“角的教学”研究

1、“角的教学角的教学”研研究究目前小学阶段，角的教学有哪些目前小学阶段，角的教学有哪些内容？是如何编排的？内容？是如何编排的？ 角的初步认识；角的初步认识； 角的认识；角的认识； 角的度量；角的度量； 角的分类；角的分类； （方向与位置中涉及到方位角；（方向与位置中涉及到方位角；求扇形面积涉及到圆心角）求扇形面积涉及到圆心角）角的教学上位数学知识上位数学知识角的概念角的概念1角的大小角的大小2角的类别角的类别3教材比较教材比较国内国内6 6个版本教材比较；个版本教材比较；其他国家与地区教材编写特点其他国家与地区教材编写特点课堂教学课堂教学课堂教学赏析及比较分析课堂教学赏析及比较分析前测、后测及分

2、析前测、后测及分析上位数学知识（一）概念：（一）概念：1、什么是角？、什么是角？ 定义一：由一点引出两条射线所组成定义一：由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。的图形叫做角。 这个定义是描述角的这个定义是描述角的“静态静态”形式。形式。可以称为可以称为“静态静态”定义（或称平面角概念）。定义（或称平面角概念）。 同样是描述静态的角，还有这同样是描述静态的角，还有这样的表述：样的表述： 有公共端点的两条射线组成的有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个共同端点叫做图形叫角，这个共同端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角角的顶点，这两条射线叫做角的边。的边。这样定义中的角，指的是哪里呢？这样定义中的角

3、，指的是哪里呢？ 定义定义2：由一条射线绕着它的端点：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，起始位置与终旋转而形成的图形，起始位置与终止位置所形成的图形叫做角。射线止位置所形成的图形叫做角。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。线叫做角的终边。 这是一个描述了角的形成过程的这是一个描述了角的形成过程的“动态动态”定义。（定义。（或称任意角概念）或称任意角概念） 角的两种定义哪一种更好呢？角的两种定义哪一种更好呢？ 动态定义的长处动态定义的长处: 有超过有超过180度、超过度、超过360度的角

4、；度的角； 有了方向，引入了正、负和零度的有了方向，引入了正、负和零度的角。角的度数与数轴上的点建立了角。角的度数与数轴上的点建立了一一对应关系。一一对应关系。 有了方向，角的度数具体明确；有了方向，角的度数具体明确； 动态定义有不足么？动态定义有不足么？ 比静态定义更抽象。比静态定义更抽象。 静态定义和动态定义之间有什么静态定义和动态定义之间有什么相同之处相同之处？ 都是发生式定义方式。都是发生式定义方式。 对概念下定义的方式通常有以下几对概念下定义的方式通常有以下几种：种： ：种加类征的定义方式；：种加类征的定义方式； ：发生式定义方式；：发生式定义方式； C: 提示外延的定义方式。提示外

5、延的定义方式。 所谓发生式定义所谓发生式定义 再现概念的发生过程。再现概念的发生过程。 这是种加类征的一种比较特别的形式。这是种加类征的一种比较特别的形式。 定义中，描述被定义概念的发生过程部定义中，描述被定义概念的发生过程部分即为分即为“类征类征”。 定义一：由一个端点引出的两条射线定义一：由一个端点引出的两条射线（类征）组成的图形（种）叫角（被定（类征）组成的图形（种）叫角（被定义概念）。义概念）。 定义二：由一条射线绕着它的端点旋转定义二：由一条射线绕着它的端点旋转（类征）而形成的图形（种），叫做角（类征）而形成的图形（种），叫做角（被定义概念）。（被定义概念）。都是用射线定义角的边。都

6、是用射线定义角的边。2、为什么用射线定义角的边，、为什么用射线定义角的边，而不用线段呢？而不用线段呢？ 三角形中一个内角的边三角形中一个内角的边是线段还是射线？是线段还是射线？ 查阅书籍：没有答案。查阅书籍：没有答案。 请教他人：请教他人： 有人说：角主要研究角度，不有人说：角主要研究角度，不研究边长，所以用射线定义。研究边长，所以用射线定义。 有人说：这是一种规定，这样有人说：这是一种规定，这样的规定能体现数学定义的简捷。的规定能体现数学定义的简捷。 有人说：这样的规定可以提高有人说：这样的规定可以提高概念的普适性。概念的普适性。 追根溯源：追根溯源： 无论是数学的概念还是数学无论是数学的概

7、念还是数学的运算、规则等都是由于现的运算、规则等都是由于现实世界的实际需要而形成的实世界的实际需要而形成的 。 弗洛登塔尔弗洛登塔尔 “角角”概念可能是用来解决什概念可能是用来解决什么问题的？么问题的？ 几何原本几何原本中角的定义：中角的定义： 平面角是在一平面内但不在一条直平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。线上的两条相交线相互的倾斜度。 原文是：Ptolemy I, king of Egypt, asked Euclid if there was in geometry any shorter way than that of the Elements, and h

8、e answered that there was no royal road to geometry. 3、 如何表示角？如何表示角？ 角可以用符号角可以用符号“”来表示。来表示。 表示一个特定的角通常有如下三种表示一个特定的角通常有如下三种方法：方法： 用三个大写字母表示，顶点字母写用三个大写字母表示，顶点字母写在中间。在中间。 用一个大写字母表示。用一个大写字母表示。 用数字或希腊字母表示。用数字或希腊字母表示。 角的第二种表示方法唯有在顶点处只有一角的第二种表示方法唯有在顶点处只有一个角时才可以用。个角时才可以用。 以以O为顶点的角有为顶点的角有3个，无论哪个角都不能个，无论哪个角都不

9、能记作记作O，应分别记，应分别记AOC,COBAOB 用第三种表示方法表示角的时候一般应该用第三种表示方法表示角的时候一般应该在靠近顶点处加上弧线。在靠近顶点处加上弧线。 （二）（二）角大小：角大小：1、角有大小吗？、角有大小吗？ 一个角是有大有小的，一个角是有大有小的，角的大小指的是角两条边之角的大小指的是角两条边之间分开的程度。间分开的程度。2、如何比较角的大小？、如何比较角的大小？ 2个或个或2个以上的角相比较个以上的角相比较的时候，有大有小。的时候，有大有小。 直接比较：直接比较： 重叠法（重叠法（1）。）。重叠法（重叠法（2）：）：间接比较：间接比较：测量法（量角器）。测量法（量角器

10、）。也可以量弧度、弦长等。也可以量弧度、弦长等。 引导学生比较角的大小大致可引导学生比较角的大小大致可以经历个过程：以经历个过程： 第一步是利用重叠法直接比较。第一步是利用重叠法直接比较。让学生直观感受角是有大小的，让学生直观感受角是有大小的，以及什么样的情况叫做一个角以及什么样的情况叫做一个角比另一个角大。比另一个角大。 第步是创设无法直接比较的第步是创设无法直接比较的情境（如比较画在黑板上的角）情境（如比较画在黑板上的角）引导学生间接比较。引导学生间接比较。 这时学生可以借助这时学生可以借助“描描”“”“寻寻找中间参照物找中间参照物”等方法进行比等方法进行比较，这其实也是一种转化。较，这其

11、实也是一种转化。 第步是第步是“个别单位比较个别单位比较”也就是也就是学生利用自己愿意采用的各种规格学生利用自己愿意采用的各种规格不一的不一的“小角小角”进行度量，这是一进行度量，这是一种度量意识的培养与渗透。种度量意识的培养与渗透。 最后是最后是“统一单位比较统一单位比较”。采用通。采用通用的，国际化的度量工具、统一的用的，国际化的度量工具、统一的度量单位进行比较。度量单位进行比较。 度量角有哪些单位度量角有哪些单位 ？ 度数制度数制 ： 弧度制弧度制 ： 1弧弧=180/571745 百分制：直角的百分之一百分制：直角的百分之一 1米度（米度（da） 密位制：把一圆周分成密位制：把一圆周分

12、成6000等份，一等份，一等份就是等份就是1密位的弧。密位的弧。1密位的弧对应密位的弧对应的就是的就是1密位的角。密位的角。（三）（三）角的类别：角的类别：按大小分：按大小分：零度的角、劣角（锐角、零度的角、劣角（锐角、直角、钝角）、平角、优直角、钝角）、平角、优角、周角、大于角、周角、大于360度的度的角。角。 按方向分：按方向分： 一条射线绕着端点按逆时针方一条射线绕着端点按逆时针方向旋转成的角叫做正角；向旋转成的角叫做正角； 一条射线绕着端点按顺时针方一条射线绕着端点按顺时针方向旋转成的角叫做负角；向旋转成的角叫做负角； 没有任何旋转，则称它形成了没有任何旋转，则称它形成了一个零角。一个

13、零角。 还有其他分类方法吗？还有其他分类方法吗？ 几何的角、运动的角、三角的角和几何的角、运动的角、三角的角和解析的角解析的角 象限角与轴线角象限角与轴线角 把角置于直角坐标系中，使角的顶把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与点与坐标原点重合，角的始边与X轴重合，终边落在第几象限，就称轴重合，终边落在第几象限，就称作第几象限角，落在坐标轴上则成作第几象限角，落在坐标轴上则成为轴线角。为轴线角。 还有另一种象限角定义：还有另一种象限角定义： 某一目标点的方向线与子午线在较为某一目标点的方向线与子午线在较为接近的一端（南端或北端）之间所夹接近的一端（南端或北端）之间所夹的角，称

14、这一直线的象限角。象限角的角，称这一直线的象限角。象限角是从正北的方向线或正南的方向线起是从正北的方向线或正南的方向线起始，向两侧进行计算的，正北和正南始，向两侧进行计算的，正北和正南为为0，正东和正西为，正东和正西为90。一般用。一般用北偏东、北偏西，南偏东、南偏西多北偏东、北偏西，南偏东、南偏西多少度来表示。它的角值介于少度来表示。它的角值介于090之间。之间。 回顾一下：回顾一下： 还记得还记得几何原本几何原本中角的定中角的定义吗？义吗？ 平面角是在一平面内但不在一平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的条直线上的两条相交线相互的倾斜度。倾斜度。 有不是同一平面内的角吗？有不

15、是同一平面内的角吗？ 什么是二面角？什么是二面角？ 如何测量二面角的大小？如何测量二面角的大小？ 二面角还是划归为平面角。二面角还是划归为平面角。 异面可以垂直吗？异面可以垂直吗？与角相关的其他上位知与角相关的其他上位知识：识：斜率、球面角、补角、斜率、球面角、补角、余角、对顶角余角、对顶角讨论：讨论：回顾、复习角的相关知识，回顾、复习角的相关知识，对对“角的教学角的教学”有帮助吗？有帮助吗？二、教材比较（一）国内六个版本教材比较。1、知识范围2、编写年段3、主题图及素材呈现4、角概念的揭示5、课堂活动6、角的大小比较7、练习题的设计1、知识范围：、知识范围： 课标要求：结合生活情境认识角，会

16、课标要求：结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角；辨认直角、锐角和钝角； 浙教版不呈现角的样子，也没有介绍浙教版不呈现角的样子，也没有介绍角各部分名称。角各部分名称。 北师大版教材呈现了角的读、记方法。北师大版教材呈现了角的读、记方法。 人教版有人教版有“画角画角”的要求：的要求： 版本版本年级年级教学内容教学内容人教版人教版二上二上初步认识角；认识直角。初步认识角；认识直角。二下二下认识锐角、钝角。认识锐角、钝角。北师大版北师大版二下二下初步认识角；认识直角、锐角、钝角。初步认识角；认识直角、锐角、钝角。浙教版浙教版三上三上初步认识角；认识直角、锐角、钝角。初步认识角；认识直角、锐角、钝

17、角。苏教版苏教版二下二下初步认识角；认识直角、锐角、钝角。初步认识角；认识直角、锐角、钝角。西南师大版西南师大版 二上二上初步认识角；认识直角。初步认识角；认识直角。二下二下认识锐角、钝角。认识锐角、钝角。青岛版青岛版二上二上初步认识角；认识直角、锐角、钝角。初步认识角；认识直角、锐角、钝角。3、主题图及素材呈现版本版本如何呈现如何呈现呈现内容呈现内容人教版二上人教版二上人教版二下人教版二下单元主题图单元主题图校园的一角校园的一角（内容比较丰富）。（内容比较丰富）。课时主题图课时主题图夜幕下的斜拉大桥夜幕下的斜拉大桥青岛版二上青岛版二上单元主题图单元主题图教室的一角（教室的一角（内容很丰富）。

18、内容很丰富）。浙教版三上浙教版三上课时主题图课时主题图乡村的生活场景（乡村的生活场景（内容比较丰内容比较丰富）。富）。苏教版二下苏教版二下课时主题图课时主题图做手工做手工(呈现内容比较简单呈现内容比较简单)。西南师大版二西南师大版二上上无无西南师大版二西南师大版二下下无无北师大版二下北师大版二下无无素材的呈现场景：多数版本都比较重视联素材的呈现场景：多数版本都比较重视联系学生的现实生活，选用学生熟悉的校园、系学生的现实生活，选用学生熟悉的校园、教室、教室内的活动为载体，呈现带有角教室、教室内的活动为载体，呈现带有角的素材原型。尤其值得关注的是浙教版和的素材原型。尤其值得关注的是浙教版和人教版（

19、二下）所呈现的主题图。人教版（二下）所呈现的主题图。 关注学生头脑中对关注学生头脑中对“角角”的原始认知；的原始认知； 帮助学生将生活原型数学化，让学生体会帮助学生将生活原型数学化，让学生体会到数学研究什么，不研究什么。到数学研究什么，不研究什么。角在现实生活中的应用实例角在现实生活中的应用实例;单一的内容呈现了各种类型的多个角；单一的内容呈现了各种类型的多个角；即与教学内容结合，又来自于真实的现实，这说明教即与教学内容结合，又来自于真实的现实，这说明教材编写者关注学生对材编写者关注学生对“数学来源于生活数学来源于生活”的真实体验。的真实体验。主题图中呈现的带有角的素材数量：青岛主题图中呈现的

20、带有角的素材数量：青岛版最丰富，多达几十个；苏教版比较少。版最丰富，多达几十个；苏教版比较少。青岛版青岛版苏教版苏教版 讨论：有主题图好还是没有主题图讨论：有主题图好还是没有主题图好？好？ 有主题图，有什么好处？有主题图，有什么好处？ 感受生活中很多地方有角，感受感受生活中很多地方有角，感受数学与生活的密切联系，为教师引导数学与生活的密切联系，为教师引导学生观察，引导学生用数学的眼光看学生观察，引导学生用数学的眼光看周围的世界提供了机会。周围的世界提供了机会。 学生要在众多复杂情境中寻找到学生要在众多复杂情境中寻找到角，要在情境中区分出角，这对培养角，要在情境中区分出角，这对培养学生数学眼光有

21、利。学生数学眼光有利。 有主题图，呈现丰富的素材，有不有主题图，呈现丰富的素材，有不足吗？足吗？ 引导学生观察主题图，找主题引导学生观察主题图，找主题图中的角，会占用一定的教学时间。图中的角，会占用一定的教学时间。 剪剪刀刀吸吸管管水水管管钟钟面面扇扇子子三角三角板板红领红领巾巾其他其他人教版人教版 （二下）斜（二下）斜拉大桥拉大桥北师大北师大版版苏教版苏教版 青岛版青岛版西南师西南师大版大版（）（）（二下）卡（二下）卡尺、房子尺、房子4、角概念的揭示、角概念的揭示 （1）六个版本教材在介绍什么是角时六个版本教材在介绍什么是角时略有差异。略有差异。 六个版本教材中，有四个版本教六个版本教材中，

22、有四个版本教材采用了举例的方法，如：材采用了举例的方法，如： 人教版人教版“上面的图形都是角上面的图形都是角”； 青岛版青岛版“这些都是角这些都是角”； 苏教版苏教版“上面的图形都是角上面的图形都是角”； 西南师大版西南师大版“右面的图形是一个角右面的图形是一个角”。 比较不同的是北师大版和浙教版教比较不同的是北师大版和浙教版教材。材。 北师大版教材直接呈现了一个角，北师大版教材直接呈现了一个角，并标注出角的各部分名称，没有文并标注出角的各部分名称，没有文字描述性说明。（如下图）字描述性说明。（如下图） 浙教版教材中，没有呈现角的浙教版教材中，没有呈现角的样子，也没有介绍角各部分名样子，也没有

23、介绍角各部分名称。称。 教材这样编写给教师的教学留教材这样编写给教师的教学留有更大的自由创编空间，同时有更大的自由创编空间，同时也给缺少教学经验的年轻教师也给缺少教学经验的年轻教师把握教学重点实施教学带来更把握教学重点实施教学带来更大的难度。大的难度。 呈现角的样子时，各个版本各不相同：呈现角的样子时，各个版本各不相同： 讨论：你认为哪一种呈现方式更好呢？讨论：你认为哪一种呈现方式更好呢？为什么？为什么？5、课堂活动、课堂活动做角做角 方式一：用两根硬纸条做一个方式一：用两根硬纸条做一个活动角。活动角。 方式二：用一张纸折一个角。方式二：用一张纸折一个角。 方式三：用两根小棒（两支铅方式三：用

24、两根小棒（两支铅笔）搭一个角。笔）搭一个角。 方式四：在钉子板上拉出一个方式四：在钉子板上拉出一个角。角。 方式五：转动钟面上的时针和方式五：转动钟面上的时针和分针得到一个角。分针得到一个角。 方式六：拉开纸扇（或合拢剪方式六：拉开纸扇（或合拢剪刀）得到一个角。刀）得到一个角。 方式七：活动木条玩具。方式七：活动木条玩具。人教人教北师大北师大浙教浙教西南师西南师大大苏教苏教青岛青岛方式一方式一O OO OO OO OO O方式二方式二O OO OO OO O方式三方式三O OO O方式四方式四O O方式五方式五O O方式六方式六O O方式七方式七O O 采用哪种做角方式最多？采用哪种做角方式最

25、多？ 硬纸条做活动角有什么好处？硬纸条做活动角有什么好处？ （1）比较方便准备的教学用具，方便）比较方便准备的教学用具，方便日常教学；日常教学； （2）可以让学生进一步关注角的本）可以让学生进一步关注角的本质质一个顶点，两条边；一个顶点，两条边； （3）活动角在张合的过程中容易让学）活动角在张合的过程中容易让学生体会到角的大小变化；生体会到角的大小变化； （4）便于学生做出的角相互比较，进）便于学生做出的角相互比较，进一步明确什么是角的大小。一步明确什么是角的大小。 “折一个角折一个角”也是被多个版本选用的。也是被多个版本选用的。有什么好处？有什么好处？ 纸片更是方便准备的教学具，也能够起纸片

26、更是方便准备的教学具，也能够起到让学生关注角的顶点和边的作用。到让学生关注角的顶点和边的作用。 “折角折角”有什么缺点嘛？有什么缺点嘛？ 纸片折出的角学生看到的不仅仅是一个纸片折出的角学生看到的不仅仅是一个角，还包含了纸片上的角，还包含了纸片上的“面面”，教师在，教师在使用中要想办法避免使用中要想办法避免“面面”对学生认识对学生认识角的影响。角的影响。 人教人教北师大北师大浙教浙教西南师西南师大大苏教苏教青岛青岛方式一方式一O OO OO OO OO O方式二方式二O OO OO OO O方式三方式三O OO O方式四方式四O O方式五方式五O O方式六方式六O O方式七方式七O O青岛版做角

27、的活动：你喜欢这样的活动你喜欢这样的活动吗？为什么？吗？为什么？6、角的大小比较、角的大小比较你还记得你教过的教材中你还记得你教过的教材中呈现了什么样的比较角大呈现了什么样的比较角大小的方法吗？小的方法吗？各版本在处理角的大小比各版本在处理角的大小比较时，呈现方式有如下几较时，呈现方式有如下几种：种： 方式一：活动角比较法。即教材呈现引导方式一：活动角比较法。即教材呈现引导学生做活动角的过程，这里不明确指出角学生做活动角的过程，这里不明确指出角的大小，但可能在这里蕴含角的大小比较。的大小，但可能在这里蕴含角的大小比较。（如图一）（如图一） 方式二：文字介绍法。即用文字介方式二：文字介绍法。即用

28、文字介绍什么是角的大小。（如图二）绍什么是角的大小。（如图二） 方式三：直观重叠法。即直观呈现方式三：直观重叠法。即直观呈现“重叠法重叠法”比较角的大小。（如图比较角的大小。（如图三）三） 方式四：三角板重叠法。利用三角方式四：三角板重叠法。利用三角板比较角的大小。（如图四）板比较角的大小。（如图四） 方式五：钟面比较法。利用钟面比方式五：钟面比较法。利用钟面比较角的大小。（如图五）较角的大小。（如图五） 方式六：直接告知法。即直接呈现方式六：直接告知法。即直接呈现有的角比直角大，有的角比直角小有的角比直角大，有的角比直角小的结论。（如图六）的结论。（如图六） 各版本教材“角的大小比较”呈现方

29、式：人教人教北师大北师大浙教浙教西南师大西南师大苏教苏教青岛青岛方式一方式一O OO OO OO OO O方式二方式二O O方式三方式三O OO O方式四方式四O OO O方式五方式五O O方式六方式六O OO OO O7、练习设计、练习设计 “角的初步认识角的初步认识”的练习，按照考察知的练习，按照考察知识点及其难度来划分，大概有如下几种：识点及其难度来划分，大概有如下几种： （1）考察基本知识的掌握。）考察基本知识的掌握。 如：如：“判断下列图形是不是角。判断下列图形是不是角。”“”“指指出下面角的顶点和边。出下面角的顶点和边。”“”“画出物体形画出物体形成的角。成的角。”“”“在下图中找出直角、锐角、在下图中找出直角、锐角、钝角。钝角。”等。等。 根据所考察知识点不同，可以分为：考根据所考察知识点不同，可以分为：考察察“角的认识角的认识”类、类、“直角锐角钝角的直角锐角钝角的认识认识”类、类、“角的大小比较角的大小比较”类、类、“画画角角”类。类。 （2）考察基本知