微分几何试汇总题库(选择题)

1、 &=- (s) |40)I(t0)2 .曲线r=r(s)在P点的基本向量为r , r, r o在P点 的曲率k(s),挠率为(s),则&= 。 k(s) r-k(s) r + (s) r_ r_ r r-(s) k(s) - (s)3 .曲线r = r(s)在P (s)点的基本向量为r, r, r。在Pr rr r5 .曲线r = r(s)在P (s)点的基本向量为 ，在P点的曲率k(s),挠率为(s),则k(s)=&&% &rr rr r6 .曲线r = r(s)在P (s)点的基本向重为，则下式不正确。点的曲率k(s),挠率为(s),则&=

2、rr k(s)(s)&=2 r&= 3 r-2r&二-3 r+2 r二.单项选择题1. P(t0)是曲线r = r(t)上一点，P是曲线上P点附近的一点，S为弧PPi的长，为曲线在P点和Pi点的切向量的夹角，k(s)是曲线在P点的曲率。则下面不等于lim |s 0 sk(t0) I&t0)| r r-k(s)+ (s)-(s)4.曲线J=ir(s)在P (s)点的基本向量为r, r, r。在P点的曲率k(s),挠率为(s),则下式 不正确。 &=- k(s) &= -k(s) r + (s) r &= k(s) r7 .曲线r = r(s

3、)在P (s)点的基本向量为r, rr r r(r',r''r''')(r' r'')2r r r(r' r'',r''')|r' r''|% &r不是(C)为平面曲在P点的曲率k(s),挠率为(s),则(s) = &&r r 10.设曲线(C): r = r(t),以下线的充要条件。r r8.曲线r = I(t)在P点的曲率k,挠率为，则下式r .(C)的密切平面固定；(C)的副法向量 =常矢(C)的曲率k=0 ;(C)的挠率

4、 =0。正确。| r ' r ''|Ir'l211 .已知曲线r = r(t)在；(卜)点的挠率为，则 是时，曲线在rt)点附近是右旋的。I&r r r(r' r'')，r r9.曲线r =；(t)在P点的曲率k,挠率为，则下式12.若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是正确。D (&&&&&(陷&臀k2直线;平面曲线;小于;不等于。 曲线的主法线与固定方向垂直;球面曲线；圆柱螺线。13 .若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线平面曲线；球面曲线；圆柱螺线；直线。14 .平面曲

5、线（C）的法线和它的渐缩线（C）在对应点 处 。相交；相离；相切；关系不确定。15 .平面曲线（C）上两点的曲率半径之差 渐缩线 上对应点之间的弧长。等于；大于；16 .曲线（C）是一般螺线，则以下命题 不正确。（C）的切线与一固定方向成固定角；（C）的副法线与一固定方向成固定角；（C）的主法线与一固定方向垂直；（C）的副法线与一固定方向垂直。17 .曲线（C）在条件 下不一一定是一一般螺线。 其切向量与一固定方向成固定角； 其主法向量与一固定方向成固定角；其副法向量与一固定方向成固定角； 其曲率与挠率之比为常数。18 .若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题不 正确。EG0;<

6、0;R;曲线的副法线与固定方向成定角;曲线的副法线与固定方向垂直; 曲线的曲率与挠率之比为常数。19 .下述命题不正确的是 若曲线（C）的密切平面固定，则（C）是平面曲线； 若曲线（C）的密切平面垂直于某条固定直线，则（C）是平面 曲线； 若曲线（C）的挠率（s）=0,则（C）是平面曲线； 若曲线（C）的从切平面平行于固定直线，则（C）是平面曲 线。20 .对曲面的第一基本形式Edu2 2Fdudv Gdv2 ,r21 .球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin 的第一基本形I= 0R2d2R2cos2d 2 ；R2 cos2d 2R2d2 ； R2d 2 R2sin2

7、d 2； R2sin2 d 2 R2d 2。r22 .正螺面r ucosv,usin v, bv的第一基本形式是 du2 (u2 b2)dv2(u2 b2)du2 dv2 u2du2 dv2 du2 u2dv2r23 .正螺面r u cosv,u sin v, bv的第一基本形式是 。 2 br dudv _b dudvVuT(u2 b2)du2 dv2 du2 (u2 b2)dv2r24 .对于圆柱面r Rcos , Rsin , z,以下结论 不正坐标网是正交网；沿同一直母线的切平面是同一个;rr _ rr _ rr _ r r N&n；N n”；N 几q；N n rt。其上高斯曲

8、率为零；其上没有抛物点。25.以下量中，不是曲面的内蕴量。曲面上两曲线的夹角；曲面上曲线的弧长;29 .以下说法正确的是 。法曲率是法截线的曲率；法曲率大于等于零；法曲率是曲率向量&在主法向量上的投影；曲面上曲面域的面积；曲面上一点沿一方向的法曲率。26 .曲面r r(u,v),rr是其单位法向量。下列第二类基本量的计算中 是不正确的。r r ir rr r r rL% L；L扃n；L 几a ；L 1 %。27 .曲面r r(u,v),n是其单位法向量。下列第二基本量的计算中 是不正确的。r rr rr rr rM 加n ；M 加n ；M %、；M 8 %。 r r r .一28.曲面

9、r 1r(s,t), n是其单位法向量。下列第二基本量的计算中 是不正确的。法曲率的绝对值是法截线的曲率。30 .曲面r r(u,v)在P点的第一第二基本形式分别为，。过P点的曲线(C)在P点的曲率为k,曲面在P点沿(C)的方向(d)r的法曲率为kn, (C)在P点的王法线与曲面的法向n的夹角为，则下式 正确。 kn ； kn k cos ；|kn| ；kn ksin 。31 .在曲面的椭圆点处，。 LN M2f0; LN M2p0; LN M 2 0 ； L=M=N=0 .32 .如果曲面上一点P处有LN M 2 0，则点P是37.曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是椭圆点；双曲点；平点；

10、抛物点。 E=G=0; L=N=0 ; F=0 ; M=0 .33.圆环面上的点是38.曲面上的曲纹坐标网是共腕网的充要条件是椭圆点；双曲点；抛物点； 或或或。 F=0 ; M=0 ; L=N=0 ; F=M=0 .34. 一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点39 .曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是 F=0 ; M=0 ; E=G=0 ; L=N=0 .椭圆点；双曲点；抛物点； 或或或。40 .曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是35. （C）是曲面S上的曲线，（C）上的点满足 时，不一定是渐近线。（其中n是沿（C）的法曲率，是第二基本形式，g是测地曲率） Kn 0 ;0

11、; K=0 ； Kg=0 .36.椭圆抛物面上的点是。 椭圆点； 双曲点； 平点； 抛物点。 F=0 ; M=0 ; F=M=0 ; L=N=0 .41 .设L、N是曲面的第二类基本量，L=N=0是曲面的曲 纹坐标网为 网的充要条件。 正交网；渐近网；曲率线网；半测地坐标网.rr 一42 .曲面在一点的单包法向重是 n ,在该点的一个方向dr是 一，一一, r一一主方向的充要条件是 。（其中r是另一方向） r rrr rdn dr0 ；r 使n dr0 ；rrr rrr rrr 使dn r0;r 使n dr0且 dr r0.43.曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向dr是主方向的充要条

12、件是。（其中r是另一方向） rr-rrrdn dr0 ；r 使n dr0 ；r rr r rr 一 rrr使dnr0;r使 dnr0且 drr0。44 .曲面在一点的单位法向量是n ,在该点的一个方向dr是，一一. r 一一 、，主方向的充要条件是 o （其中r是另一方向） r rrr rdn dr0 ；r 使n dr0 ；r,»rrr r r 使dn r 0; dn dr。45 .曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向dr是一，一一, r一一 、，主方向的充要条件是 0 （其中r是另一方向）小 rr_rrr_dn dr0；r 使n dr0；r r r r rr 使 dn r

13、0; dn lldr。46 .曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向是dr,r r、一，,一，, r一一 、，则dn dr的充要条件是。（其中r是另一方向）rrr rrdnr0；r使 drr0；r,cr.,rr一rr沿dr有n 0;r使dnr0且drr 0。r, r47 .下列 不是dr du:dv与r u: v共腕的充要条件。_ r r_ r r dn r 0 ； n dr 0 ；公 r r dn dr 0 ; Ldu u M （du v dv u） Ndv v 0。48 . F = M = 0是曲纹坐标网为 网的充要条件。 正交网； 共腕网； 曲率网； 渐进网。49 .以下说法不正确

14、的是。球面上的每个点都是圆点；平面上的每个点都是平点双曲抛物面上的点都是双曲点；球面上也可以有双曲点。50 .以下结论不正确的是。球面上的每一条曲线是曲率线；平面上的每一条曲线是曲率线；圆柱面上的圆柱螺线是曲率线；旋转曲面上的纬圆是曲率线。r 一51 .以下结论不正确的是 (其中n是曲面的单包法向量)。在等距变换下，曲面的第一、第二基本量是不变的； r r如果dn dr ,则(d)是王方向；曲面上的直线既是渐近线又是测地线；r r . . r r曲面上的两方向dr, r共腕 dn r 0。r52 .对于球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin ,以下说法 不正确。坐标网是

15、正交网；其上任何曲线是曲率线；高斯曲率为常数；其上没有测地线。53 .若曲面S上曲线(C)是平面曲线，则一定有(C)的 包法曲率；挠率；侧地曲率g ;曲率k .54 .球面上的大圆不可能是球面上的 。测地线； 曲率线；法截线；渐近线。55 .在圆柱面上，圆柱螺线是 。平面曲线；曲率线；测地线；渐近线。r56 .对于球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin ,以下说法 正确。具上也有渐近线；其上曲率线也是测地线；其上测地线也是曲率线；曲纹坐标网不是曲率网曲率线网;半测地坐标网57 .对于球面 r Rcos cos ,Rcos sin , Rsin ,以下说法 不正确。沿其上

16、任何曲线的法线曲面是可展曲面；大圆上每一点处的测地曲率为零；高斯曲率是正常数；只有大圆是曲率线。58 .以下各项中 不一定是测地线。球面上的大圆；圆柱面上的圆柱螺线；旋转曲面上的经线；旋转曲面的纬线。r59 .球面 r Rcos cos ,Rcos sin , Rsin 的坐标曲线构不成。正交的渐近网；共腕网；60 .下列曲面对所选参数， 的坐标网是曲率线网。 r旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t) , ( (t)f 0);正螺面 r ucos ,usin ,b ；抛物面z a(x2 y2)；frr,、,r,.直纹面r a(u) vb(u)。 r61 .对于圆柱面r Rco

17、s , Rsin , z,以下说法 不正坐标网是正交网；坐标网是共腕网；坐标网是曲率网；坐标网是渐近网。r62 .对于正螺面r u cosv,u sin v,bv,以下说法 不正坐标网是正交网；坐标网是共腕网；曲面的法线与的主法线重合同时又是曲率线坐标网是半测地坐标网；坐标网是渐近网。r63 .对于正螺面r u cosv, u sin v,bv,其坐标网不是正交网；曲率网；渐近网；半测地坐标网。64 .曲面上有直线，则直线不一定是 o渐近线；曲率线；测地线；法截线。65 .曲线 是曲面S上非直线的渐近线，则在 的每一点,以下说法 不正确。曲面的法线与 的副法线重合；曲面的法线与 的主法线垂直；

18、曲面的切平面是曲线的密切平面；r r66 .对给止曲面r r(u,v),在给止点沿方向du:dv的法曲 率为n,第一基本量为E、F、G,第二基本量为L、M、N ,则 以下条件中 不是du:dv为渐近方向的充要条件。 n = 0 ; Ldu 2 2Mdudv Ndv2 0; II = 0 ; Edu2 2Fdudv Gdv2 0。67 .曲面在每一点处的主方向 。只有一个；至少有两个；只有两个；也可能没有。68 .若曲面上的曲线包有法曲率为零，则曲线一定是 。 渐近线； 平面曲线； 曲率线； 测地线。69 .曲面上使n g 0的曲线不一定是。直线；渐近线；曲率线；测地线。70 .以下曲面中，上的

19、直线是渐近线，也是测地线，柱面；双曲抛物面； 单叶双曲面； 任意直纹面71 .曲面上曲线的方向都是主方向，且在每点的主曲率kN=。，则沿的每点。一定曲率k=0 ； 不可能 n g N ；一定有法曲率n=0； 一定有测地曲率g=0。72 .曲面在一（非脐）点的主曲率是曲面在这点 。沿主方向的法曲率； 所有方向法曲率中的最大值;所有方向法曲率中的最小值；所有方向法曲率的平均值。73 .由方程L E M F =0解得的k是 。 M F N G高斯曲率；一般法曲率；测地曲率；主曲率。74 .由方程L E MF =0求得的k是 。M F N G高斯曲率； 主曲率；一般法曲率； 平均曲率。75 .在曲面上

20、一点处高斯曲率 K> 0 ,则LN M0;< 0;=0;符号不确定。76 .若在曲面上一点LN M2< 0 ,则在该点的高斯曲率K 00;< 0;=0;符号不确定。 .、一一，1 一 、77 .若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为 2,-,则这2点是曲面的。椭圆点； 双曲点； 抛物点；圆点。78 .若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为 2,，则这2点是曲面的。椭圆点； 双曲点； 抛物点；脐点。79 .若在曲面上一点处有上 M ,则这点是曲面E F G的。831 2 edu确的。e e椭圆点；平点；圆点；脐点。80 .在双曲点，曲面的两个主曲率 K1与K2 。同号； 异号

21、；同号或异号；可能是零。81 .在抛物点，曲面的两个主曲率 Ki与K2 。同号； 异号；至少一个为零；不全是零。.r r r82 .曲面r r (u,v), n是其单包法向重。则下列 项不是 曲面的第三类基本量。； 1u nv ； 1v n,； ru nru 。曲面r rr(u, v), n是其单位法向量，2 fdudv gdv2。则下列第三基本量的表示中 是正r rrr rrr rnu nv； f % nv;g %; g N nv。84 .以下 曲面上的点总有高斯曲率K> 0椭球面； 圆环面；双曲面；圆柱面。85 .下列曲面中，不一定是可展曲面。锥面；曲线的切线曲面；柱面；曲线的主法线

22、曲面86 .下列曲面中，不一定是可展曲面。柱面；曲面上沿曲率线的法线曲面；某曲线的切线曲面；曲线的副法线曲面。87 .下列直纹曲面中， 是可展曲面。锥面；挠曲线的主法线曲面；单叶双曲面；双曲抛物面。88 .下列直纹曲面中，是可展曲面。单叶双曲面；挠曲线的副法线曲面；挠曲线的切线曲面；双曲抛物面。89 .下列曲面中，不一定是可展曲面。任意曲线的切线曲面；曲面沿曲率线的法线曲面;,，一 r rr r94 .曲面r r(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量为，r . . r r r r .,，曲面在p点的单位法向量为n, r n 。则曲线©)在p点平面曲线的副法线曲面；圆柱螺线的主法线曲

23、面90 .下列曲面中，不与平面等距对应。锥面；正螺面；柱面；可展曲面,的测地曲率kg =91 .下列曲面中，不与平面等距对应。可展曲面；高斯曲率为零的曲面;r rr r95 .曲面r r(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量为 ，r。则曲线(C)在P点单参数平面族的包络；圆柱螺线的主法线曲面r . . r r r，曲面在p点的单位法向量为n, r n曲面在p点的单位法向量为nr,则测地曲率kg 0r rr r r员双 rr r r k n ;(，k , n);(&&&n);(k , , n)r rr93 .曲面r r(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量为k&

24、;&r ；kr&n ； 做nr ；96 .对于曲面上曲线(C),(C)的曲率;为零时,(C)不一定是测地线。沿(C)的高斯曲率;r .一 . r r r r .,，曲面在p点的单位法向量为n, r n 。则曲线©)在p点(C)的测地曲率;沿(C)的法曲率和曲率。的测地曲率kg=r97.曲面S上曲线(C)在P点的曲率为k，主法向量为,曲. r rr92 .曲面r r(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量为的测地曲率kg =r r , r ,面（S）在P点的单位法向量为n,与n的夹角为 ，则曲线（C）在P点的测地曲率kg =。 kcos ； ksin ； ksin ；

25、kcos 。两曲面同为（或同不为）可展曲面。101 .下列曲线（C）中，的曲线（C）不一定是曲面上的测 地线。98 .曲面上曲线（C）在其上一点的以下曲率中， 一定不 变号。曲率；高斯曲率K；法曲率n ；测地曲率g。99 .对于曲面上非直线的曲线，不可能 。既是曲率线，又是渐近线；既是曲率线，又是测地线；既是测地线，又是渐近线；既是法截线，又是测地线。100 .两曲面沿一曲线相切，则以下结论中 不成立。同为（或同不为）两曲面的曲率线；同为（或同不为）两曲面的测地线；同为（或同不为）两曲面的渐近线；不可展直纹面上的直母线；圆环面上的最大圆（C）;旋转曲面上的经线（C）;旋转曲面上的纬圆（C）。1

26、02 .下列曲面中，的坐标网不是半测地坐标网。r圆柱面 r Rcos , Rsin , z; r旋转曲面 r （t）cos , （t）sin , （t）;正螺面 r u cosv, usin v,bv；椭圆抛物面r x, y,a（x2 y2）。103 .下列曲面中，的坐标网不一定是半测地坐标网。r圆柱面 r Rcos , Rsin , z; r旋转曲面 r （t）cos , （t）sin , （t）;r r直纹面r a(u) vb(u);n. r球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin 。104.下列曲面中，的坐标网不是半测地坐标网。r球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin ；r 一一 旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t);双曲抛物面r u,v,u2 v2);平面在极坐标系下105 .下列曲面中，的坐标网不一定是正交网。r圆柱面 r Rcos , Rsin , z;r旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t)；r r. . r.直纹面r a(u) vb(u);r球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin 。106 .下列曲面中，的坐标网是渐近网。r圆柱面 r Rcos , Rsin , z;r旋转曲面 r (t)