一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)

1、专题：一类动点轨迹问题的探求 专题来源：学习了 “椭圆的标准方程 ”后，对于 PA PB 2a ，我们可以进一步研究：PAPB 2a, 2a ，各自的轨迹方程如何？PB引例：已知点 M （x,y） 与两定点 O（0,0）, A（3,0） 的距离之比为 1 ，那么点 M 的坐标应满足什2么关系？（必修 2 P103 探究 ·拓展）探究 已知动点 M 与两定点 A、 B 的距离之比为 （ 0） ，那么点 M 的轨迹是什么？背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期 数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥 曲线一书，

2、阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 类题 1： （1994,全国卷 ） 已知直角坐标平面上点 Q（2， 0）和圆 C： x2+y2=1 ，动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|的比等于常数 （ >求0）动. 点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线 .本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及 综合运用知识的能力 .解：如图，设 MN 切圆于 N ，则动点 M 组成的集合是P=M|MN|= |MQ|， 式中常数 >0. 2 分 因为圆的半径 |ON|=1，所以 |MN|2=|MO|2 |ON|2=|MO|21. 4分 设点 M 的坐标为 （x，y），则 x2 y2 1

3、 x 2 2 y2 5 分 整理得 （ 21）（x2+y2 ） 42x+（1+42）=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程 . 8 分当 =1时，方程化为当 1时，方程化为x= 5 ，它表示一条直线，该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点 （ 5 ， 0）， 44222 2 1 3 2（x 2 ）2+y2= 2 它表示圆，2 1 2 1 2该圆圆心的坐标为 （2221132，0），半径为2112 分类题 2：（ 2008，江苏）满足条件 AB2，AC类题 3：（2002，全国）已知点 P到两定点 M （2BC 的 ABC 的面积的最大值是 1,0）、 N （1

4、,0）距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1 ，求直线 PN 的方程 解：设 P的坐标为 ( x, y) ，由题意有 |PM | 2，即| PN |(x 1)2 y22 (x 1)2 y2 ，整理得 x2 y2 6x 1 0因为点 N 到 PM 的距离为 1，|MN | 2所以 PMN 30 ，直线 PM 的斜率为 3 ，直线 PM 的方程为 y 3 (x 1) 33将 y3 (x 1) 代入 x2 y2 6x 1 0 整理得 x2 4x 1 03解得 x 2 3， x 2 3则点 P 坐标为 (2 3,1 3)或 (2 3, 1 3)(2 3, 1 3)或(2 3,1 3)，直

5、线 PN的方程为 y x 1或 y x 1类题 4：(2006，四川)已知两定点 A( 2,0), B(1,0),如果动点 P 满足条件 PA 2PB,则 点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 MP类题 5：(2011，浙江)P,Q 是两个定点， 点为平面内的动点， 且 ( 0且 1)， MQ点的轨迹围成的平面区域的面积为S，设 S f ( ) ，试判断函数的单调性F1( 1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常引例：( 2011，北京)曲线 C 是平面内与两个定点 数 a2(a 1) 的点的轨迹 .给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称；1 若点 P在曲线 C

6、上，则 F1PF2 的面积不大于 a22 其中正确命题的序号为 背景展示：在数学史上，到两个顶点(叫做焦点)的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西 尼卵形线( Cassini Oval)，乔凡尼·多美尼科 ·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和 水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人 .1675 年，他发现土星光环中间有条暗 缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世 纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星 的探测器 “卡西尼号 ”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是 1675 年他在研究土星及其

7、卫星 的运行规律时发现的。探究：设两定点为 F1,F2，且 F1F2 2，动点 P满足 PF1 PF2 a2(a 0且为定值 ),取直线 F1F2作为 x轴， F1F2的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，设 P(x, y) ，则(x 1)2 y2 (x 1)2 y2 a2整理得：(x2 y2)2 2(x2 y2) a2 1解得： y2( x21)4x2a2(1 a x21 a )于是曲线 C的方程可化为y2 (x21)4x2 a2 (1 ax2 1 a)对于常数 a 0,可讨论如下六种情况：(1) 当 a 0时，图像变为两个点 F1( 1,0), F2(1,0) ；(2) 当 0 a 1时

8、，图像分为两支封闭曲线，随着 a的减小而分别向点 F1,F2 收缩；(3) 当 a 1时，图像成 8 字形自相交叉，称为双纽线；( 4)当 1 a 2 时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；5)当 a= 2 时，与前种情况一样，但曲线中部变平；6)当 a2 时，曲线中部凸起。北京高考题的背景即为本研究的46 里研究的结论；学有余力的同学可作进一步思考：思考 1：若将 “两定点 ”之一变为 “定直线 ”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么？思考 2：若将 “两定点 ”之一变为 “定直线 ”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？ 思考 3：到定点的距离与到定直线的距离的k 倍之

9、和为定值的定点轨迹是什么？思考 4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么？ 思考 5：到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1.（ 2009湖南）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P到点 F（3,0）的距离的 4倍与它到直线 x=2 的距离的 3倍之和记为 d，当 P点运动时， d 恒等于点 P的横坐标与 18之和（）求点 P 的轨迹 C ；（）设过点 F的直线 I与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。解（）设点 P 的坐标为（ x， y），则 d4 (

10、x 3)2 y2 3 x-2由题设 当 x>2 时，由得 (x 3) y 6 1x,2x2 y2化简得 x y 1.36 27当 x 2 时 由得 (3 x)2 y2 3 x, 化简得 y2 12xx2 y2故点 P的轨迹 C是椭圆 C1:xy 1在直线 x=2的右侧1 36 272部分与抛物线 C2: y2 12 x在直线 x=2 的左侧部分 （包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 12，2 6 ），B（2， 2 6），）如图 2所示，易知直线 x=2 与C1 ， C2的交点都是直线 AF，BF 的斜率分别为 kAF= 2 6， kBF =2 6 .当点 P 在 C1上时

11、，由知 PF当点 P 在 C2上时，由知 PF3x若直线 l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为 y k(x 3)i）当 kkAF ，或 kkBF ，即k-2 6 时，直线I 与轨迹C 的两个交点 M（ x1， y1 ），N（ x2 ， y2 ）都在 C1上，此时由知MF= 6 - 1 x12从而 MN= MF1NF= 6 -x2221NF= (6 -x1)21x2 )=12 - 12 ( x1+x2 )y k(x 由 x2 y236 273)得 (312 2 24k2)x2 24k2x36k2108则 x1 ， y1 是这个方程的两根，所以 x1+x2 =24k3 4k2MN =12 -

12、1 (2x1+ x2 )=12 -12k23 4k2因为当 k 2 6, 或k2 6时,k224,MN12 3124kk2 23 4k212 1212 k12 4100. 当且仅当 k112 6 时，等号成立。2)当 kAE k kAN , 2 6 k2 6 时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点M（x1,y1）,N（x2,y2） 分别在 C1,C 2上，不妨设点 M 在C1上，点 C2上，则知，MF 6x1, NF 3 x22设直线 AF 与椭圆 C1的另一交点为 E(x0,y0),则x0 x1,x2 2.MF6 1 x123 x232AF所以 MNMFNFEFAF知AE10011,所以EF

13、, NFkAE2 6,有( 1)MN6 12 x0AE 。而点A，E都在 C1上，且若直线 的斜率不存在，则 x1= x2 =3，此时 MN1001112112(x1 x2) 910011综上所述，线段 MN 长度的最大值为 100P 到点 F (1,0) 的距离与点 P 到 y 轴的112. ( 2011, 湖南文科高考试题)已知平面内一动点 距离的差等于 1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；) 过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2，设l1与轨迹 C相交于点 A,B ，l2与轨迹 C 相交于点D,E ，求的最小值 .21解析：( I)设动点 P的坐标为 (x,y)，由题意为 (x 1)2 y2 |x| 1. 化简得 y2 2x 2|x|,当 x 0时 ,y2 4x;当x 0时 ,y=0. 、 所以动点 P的轨迹 C的方程为 ,y2 4x(x 0)和y=0( x 0).( II )由题意知，直线 l1的斜率存在且不为 0，设为 k，则 l1的方程为 y k(x 1)由 y 2k(x 1)，得 k2x2 (2k2 4)x k2 0.y2 4x设 A(x1,y1),B(x2,y2)