IIR低通滤波器设计说明

1、.专业整理 .1、滤波器简介从广义上讲 ， 任何对某些频率 （相对于其他频率来说 ） 进行修正的系统称为滤波器 严格地讲 ，对输入信号通过一定的处理得到输出信号 ，这个处理通常是提取信号中某频率 范围内的信号成分 ，把这种处理的过程称为滤波 。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤 波器。在许多科学技术领域中 ， 广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号 ， 数字滤波则是处理离散信号 ，而后者是在前者的基础上发展起来 的。 我们知道 ，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述 ，而数字滤波器是个离散线性系统 ， 要用差分方程来描述

2、 ，并以离 散变换方法来分析 。 这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实 现。因此 ，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程 ，它将输入信号的序列数字按照预定 的要求转换成输出数列 。2、低通数字滤波器2.1 频谱图H (ej )H (ej )0cc图 2.1 低通数字滤波器的频谱2.2 、低通数字滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系 。具体的有最大通带增 益(即通带允许起伏 )； 最大阻带增益 ；通带截止频率 p ；阻带截止频率 s。如图 2.2 所示H a ej0dB dBdB图 2.2 滤p 波器的主s 要技术指标3、IIR 低通滤波器

3、的设计方法IIR 滤波器是一种数字滤波器 ，滤波器的系统函数如式由于它的脉冲响应序列 h(n) 是无限长的 ， 故称无限冲H(z) YX(zz)h(n)z nn0Mbr z rr0N1ak zk1.学习帮手 .，设计滤波器的分子和激响应滤波器 。IIR 滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求 分母多项式 。它和 FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下 ，IIR 滤波器的阶 数要明显低于 FIR滤波器。但 IIR滤波器的相位是非线性的 。3.1 、IIR 低通滤波器设计的基本思路1) 利用= T，将数字低通的技术指标转化为模拟低通的技术指标，将 p、 st转 换成 p、 st,

4、而 RP ,RS 不变 ；2）利用巴特沃斯逼近法 ，求出模拟滤波器的系统函数 Ha（s）；3）利用冲激响应不变法 ，将模拟滤波器数字化 ， 得到数字滤波器的系统函数H（z）；4）利用 MATLAB 软件实现所设计的 H（z）。3.2 、模拟低通滤波器的概述用模拟数字变换法设计 IIR 数字滤波器 ，首先必须设计一个模拟滤波器 ，它有许多 不同的类型 ，本设计中采用的是巴特沃斯滤波器 。巴特沃斯 （Botterworth 简写 BW）滤波器 。对一个 N 阶低通滤波器来说 ，所谓最平 坦特性就是模拟函数的前 （2N-1）阶导数 在 0处都为零。BW 滤波器的另一个特性是 在通带和阻带内的幅频特性

5、始终是频率的单调下降函数 ，且其模拟函数随阶次 N 的增大 而更接近于理想低通滤波器 。21巴特沃斯低通滤波器的幅度 |Ha（j ）|22N 平方函数 |Ha（j ）|2 用下式表1式中，N称为滤波器的阶数 。当=0 时， |Ha（ j）|=1 ；= c时， | H a （ j ）| 1/ 2, c是 3dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降 。幅度特性与 和 N 的关系如图 3.1 所示。幅度下降的速度与阶数 N 有关，N 愈大，通 带愈平坦 ，过渡带愈窄 ，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快 ,总的频响特性与理想低通滤 波器的误差愈小 。图 3.1 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与 N 的

6、关系以 s替换 j，将幅度平方函数 |Ha(j )|2写成 s的函数：1 2N s jcHa(s)Ha(s)1s2N(j2Nc)sk11)2N (j c)ej(12 22kN1)ce 2 2N(1)(2)(3)式(3)中，k=0，1，2，2N-1 。Ha(s)Ha( s)在 S平面的极点位置如图3.2 所示图 3.2 巴特沃斯滤波器 Ha(s)Ha( s) 在 S平面的极点位置3.3 、通过模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器3.3.1 、S域到 Z 域的映射IIR数字滤波器在 Z 域中的传递函数为一有理分式 ，即HzMbr z rr0N1ak zk1r1NCk1cr z 1dkz而模拟滤波器在

7、 S 域中的传递函数为C1crs 1Hsr0Nk1aksr1Nk0C1k1dks可见 H(z)与 H(s)具有相同的形式 ，利用线性映射的方法 ，可以把 S 平面上的模拟滤 波器映照成 Z平面上的 IIR数字滤波器 。按技术要求设计一个模拟滤波器 Ha s , 然后按一定的映照关系将 Ha s 中 成数字滤波 器的要求，必须对由复变量 S到复变量 Z 直接的映照提出如下要求 ：1)因果温度的模拟滤波器转换成数字滤波器后仍是因果温度的 ，因此，映射应使 S 平面的左半平 面Re s 0映射为 Z平面的单位圆内部 , z 1。2)数字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致 ，故 S 平面的虚

8、轴 j 线 性映射到 Z 平面的单位圆 ej 上 ，即频率轴要对应 。下图表明了上述映照关系图 3.3 s 域到 z 域的映射模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现 ， 也可以在频域实现 。时域转换法 是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等， 具体方法有 ：冲激不变法、阶跃不变法和匹配 Z 变换法。在本设计过程中采用的是冲激响应不变法 。4、IIR 低通滤波器设计基于模拟滤波器变换原理 ， 首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器， 然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器 。在 MATLAB中，经典法设计 IIR 数字滤波器采用下面的主要步骤 ：

9、由上可见 ，此法是利用模拟滤波器的设计成果 。第二步完成后 ，一个达到期望性能指 标的模拟滤波器已经设计出来 。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波 器，即把模拟滤波器的系数 H(S)映射成数字滤波器的系统函数 H(z) 。数字滤波器的设计 工作就全部完成 。 实现系统传递函数 s 域至 z 域映射有冲激响应不变法和双线性映射两种方法。4.1、冲激响应不变法将传输函数 Ha s 从 s平面传换到 z 平面的方法有多种 ，但工程上常用的是脉冲响应不 变法和双线性变换法 。我们先研究脉冲响应不变法 。设模拟滤波器的传输函数为 Ha s ，相应的单位冲激响应是 ha t ，Ha s =

10、LT ha t LT.代表拉氏变换 ，对ha t 进行等间隔采样 ，采样间隔为 T，得到 ha nT ，将 h(n)= ha nT 作为数字滤波器的单位取样响应 ，那么数字滤波器的系统函数 H(z)便是 h(n)的 Z变 换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法 ，它是 h(n) 在采样点上等于 ha t 。设模拟滤波器 H a s 只有单阶极点 ，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 ，将 Ha s 用部分分式表示 ：NAH a s i(4)i 1 s si式中si为Ha s 的单阶极点 。将Ha s 逆拉氏变换得到 ha t ：Nha tAiesitu(t)(5)i1式中 u(t)

11、是单位阶跃函数对 ha t 进行等间隔采样 ，采样间隔为 T,得到 ：N6)h n ha (nT)AiesinTu(nT)i1对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：HzAisiT1e i z(7)对比(4)、7)式，Ha s 的极点 si映射到 z 平面，其极点变成 esiT，系数 Ai不变此结果表明 ，Z平面极点 zk与S平面极点 sk具有zk eskT的关系，由于 Re（sk ）0 ，故有 zk eSkT 1,极点 zk 位于单位圆内 ，故而冲激响应不变法能够保证 H（z）是稳定的4.2、双线性变换法这种变换方法 ， 采用非线性频率压缩方法 ，将整个频率轴上的频率范围压

12、缩到 ±/T 之间，再用 z esT转换到 z 平面上 。设 Ha（s），s=j，经过非线性频率压缩后用 Ha （s1）， s1=j1 表示，这里用正切变换实现频率压缩 ：2 tan 0.5T1T8）式中T仍是采样间隔 ，当1从-/T经过0变化到/T时，则由- 经过 0变化到+ ， 实现了 s平面上整个虚轴完全压缩到 s1平面上虚轴的 ±/T 之间的转换。这样便有9）s 2th 0.5 1T2 1 z stT1T 1 z s1t再通过 z esT 转换到 z 平面上，得到：211 zsT11 zTs2s2zT10)式（10）称为双线性变换 。从 s 平面映射到 s1平面 ，

13、再从 s1平面映射到 z 平面 ，其映 射情况如图 4.1所示。由于从s平面到 s1平面具有非线性频率压缩的功能 ，因此不可能产生 频率混叠现象 。另外，从s1平面转换到 z 平面仍然采用标准转换关系 z es1T ， s1平面的 ±/T 之间水平带的左半部分映射 z 平面单位圆内部 ，虚轴映射单位圆 。这样 Ha（s）因果 稳定 ，转换成的 H（z）也是因果稳定的 。下面分析模拟频率 和数字频率 之间的关系 。 令 s j ,z e j ，并代入 （10） 式中，有jj/T1- /T2 1 eT1 e j2tan1T2s平面s1 平面11)图 4.1 双线性变换法的映射关系， 如图

14、 4.2 所示 。在 =0 附近接上式说明 ，s平面上 与平面上的 成非线性正切关系近线性关系 ；当增加是，增加得愈来愈快 ；当趋近时，趋近于 。正是因为这种非线性关系 ，消除了频率混叠现象图 4.2 双线性变换法的频率变换与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点 ， 直接影响数字滤波器频响逼真的模 仿模拟滤波器的频响 。这种非线性影响的实质问题是 ：如果 的刻度是均匀的 ，则影射到 z平面的刻度不是均匀的 ，而是随增加愈来愈密 。双线性变换法可由简单的代数公式 （10）将 Ha（s）直接转换成 H（z），这是该变换 法的优点。但当阶数稍高时 ，将 H（z）整理成需要的形式 ，也不是一件简单的工

15、作 。 5、IIR 数字滤波器的 Matlab 仿真IIR 数字滤波器经典设计法的一般步骤是 ：（ 1）根据给定的性能指标和方法不同 ， 首先对设计性能指标中的频率指标进行转 换 ，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标 。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率 ，利用 MATLAB 工具函数 buttord 、 cheb1ord 等。（3）设计模拟低通滤波器原型 ，利用 MATLAB 工具函数 buttap 、cheb1ap 等 。（4）由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器 （低通、高通 、带通 、带阻 ），利 用 MATLAB 工具函数 lp2lp 、lp2hp 、lp2bp

16、 、lp2bs 。（5）将模拟滤波器离散化获得 IIR数字滤波器，利用 MATLAB工具函数 bilinear 。 设计 IIR滤波器时 ，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种 。数字性能指标给出通带截止频率 p ，阻带截止频率 s ，通带衰减 Rp ，阻带衰减 Rs 等。数字频率 p和 s的取值范围为 0，单位：弧度，而 MATLAB工具函数常采用标准 化频率 ， p和 s的取值范围为 01。模拟性能指标给出通带截止频率 p ，阻带起始频率 s ，通带衰减 Rp ，阻带衰减 Rs 等。模拟频率 c和 s 的单位均为弧度/秒。下面是一个利用双线性变换设计的 Butterworth 低通

17、滤波器的示例 ：技术指标 ：通带截止频率 c=2 200 rad / s ，阻带截止频率 ，通带衰减 Rp 小于 3dB，阻带衰减 Rs大于 15dB,采样频率 Fs 1000Hz 。仿真结果见图 5.1Wp= 200*2*pi;Ws=400*2*pi;Rp=3;Rs=15;Fs=1000;Ts=1/Fs;Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')b,a=butter(N,Wn,'s');z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn);bz,az=bilinear

18、(b,a,Fs)freqz(bz,az,Nn,Fs)仿真结果 ：N=3 Wn=1.4209e+003bz= 0.0946 0.2839 0.2839 0.0946 az= 1.0000 -0.6164 0.4343 -0.0607图 5.1 仿真结果心得体会通过此次课程设计 ， 使我更加扎实的掌握了有关数字信号处理方面的知识 ，在设计过 程中虽然遇到了一些问题 ，但经过一次又一次的思考 ，一遍又一遍的检查终于找出了原因 所在 ，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足 。实践出真知 ，通过亲自动手 ， 使我们掌握的知识不再是纸上谈兵 。通过这次课程设计 ，本人在多方面都有所提高 。综合 运用本专业所学课程的理论和软件知识进行仿真设计工作 ，培养和提高了我们的独立工作 能力 ，巩固与扩充了数字信号处理所学的内容 ，掌握 IIR 低通滤波器设计的方法和步骤 ， 提高了设计能力 ， 同时各科相关的知识都有了全面的复习 ，独立思考的能力也有了提高 。回顾起此课程设计 ， 至今我仍感慨颇多 ，从理论到实践 ，在这段日子里 ，可以说得是 苦多于甜 ，但是可以学到很多很多的东西 ，同时不仅可以巩固了以前所学过的知识 ，而且 学到了很多在