--矩阵习题课

1、2/28 nmijmnmmnnnmaaaaaaaaaaA 212222111211一、矩阵的概念一、矩阵的概念n矩阵矩阵 n行列式行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa数表数表数数方阵方阵(m=n)可求行列可求行列式，非方式，非方阵阵(mn)不不可求行列可求行列式式3/28n矩阵相等矩阵相等 两个矩阵是同型矩阵，两个矩阵是同型矩阵，且对应元素相等且对应元素相等n行列式相等行列式相等 只要最后的计算结果只要最后的计算结果相等相等11010100101101101 1101010010111011014/28性质性质二、矩阵运算二、矩阵运算加法加法数量乘法数量乘法乘法乘法转置

2、转置ABBA()()ABCABC(1)()()AB CA BC (2)()A BCABAC()BC ABACA方幂方幂,kkAA AA 即即, ,个个 或或 A TA(3)();ABB A 5/28掌握乘法的运算法则掌握乘法的运算法则掌握乘法的运算规律掌握乘法的运算规律msns=nm1) ABBA 注意注意:2) ABACBC3) ABOAO or BOA可可逆逆，结结果果正正确确6/28哪个是矩阵哪个是矩阵哪个是数哪个是数为向量为向量与与注意区分注意区分,),( TT.,2,),2/1 , 0 , 0 , 2/1(:ABEBEAnTT求求矩阵矩阵维行向量维行向量设设例例 （留为练习）（留为练

3、习）1101:020 ,2.101nnnAAAA 例例 设设矩矩阵阵求求7/28三、一些特殊的矩阵三、一些特殊的矩阵 零矩阵零矩阵 单位矩阵单位矩阵 对角矩阵对角矩阵 准对角矩阵准对角矩阵 (上上, 下下) 三角矩阵三角矩阵 数量矩阵数量矩阵 对称矩阵及反对称矩阵对称矩阵及反对称矩阵 初等矩阵初等矩阵运算规律运算规律是否可逆是否可逆 逆矩阵是什么逆矩阵是什么 伴随矩阵伴随矩阵两个上两个上( 下下) 三角矩阵的乘积三角矩阵的乘积仍是仍是上上( 下下) 三角矩阵三角矩阵8/28四、矩阵乘积的行列式四、矩阵乘积的行列式定理定理1 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则,A BPn.ABA

4、 B 1212| |.ttA AAAAA 推广推广 为数域为数域 上的上的 级方阵，则级方阵，则12,tA AAPn注意注意 |AB|A|B|9/28五、矩阵的逆五、矩阵的逆n定义定义 AB=BA=E1(|)(|)A EE A 初初等等行行变变换换n逆矩阵的求法逆矩阵的求法 *1AAA ,BABE 找找使使常用于证明常用于证明(简便，实用简便，实用)10/28可逆可逆矩阵矩阵的的运算规律运算规律 且且可可逆逆则则数数可可逆逆若若, 0,2AA 3,A BAB若若为为同同级级方方阵阵且且均均可可逆逆 则则亦亦可可逆逆 且且 .111 AA .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若

5、1ABB1 1 A .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若TT1 1 (5) 若若A可逆，则可逆，则 亦亦 可逆，且可逆，且 kA 11.kkAA 11/28n级方阵级方阵A可逆可逆矩阵矩阵可逆的可逆的充分必要条件充分必要条件0A非退化非退化A( )0R AnAA可表示为有限个初等矩阵之积可表示为有限个初等矩阵之积存在可逆阵存在可逆阵P, Q使得使得PAQ=EA和和E等价等价n矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别 （非奇异）（非奇异）AX=O只有零解只有零解AX=b 有唯一解有唯一解A的行的行(列列)向量组线性无关向量组线性无关12/28伴随矩阵相关的问题伴随矩阵相关的问题*AAA AA

6、E 性质性质 定义定义11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 13/28*1:100 220 ,) .345AAAA 练练习习设设是是 的的伴伴随随矩矩阵阵，求求( (*AAA AA E 性质性质的应用的应用| 0,A 若若1*1|AAA *11()|AAA *1|AA A *1|()AAA 14/281*1)()( AA 与伴随矩阵相关的几个关系与伴随矩阵相关的几个关系*()A 1|nA *()()TTAA 2| (2)nAAn *()kA 1*1)()( AA 当当 A可逆时，常利用性质将对有关可逆时，常利用性质将对有关 A*的计算和的计算和证明转化为对证明转化为对 A

7、的计算和证明的计算和证明1*nkA *|A A未未必必可可逆逆*()ABB A 自证自证15/28 伴随矩阵的秩伴随矩阵的秩nP202 27*(2),(),()1,()1,0,()1.AnnnR AnR AR AnR An 为为 级级矩矩阵阵那那么么16/28证明：证明：1）当）当R(A)=n时时, 0|1* nAA|A|0,.)(*nAR 所以所以2）当）当R(A)=n1时时, |A|0, 所以所以*| |,AAA EO*()( ),R AR An所以所以*()( )R AnR A(1)1,nn又因为又因为R(A)=n1时时, A至少有一个至少有一个n-1级子式不等级子式不等于零，于零， 所

8、以所以*,AO *()1.R A 综上得综上得*()1.R A 3）当）当R(A)n1时时, A的任意的任意n-1级子式都等于零，级子式都等于零，所以所以*,AO *()0.R A 17/28例例 求矩阵求矩阵B满足满足A*BA=2BA8E,其中其中解：将矩阵方程两边移项、提公因子，得解：将矩阵方程两边移项、提公因子，得.100020001 AA*BA2BA8E(A*2E)BA8E再左乘再左乘 A, 右乘右乘A-1(|A|0)，得，得A(A*2E)BAA-1A(8E) A-1利用利用AA*=|A|E,|A|=2,代入上式得代入上式得(2A2E)B8E所以所以B 4(AE)1 200040002

9、先化先化简简18/28六、矩阵的秩六、矩阵的秩行行(列列)向量组的秩向量组的秩T0( )min , (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B ( (1 1) ) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min , (2) ()(

10、)(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B ( (1 1) ) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7)

11、 ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min, (2) ()()(3) ,( )()(8) ()()(5) max( )()(|)( )()(6) ()( )()(7) ()min ( )()(8) ()(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR

12、 AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B ( (1 1) ) 若若则则若若 、可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(7) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，

13、若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(3) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )(

14、)(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(4) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )

15、(5) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BABOR AR B (1) (1) 若若则则若若 、 可可逆逆，则则，若若，关关于于矩矩阵阵的的秩秩，性性则则有有如如下下质质：)n (6) 若矩阵若矩阵A，B等价等价，R(A)=R(B)OAAR 0)(且且19/28nEAREAREAnnA )()( ,2那那么么矩矩阵阵，证证明明：若若为为设设P203 3题,)(2OEAEAEA 可可知知证证明明：由由）所所以以（习习题题 18nEAREAR )()()()()()(AEREAR

16、EAREAR 又又)(AEEAR )2( ER n 幺幂矩阵幺幂矩阵AA 2幂等矩阵幂等矩阵所以，结论成立所以，结论成立20/28七、分块矩阵七、分块矩阵大矩阵看成由一些小矩阵组成大矩阵看成由一些小矩阵组成在运算中把小矩阵当作数来处理在运算中把小矩阵当作数来处理分块乘法可行的条件分块乘法可行的条件前一矩阵列的分法与后一矩阵行的分法一致前一矩阵列的分法与后一矩阵行的分法一致分块方法分块方法: : 尽量分出一些单位阵和零矩阵作为子块尽量分出一些单位阵和零矩阵作为子块 按行（列）分块按行（列）分块 21/28n mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A nBBB21 12mBBB 1

17、2mBBB nBBB2122/283）已知）已知3 阶方阵阶方阵 B0，且，且B 的每一个列向量都是的每一个列向量都是方程组方程组的解向量的解向量，则，则 = ；12312312322020(*)30 xxxxxxxxx 333231232221131211bbbbbbbbbBbbb211解：解： 321,bbbB |B|= .因为因为 B 的每一个列向量都是方程组的每一个列向量都是方程组 Ax=0 的解，的解，所以所以 Abi=0),(321AbAbAb 即即AB=O ，0| B=O=0=0又由于又由于则有则有),(321bbbA(i =1,2,3) ,=0122211,311AO 023/

18、28即即AB=O ，122211311AO 0| B反证，若不然反证，若不然0| B，则，则 B 可逆可逆 A与已知条件矛盾，与已知条件矛盾，1 ABB又由于又由于故有故有 | B |=0 .=O1 BO24/28*1:,|,.(1).(2):.TTTAnnbEOAPQAAAbAEnPQQAb 例例 设设 为为 级级非非奇奇异异矩矩阵阵为为 维维列列向向量量为为常常数数记记其其中中为为矩矩阵阵的的伴伴随随矩矩阵阵为为 级级单单位位矩矩阵阵计计算算证证明明可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是*1:|.|()TTTTTTEOAPQAAbAA AAAb AAOAbA 解解.)( |,|,|:1*

19、1* AbAOAAbAAAAAbAAAOEPQAAAEAAATTTTTT于是于是故故由于由于解解 A *|TTA AA*|TAb A25/28*1*1:|,|,|.|()TTTTTTA AA EAA AEOAPQAAbAPQA AAAb AAOA bA 解解 由由于于故故于于是是.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分必要条件为分必要条件为可逆充可逆充即即充分必要充分必要由此可知由此可知所以所以且且而而.)( |,|,|:1*1* AbAOAAbAAAAAbAAAOEPQAAAEAAATTTTTT于于是是故故由由于于解

20、解.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分分必必要要条条件件为为可可逆逆充充即即充充分分必必要要由由此此可可知知所所以以且且而而.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分分必必要要条条件件为为可可逆逆充充即即充充分分必必要要由由此此可可知知所所以以且且而而*1*1|,|,|.|()TTTTTTA AA EAA AEOAPQAAbAA AAAb AAOAbA 由由于于故故于于是是.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分必要条件为分必要条件为可逆充可逆充即即充分必要充分必要由此可知由此可知所以所以且且而而.,0| ,),( | , 0|,|),(|