广东省云浮市2021届新高考数学一模试卷含解析

1、项是符合题目3 或者 -1 ，判断出广东省云浮市 2021 届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 要求的。1 已知集合 A = - 2, 1, 0,1,2, B = x|x2 - 4x - 5V0，贝VAQB=()A - 2,- 1, 0 B . - 1,0,1 , 2 C. - 1, 0,1D.0 ,1, 2【答案】 D【解析】【分析】 解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项 .【详解】因为集合 A 2, 1,0,1,2, B x|(x 5)(x 1) 0 x| 1 x 5A B2, 1,0,1,

2、2 x| 1 x 50,1,2 ，故选： D.【点睛】 本题考查集合的交集运算，属于基础题 .r r r r2已知向量 a (m,1), b (3,m 2)，则 m 3是 a/b的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D .充要条件【答案】 A【解析】【分析】r r r r 2向量 a (m, , b (3, m 2), a/b，则 3 (m 2),即 m 2m 3 0 , m即可.【详解】rr解：向量 a (m，1)，b (3,m 2)，ar /br ，则 3 m( m 2)，即 m2 2m 3 0 ，m 3 或者 -1 ，所以 m 3是 m 3或者 m 1的

3、充分不必要条件，故选： A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.3已知随机变量 X 服从正态分布 N 4,9 ，且 P X 2 P X a ，则 a ( )A3B5C6D 7【答案】 C【解析】【分析】根据在关于 X 4 对称的区间上概率相等的性质求解【详解】Q 4 ，3，P(X 2) P(X 4 2) P(X 4 2) P(X 6) P(X a) ， a 6故选： C 【点睛】本题考查正态分布的应用掌握正态曲线的性质是解题基础随机变量 X 服从正态分布 N , 2 ，则 P X m P X m 4. 已知m,n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面

4、， 且m ,n ，则“”是“m/n的 ()条件 .A .充分不必要B .必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】 B【解析】【分析】 根据充分必要条件的概念进行判断 .【详解】对于充分性：若，则 m,n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若 m/n ，则 n ,n ，可得，必要性成立 .故选： B【点睛】本题主要考查空间中线线， 线面， 面面的位置关系， 以及充要条件的判断， 考查学生综合运用知识的能力 解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.5. 已知数列a.满足an i an 2，且耳忌,a4成等比数列若a.的前n项和为Sn，则Sn的最小值为 ()A.-10B 1

5、4C.-8D.-20【答案】D【解析】【分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得Sn，再利用二次函数的性质，可得当n取到最小值.【详解】根据题意，可知an为等差数列，公差d 2，2由ai,a3,a4成等比数列，可得 a? a4，2- 4)ai (ai 6)，解得 ai8 .4或5时，Snn2 9n(n |)2814根据单调性，可知当n 4或5时，Sn取到最小值，最小值为20.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当n项和的最值，考查函数与方程思想、n 4或5时同时取到最值.转化与化6如果直线ax by 1

6、与圆C :x22y 1相交，则点M a,b与圆C的位置关系是(A .点M在圆C上C .点M在圆C内【答案】B【解析】【分析】B .点M在圆C外D .上述三种情况都有可能根据圆心到直线的距离小于半径可得a,b满足的条件，利用 M a,b与圆心的距离判断即可【详解】Q直线ax by 1与圆C :x2 y21相交,圆心(0,0)至y直线ax by | 1|1的距离d2 1 21,.a b即 a2 b21 也就是点M(a,b)到圆C的圆心的距离大于半径.即点M(a,b)与圆C的位置关系是点 M在圆C外.故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题.2 27.已

7、知Fi、F2是双曲线 笃 打1（a 0,b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线a b交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. （2,）【答案】A【解析】B. （ .3,2）C. C，2, .3）D.（1/2）22b双曲线X- - y2 =1的渐近线方程为y= x, a22a不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为by=a（X - c）,.c be、与y= - ax联立，可得交点m（-，-石），点M在以线段F1F1为直径的圆外,2 2 2|0M| > |0F1|,即有 乞+吗 > c1,4 4a &

8、gt;3,即卩 b1>3a1,2a二 c1 - a1 > 3a1,即卩 c> 1a.小 c则 e= > 1.a双曲线离心率的取值范围是（1, +R）.故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a, b, c的方程或不等式，再根据a, b, c的关系消掉b得到a, c的关系式，建立关于 a, b, c的方程或不等式，要充分利用椭圆 和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等2 2&已知双曲线 M :与 与 1（b a 0）的焦距为2c，若M的渐近线上存在点 T，使得经过点T所作 a b的圆（x c）2 y2 a2的两条切线互相垂直，则

9、双曲线M的离心率的取值范围是（）a. （1八2b.、3c.（、.2八5d.（込八5【答案】B【解析】【分析】由b a可得e 2 ；由过点T所作的圆的两条切线互相垂直可得TF 2a ，又焦点F (c,0)到双曲线渐近线的距离为b，则TF| 42a > b,进而求解.【详解】Qb a,所以离心率ea耳 a又圆(x c)2 y2 a2是以F (c,0)为圆心，半径r a的圆要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂 直必有TF| 辰，而焦点F (c,0)到双曲线渐近线的距离为b，所以TF 42a > b,即 - < 2 ,a所以e c . 1 b < . 3 ,所以双曲线 M的离

10、心率的取值范围是 C 2, .3.a a35614本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的性质的应用9周易是我国古代典籍，用卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中 ”表示一个阳爻，”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为()3A B 283C 1D.-4【答案】D【解析】【分析】 分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦

11、满足条件，其种数是C： 3 ；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是C3 3，于是所求的概率P 故选：C【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题10.已知a, b是两条不同的直线，a B是两个不同的平面， 且a? a, b? B, a/ B, b a ,则“a/b '是“a/ 3 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】解：a? a, b? B, a / B, b / a,由a / b,

12、不一定有 all B, a与B可能相交；反之，由a/ B ,可得al b或a与b异面，a , b是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，且 a? a, b? B, a/ B, b / a ,则“a/ b是“a/ b”勺既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.11.若（1 2i）z 5i （ i是虚数单位），则z的值为（）D. .5【解析】【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可【详解】1 2i z 5i （ i是虚数单位）可得 1 2i |z 5i解得z 75本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的模的运算法

13、则的应用，复数的模的求法，考查计算能力r2r12.已知向量 m 2cosx,-、3 , n1,sin2x，设函数 f xm n，则下列关于函数yf x的性质的描述正确的是（）A .关于直线X 对称125B .关于点,0对称12C.周期为2D. y f x在 ，0上是增函数3【答案】D【解析】【分析】【详解】f x 2cos2 x x 3 sin 2x cos2x sin 2x 1 2sin(2 x ) 1,当 x 6 12时,sin(2x ) sin 1f(x)不关于直线x 对称；6312当 x 5 时,2sin(2x )12 6511 , . f(x)关于点(一 ,1)对称;122f(x)得

14、周期T 当x (,0)时,2x (,) ,. f(x)在(，0)上是增函数.362 63本题选择D选项二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数f（x） aex x2 8x的图象在（0, f（0）处的切线斜率为4，则a 【答案】4【解析】【分析】先对函数f (x)求导，再根据图象在(0, f (0)处切线的斜率为-4,得f'( 0)=- 4,由此可求a的值【详解】x 2x由函数f x ae x 8x得f' x ae 2x 8 ,函数f (x)的图象在(0, f (0)处切线的斜率为-4, f'O a 84, a 4.故答案为4【点睛】本题考查了根据

15、曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题.x y ax ay的最小值为7,则a =14 .设x、y满足约束条件x y【答案】3【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为-z，对参数a分类讨论，当a 0时显然不a满足题意；当a 1时，直线y小值为7,得出结果；当0 a1时,1 za1 1y 丄X 2z的截距没有最小值，即 z没有最小值；当a 0时, a a经过可行域中的点 A时，截距最小，即 z有最小值，再由最1yxa【详解】1 z的截距没有最大值,az没有最小值，综上可得出结果根据约束条件画出可行域如下:y=a，可得出交点Ay= 1由z x ay可得ya 0时显然不满

16、足题意;1当a 1即1-aa 1 有最小值，即+a210时，由可行域可知当直线 y宁7，解得a（舍）;经过可行域中的点 A时，截距最小，即z当0 a 1即一 1时，由可行域可知a1当a 0即一0时，根据可行域可知 ya1xa1x a1-z的截距没有最小值，即 z没有最小值;a1丄z的截距没有最大值，即 z没有最小值a综上可知满足条件时 a 3.故答案为：3.【详解】本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论15.已知2 2F为双曲线C: X2 y2 1 （a 0,b 0）的右焦点，过F作C的渐近线的垂线 FD , D为垂足,a b且 | FD |OF | （0为坐

17、标原点），则C的离心率为2【点睛】【答案】2【解析】【分析】求出焦点到渐近线的距离就可得到a,b,c的等式，从而可求得离心率.【详解】由题意F （c,0）, 条渐近线方程为y -x，即 bx aay 0，FDbc.b2 a2b，由 |FD |TOF| 得 b23 2二 b -c4故答案为：2.c2 4a2，- e -2a【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于a, b,c的等式.5116.正项等比数列|an满足a1 a3，且 2a2,2a4，a3成等差数列，则（aia2）（a2a3）L ®an1）取得最小值时n的值为【答案】2【解析】【分析

18、】先由题意列出关于a“q的方程，求得an的通项公式，再表示出（印玄2）（a2a3）L（ananJ即可求解.解：设an公比为q,且q2a3 a2q, a4a2q12 a4 2a2 a32a2a2q1 2 2a2q314a131an2nbnan3n 122nbn_2n 52232n2(1) L(2n 5)4n2(n2)2 42时,上式有最小值116，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数 f(x) 2x 1 x 2 , g(x) x m x m .(1) 解不

19、等式f(x) 8 ；(2) 为 R, X2 R使得f(xj g(X2)，求实数m的取值范围.55【答案】(1),5(11，); (2) m 或 m -.44【解析】【分析】(1) 分段讨论得出函数 f(x)的解析式，再分范围解不等式，可得解集；(2) 先求出函数f x , g x的最小值，再建立关于 m的不等式，可求得实数m的取值范围3 x,x 2(1)因为 f(x)2x 1x 213x 1, 2 x 0,02x 3,x12所以当x< 2时，3 x8 x5;1当2 x 时，23x18x3,无解；当x 2时，x 38x11;综上，不等式的解集为，5（11,）；3 x,x 21(2) Q f

20、 (x) 3x 1, 2 x , f (x)2x 3,x12又 Q g (x) x m x m【点睛】本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题18.已知在等比数列an 中，an 0, a11 124,-a?83a4（1）求数列 an的通项公式;(2)若 bn1，求数列 bn前n项的和.log2 an log2 an 1【答案】（1） an 2n 1（ 2）2n 4【解析】【分析】（1）由基本量法，求出公比 q后可得通项公式;（2）求出bn，用裂项相消法求和.【详解】 解：（1）设等比数列 an的公比为q q 011211 2又因为a14,，所以aia2a

21、44q4q2 4q3解得q1(舍)或q=2所以an42* 12n1，即an2* 1(2)据(1)求解知，an 2n1 ,所以bn1log2 anlog2 an 11n 1n211n 1n2所以Tnbib2b3bn1 1111 11 12 3344 5n 1 n 21 12 n 2n2n 4【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和解题方法是基本量法基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握.19.已知函数 f(x) x|x a|,a R.(1)若f 1 f 11，求a的取值范围;(2)若a 0，对x, y (,1【答案】(1),；(2)2【解析】【分析】(1)分类讨论a

22、1 ,1 a1, a 1，即可得出结果;a，不等式f (x) y 343,0 .ay 2恒成立，求a的取值范围.(2)先由题意，将问题转化为f ( x) max(y)min即可，再求出f(X)max，最小值，解不等式即可得出结果【详解】(1)由f 1f11得a1 a 11,若a1，则1a a 11,显然不成立；若1a 1,则1a a 111 1 ,a，即一v a v 1 ；2 2若a 1，则1aa 1 1 ,即21，显然成立，1综上所述，a的取值范围是 丄,2(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需f ( X)max(y)min，2当X(,a时，f(x)x(xa)，所以 f (X)maxfa2

23、a4因为3a3 ayy424 2所以2 a3a，解得3a 1，结合a 0，442所以a的取值范围是3,0【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型20.如图，在三棱柱ADF BCE中，平面ABCD 平面ABEF ,侧面ABCD为平行四边形，侧面ABEF为正方形，AC AB , AC 2AB 4, M为FD的中点(1) 求证：FB /平面ACM ;(2) 求二面角M AC F的大小.【答案】(1)证明见解析(2) 45【解析】【分析】(1)连接BD，交AC与O，连接MO，由MO / /FB，得出结论;(2

24、)以A为原点，AC , AB , AF分别为x , y , z轴建立空间直角坐标系，求出平面 ACM的法向量，利用夹角公式求出即可 【详解】（1）连接BD，交AC与0，连接M0 ,在 DFB 中，MO/FB,又FB 平面ACM，MO 平面ACM，所以FB /平面ACM ；（2）由平面ABCD 平面ABEF，AC AB， AB为平面ABCD与平面ABEF的交线，故 AC 平面ABEF，故 AF AC，又 AF AB，所以 AF 平面 ABCD，以A为原点，AC，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A 0,0,0 ，设平面ACMC 4,0,0，的法向量为B 0,2,0，uD 4, 2,

25、0，F 0,0,2，M2,2, 1,1，1,1，uur，AC4,0,0uur ，AMmx, y, zv ULUV丄m AC4x 0ir由 v uuuv0得m0,1,1m AM2x y zuun平面ACF的法向量为AB 0,1,0，由 cos AB, m -本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题21.在平面直角坐标系 xOy中，直线1的参数方程为x a 2t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正y t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 123 sin2（1）若a2，求曲线C与1的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与I夹角为45&

26、#176;的直线，交I于点A，且PA的最大值为 10，求a的值3【答案】（1）2,0，1,2 ；（ 2）a 1 或 a 1【解析】【分析】联立方程，即可求得曲线 C与I的交(1)将曲线C的极坐标方程和直线I的参数方程化为直角坐标方程, 点坐标；(2)由直线I的普通方程为x 2y a 0，故C上任意一点P(2cos ,.、.3si n )，根据点到直线距离公式求得P到直线I的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案【详解】(1) Q123sin22 2 23 2 sin212 .4y2 12，cos2.，得 3x sin2 2曲线C的直角坐标方程为 1 .4 3当a 2时，直线I的普通方程为x

27、2y 20x 2y 20小 x 1x 2由x2 y2 解得或3.-1y 0 y -4 323 从而C与I的交点坐标为 2,0，1,-.2(2)由题意知直线I的普通方程为x 2y a 0，x 2cosC的参数方程为-(为参数)y v3 si n故C上任意一点P(2cos ,3 sin )到I的距离为|2cos 2 . 3 sin a |4sin则 |PA|sin 454si na6- 50时，|PA|的最大值为10所以a 1 ；当a 0时,|PA|的最大值为 2|t a| 10，所以a1.综上所述，a 1或a 1【点睛】和点到直线距离公式， 考查了分析能力和计解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直

28、角坐标方程的方法,算能力，属于中档题2x22 已知椭圆ab21 a b 0的左、右焦点分别为F1 , F2，离心率为A为椭圆上一动点(异于左右顶点)，AF1F2面积的最大值为.3 (1)求椭圆C的方程;(2)若直线I : yx m与椭圆C相交于点代B两点，问y轴上是否存在点M，使得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.x2【答案】(1)y2 1 ； (2)见解析4【解析】【分析】(1)由面积最大值可得 be 、3，又-a3，以及a22b2 e2，解得a,b，即可得到椭圆的方程,假设y轴上存在点m o,t ,ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设

29、A X1,y1 , B X2,y2线段AB的中点为N Xo，y。，根据韦达定理求出点 N的坐标，再根据 AM BM , MN I，即可求出 m的值，可得点M的坐标【详解】(1) AF1F2面积的最大值为.3，则：bc .3又 e C -, a2 b2 c2，解得：a24, b21a 22椭圆C的方程为：x y214(2)假设y轴上存在点M 0,t ,ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形设 A, B X2,y2，线段AB的中点为N “y。2x 2彳y 1由 4，消去y可得：5x2 8mx 4 m24 0y x m222n64m 20 4m 4 16 5 m0，解得：m2 5x1x28m眉，为x

30、24m2 45XoX1X224m，y。Xo4m m-,_5依题意有AMBM , MN由MNl可得:t巴54 d m 151，可得:3m由AMBM可得:y tX1y tX2Q yiXi m ,y2X2m代入上式化简可得:2x?x1x2则：2 4m_48m 258m 250，解得：m当m 1时，点M0,满足题意;当m1时，点M 0,3满足题意5故y轴上存在点M0,，使得 ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】 本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题23.已知函数g(x) ex (a 1)x2 bx 1(a, b R)，其中e为自然对数的底数(1)若函数f(x) g (x)在区间0,1上是单调函数，试求 a的取值范围;(2)若函数g(x)在区间0,1上恰有3个零点，且g(1)0，求a的取值范围.3e【答案】(1),1,; (2) (e 1,2).2 2【解