（2）设每天从报社买进这种晚报x份（120 WxW200）时，月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值 .解析（1）由题意，当一个月每天买进 100份时，可以全部卖出，当月利润为 300元；当一个月内每天买进150份时，有20天可以全部卖完，其余