《概率论与数理统计》课件之1

1、概率统计概率统计 是研究随机现象数量规律的是研究随机现象数量规律的数学学科数学学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 目前目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课不仅高等学校各专业都开设了这门课程程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又一，希望大家能认真学好这门不易学好又前前言言不得不学的重要课程不得不学的重要课程.国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版

2、2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 统计学数学方法统计学数学方法H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士本学科的 A B C概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件随机事件出现的可能性的量度出现的可能性的量度 其起源与博弈其起源与博弈16 世纪意大利学者开始研究掷骰子世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；等赌博中的一些问题；概率论是一门概率

3、论是一门研究客观世界随机现研究客观世界随机现象数量规律的象数量规律的 数学分支学科数学分支学科.问题有关问题有关.17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕斯卡、帕斯卡、 荷兰数学家荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理分配赌注问题合理分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).而概率论的飞速发展而概率论的飞速发展 则在则在17 世纪微积分世纪微积分的真正奠基人是的真正奠基人是 瑞士数学家瑞士数学家 J . 伯努利伯努利 ；概率论；使概率论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个

4、分支数学的一个分支对客观世界中随机现象的分析产生了对客观世界中随机现象的分析产生了学说建立以后学说建立以后.第二次世界大战军事上的需要以及大第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、信息论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据收集、整理和分析带有随机性的数据, 以以对所考察的问题作出推断或预测，直至为对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的采取一定的决策和行动提供依据和建议的数

5、学分支学科数学分支学科.统计方法的数学理论要用到很多近代统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识数学知识, 如函数论、拓扑学、矩阵代数、如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：故可以这样说：概率论是数理统计学的基概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用础，数理统计学是概率论的一种应用. 但但是它们是两个并列的数学分支学科，并无是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系从属关系.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所

6、有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用否在临床中应用,均需要用到均需要用到 假设检验假设检验6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫可夫 过程过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率研究化学反应的时变率, 要以要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制与火箭卫星的研

7、制与发射都离不开发射都离不开 可靠性估计可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设实验设计计和和数据处理数据处理;5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论;水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 在生物学中研究在生物学中研究 群体的增长问题时群体的增长问题时了提出了生灭型了提出了生灭型 随机模型

8、随机模型 ，传染病流传染病流行问题要用到多变量非线性行问题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论领域领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用 概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了说对了: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝其中绝大大领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领在社会科学领多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概

9、率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为”. 得得 分分 问问 题题 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝每掷一次，若正面朝上，甲得上，甲得 1 分乙不得分分乙不得分. 反之，乙得反之，乙得1分，分，甲不得分甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部谁先得到规定分数就赢得全部赌注赌注.

10、当进行到甲还差当进行到甲还差 2分乙还差分乙还差3分，就分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌分别达到规定分数时，发生了意外使赌局局不能进行下去不能进行下去，问如何公平分配赌注？问如何公平分配赌注？确定性现象确定性现象随机现象随机现象 在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率大量重复试验中, 其结果有统计规律性的现象1.1 随机试验随机试验对某事物特征进行观察, 统称 试验试验.若它有如下特点,则称为随机试验随机试验 基本术语基本术语 q 试验结果不止一个,但能明确所有结果q 试验前不能预知出现哪种结果q 可在相

11、同的条件下重复进行随机试验用E 表示样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为随机事件随机事件 的子集,记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间，记为样本点样本点(or基本事件基本事件)，常记为 ， = 1.2 样本空间、随机事件随机事件, 3 ,2, 1 ,02N),(213TyxTyx其中T1,T2 是该地区的最低与最高温度:3E观察某地区每天最低与最高温度:2E观察总机 9 10点 接到的电话次数有限样本空间无限样本空间:1E投一枚硬币3次, 观察正面出现的次数3 , 2 , 1 , 01例例1 1

12、 给出一组随机试验及相应的样本空间给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记为 , 每次试验必定发生的事件.随机事件发生随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.A 随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算 事件的关系和运算事件的关系和运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B BA BAAB且1. 事件的包含2

13、. 事件的相等BA或BA BAAB事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 与B 的和事件3. 事件的并(和)BA或AB事件 A与事件B 同时 发生BA发生nAAA,21的积事件 niiA1,21nAAA的积事件 A 与B 的积事件1iiABAB A4. 事件的交(积)BABA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生BAB A A 与B 的差事件5. 事件的差 A 与B 互斥ABA、 B不可能同时发生ABnAAA,21两两互斥,21nAAA两两互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件

14、的互斥(互不相容) A 与B 互相对立BAAB,每次试验 A、 B中有且只有一个发生ABAB 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 事件的对立A8. 完备完备事件组niiA1nAAA,21若 两两互斥，且nAAA,21则称 为完备完备事件组1AnA1nA2A3AnAAA,21或称 为 的一个划分q 吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(q 幂等律AAAAAAq 差化积)(ABABABAq 重余律AA运算律运算律对应事件运算集合运算q 交换律ABBABAABq 结合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCACBA)()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11q 反演律运算顺序： 逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 B CA)(BCABA CA 分配律 图 示)(CABAAA B)(BA BABABA)(红色红色区域区域黄色黄色区域区域交交例例2 2 用图示法简化用图示法简化. )(BABAABAA)(BA例例3 3 化简事件ACCBA)(解解 原式ACCBAACCBCACBAACCBAACCBA)( CBCCA)(CBA 例例4 4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发