有理函数的积分优秀课件

1、1第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分2有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分一、有理函数的积分3假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成

2、一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.4（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA 5（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211

3、)()(其中其中iiNM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 6真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 172)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代

4、入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 28例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得9例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx 10例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解11例例5 5 求积分求积分 .)1)(21(12

5、 dxxx12例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 13三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积

6、分142sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）15例例6 6 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(11222216duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211

7、duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 17例例7 7 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 18解（二）解（二）2cot ,cscuxduxdx 令令则则441cscsindxxdxx 22(1cot)cscxxdx 2(1)u du 3()3uuC 3cot(cot)3xxC 19特别注意特

8、别注意对于三角函数有理式的积分对于三角函数有理式的积分, 万能置换万能置换不一定是最佳方法不一定是最佳方法, 故三角有理式的计故三角有理式的计算中先考虑其它手段算中先考虑其它手段, 不得已才用万能不得已才用万能置换置换.20讨论类型讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例8 8 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分21,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.

9、11ln122Cxxxxx 22例例9 9 求积分求积分.1113 dxxx23例例9 9 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.24例例1010 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(122

10、1 xdx.)12(31)13(922323Cxx 25简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结26第五节第五节 积分表的使用积分表的使用27（1）常用积分公式汇集成的表称为）常用积分公式汇集成的表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见）积分表见高等数学高等数学（五版）上册（五版）上册（同济大学数

11、学教研室主编）第（同济大学数学教研室主编）第347页页（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明一、关于积分表的说明28例例1 1 求求.)43(2dxxx 被积函数中含有被积函数中含有bax 在积分表（一）中查得公式（在积分表（一）中查得公式（7） Cbaxbbaxadxbaxx |ln122现在现在4, 3 ba于是于是 .434|43|ln91432Cxxdxxx 二、例题29例例2 2 求求.cos451dxx 被积函数中含有三角函数被积函数中含有三角函数在积分表（十一

12、）中查得此类公式有两个在积分表（十一）中查得此类公式有两个224, 5baba 选公式（选公式（105）将将 代入得代入得4, 5 ba xbadxcosCxbababababa 2tancot2ardxx cos451.2tan3cot32Cx ar30例例3 3 求求.942 xxdx表中不能直接查出表中不能直接查出, 需先进行需先进行变量代换变量代换.令令ux 2222394 ux 942xxdx 223221uudu 223uudu被积函数中含有被积函数中含有,322 u31在积分表（六）中查得公式（在积分表（六）中查得公式（37） 22axxdxCaxaxa 22|ln1 223uu

13、duCuu 2233|ln31将将 代入得代入得xu2 942xxdx.943|2ln312Cxx 32例例4 4 求求.sin4xdx 在积分表（十一）中查得公式（在积分表（十一）中查得公式（95）xdxn sin xdxnnnxxnn21sin1cossin利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使重复使用可使正弦的幂次继续减少用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果直到求出结果. 这这个公式叫个公式叫递推公式递推公式.现在现在4 n于是于是33xdx 4sin xdxxx23sin434cossin xdx2sin对积分对积分 使用公式（使用公式（93） xdx2sinCxx 2sin412xdx 4sin434cossin3 xx.2sin412Cxx 34说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.例例,2 dxex ,sindxxx.ln1 dxx35将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？