第1章 数字逻辑基础

1、数学电子技术 主编 朱幼莲1.信号的分类自然界的信号多种多样，各不相同。分类角度不同其称谓也不相同。例如，有确定信号和随机信号，有周期信号和非周期信号等。在电子电路中，则将信号分为模拟信号和数字信号。模拟信号是指在时间和数值上都连续变化的信号，常用时间的函数f(t)表示。2.电路的分类与信号的分类相对应，电路有模拟电路和数字电路。模拟电路是指分析、处理或产生模拟信号的电路。模拟电路的分析常采用等效电路分析法。数字电路是指对数字信号进行传送、逻辑运算、控制、计数、寄存、显示以及脉冲信号的产生与变换等的电路。 3.数字电路的特点1) 电路结构简单，容易制造，便于集成及系列化生产，成本低，使用方便。

2、2) 由数字电路组成的数字系统，工作可靠，精度较高。3) 数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和逻辑运算，这在控制系统中是不可缺少的，因此，常把数字电路称为“数字逻辑电路”。4.本课程的任务、特点和主要内容(1) 课程的任务(2)课程的特点(3)主要内容(1) 课程的任务本课程是高等学校电类各专业的技术基础课，通过本课程的学习，使学生熟悉数字电子技术的基本概念、基本理论和基本应用；掌握常用数字电路的分析和设计方法以及典型脉冲电路的分析方法。在保证学生掌握基本内容的前提下，培养学生数字电路的分析、设计的能力和集成电路的应用能力，以及自我获取新知识的学习能力和创新意识，为后续课程的学习以

3、及解决工程实践中所遇到的数字系统问题打下坚实的基础。(2)课程的特点数字电子技术是一门应用广泛、实践性很强的工程技术科学。与先修的基础理论课程(大学物理、电路原理)相比，本课程更接近工程实际，强调理论与实践相结合。(3)主要内容本课程由脉冲和数字两大部分构成。脉冲部分主要介绍脉冲信号的概念以及脉冲信号的产生与整形等内容。数字部分主要包括组合逻辑电路和时序逻辑电路。组合逻辑电路围绕其基本单元门电路介绍基本的逻辑运算及相应的门电路、逻辑函数等，同时介绍组合逻辑电路的分析与设计方法，重点介绍中规模集成器件的应用。时序逻辑电路其基本单元是触发器，这部分围绕触发器介绍常用触发器的工作原理、逻辑功能及描述

4、方法，重点介绍典型时序电路(如计数器、寄存器、序列发生器等)的工作原理、分析与设计方法，尤其是集成器件的应用。最后介绍数字电路的发展趋势及可编程逻辑器件的开发与应用。5.本课程的学习要求及学习方法(1)深入理解数字电路的基本概念和基本理论(2)熟练掌握数字电路的分析、设计方法(3)逐步提高阅读集成电路产品手册的能力，以便从中获取更多信息(4)学习方法第1章数字逻辑基础1.1数制1.2码制1.3逻辑运算1.4逻辑函数及描述方法1.5公式法化简逻辑函数1.6卡诺图法化简逻辑函数1.1数制1.1.1常用的进位制1.1.2不同数制间的转换1.1.3二进制数的算术运算1.1.1常用的进位制1. 十进制2

5、. 二进制3. 八进制4. 十六进制（1-1）1.1.1常用的进位制十进制(Decimal)是指以10为基数的计数体制。十进制可用0、1、2、9共10个数码表示，超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”。例如，十进制数521.28可以表示为（1-2）2. 二进制二进制(Binary)是指以2为基数的计数体制。二进制可用0、1两个数码表示，超过1的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢二进一”。任何一个二进制数NB可以展开为式中，ki为0和1两个不同的数码。(1-3)3. 八进制八进制(Octal)是指以8为基数的计数体制。八进制可用0、1、2、7共

6、8个数码表示，超过7的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢八进一”。任何一个八进制数NO可以展开为(1-4)4. 十六进制十六进制(Hexadecimal)是指以16为基数的计数体制。十六进制数可用09、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)共16个数码表示，超过15的数必须用多位数表示，低位和相邻高位之间的关系是“逢十六进一”。(1-5)1.1.2不同数制间的转换1. 任意进制数转换为十进制数2. 十进制数转换为二进制数3. 二进制数与十六进制数的相互转换4. 二进制数与八进制数的相互转换5. 剩余误差及转换位数1. 任意进制数转换为十进制数

7、将任意进制数按式(1-1)展开，然后将所有项的数值按十进制数相加，就可以得到所对应的十进制数。2. 十进制数转换为二进制数(1)整数部分的转换(2) 小数部分的转换(1)整数部分的转换（1-6）(1)整数部分的转换29E.TIF(2) 小数部分的转换（1-7）(2) 小数部分的转换X1.TIF3. 二进制数与十六进制数的相互转换29A.TIF3. 二进制数与十六进制数的相互转换29B.TIF4. 二进制数与八进制数的相互转换29C.TIF4. 二进制数与八进制数的相互转换29D.TIF5. 剩余误差及转换位数一个R进制的n位小数的精度为R-n。例如(0.95)D的精度为10-2，采用乘基数取整

8、法将十进制转换成二、八、十六进制小数时，可能出现多次相乘的乘积的小数部分仍不为零的情况，如果转换小数取了n位，则转换的剩余误差小于该n位小数的精度，即R-n，例如，(0.95)D=(0.746314631)O，当转换取3位时，可得(0.95)D=(0.746)O，则=(0.000314631)O8-3。1.1.3二进制数的算术运算1. 无符号二进制数的算术运算2. 有符号二进制数的算术运算1. 无符号二进制数的算术运算(1) 二进制加法无符号二进制数加法规则是“逢二进一”，即0+0=0,0+1=1,1+1=10(2) 二进制减法无符号二进制数减法规则是“借一作二”，即0-0=0, 1-1=0,

9、 1-0=1, 0-1=11其中，0减1时不够减，所以向高位借1。(3) 二进制数乘法和除法乘法运算是由左移被乘数和加法运算组成，而除法运算是由右移被除数和减法运算组成。例如，两个二进制数1001和0101的乘除运算为所以10010101=101101,10010101=1.11。(3) 二进制数乘法和除法X2.TIF2. 有符号二进制数的算术运算(1) 有符号二进制数的补码(2) 有符号二进制数的减法运算(3) 溢出(1) 有符号二进制数的补码二进制的负数需要用有符号的二进制数表示，在定点运算的情况下，二进制数的最高位表示符号位，用0表示正数，用1表示负数，其余部分为数值位。其表示形式有原码

10、、反码和补码3种。原码：最高位为符号位，数值位为绝对值对应的二进制数。例如(+12)D=(01100)B，(-12)D=(11100)B。其中二进制数的最左边的位即最高位代表符号，其余4位表示数值。反码：正数的反码与原码相同，负数的反码是符号位不变，数值位为原码各位取反。例如(+12)反=(01100)B，(-12)反=(10011)B。补码：正数的补码与原码相同，负数的补码是符号位不变，数值位在反码的数值位最低位加1。例如(+12)补=(01100)B，(-12)补=(10100)B。(2) 有符号二进制数的减法运算29F.TIF采用补码的形式，可以很方便地进行有符号二进制数的减法运算。减法

11、运算的原理是减去一个正数，相当于加上一个负数，即A-B=A+(-B)，对(-B)求补码，然后进行加法运算。进行二进制补码加法运算时，必须注意被加数补码与加数补码的位数相等，让两个二进制数补码的符号位对齐。(3) 溢出对于n位有符号的二进制数的原码、反码和补码的数值范围分别为原码-(2n-1-1)+(2n-1-1)反码-(2n-1-1)+(2n-1-1)补码-2n-1+(2n-1-1)当计算结果超过此数值范围就会产生溢出。1.2码制1.2.1二进制码1.2.2二-十进制(BCD)码1.2.3字符、数字代码1.2.1二进制码数字系统中的信息可以分为两类：一类是数值；另一类是文字符号。数值信息的表示

12、方法(即数制)前面已作介绍。为了表示文字符号信息，通常会采用一定位数的二进制数码表示，这些数码不表示数量的大小，是用来区分不同的文字符号。这些特定的二进制数码称为代码。以一定的规则编制代码，用以表示十进制数值、字母、符号等的过程称为编码。将代码还原成所表示的十进制数、字母、符号等的过程称为解码或译码。若所需编码的信息有N项，则需要的二进制码的位数n应满足2nN。1.2.2二-十进制(BCD)码表1-1几种常见的BCD码十进制数有 权 码无 权 码8421码2421码5421码余3码余3循环码01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 1

13、0 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 11 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1

14、01 0 1 01.2.2二-十进制(BCD)码在一般情况下，有权码的十进制数与二进制数之间可以用下式来表示1.2.2二-十进制(BCD)码表1-2格雷码1.2.3字符、数字代码ASC码是美国信息交换标准代码(American Standard Code for Information Interchange)的简称，是由美国国家标准化协会制定的一种信息代码，被广泛地应用于计算机和通信领域中。ASC码是一组7位二进制代码(b6b5b4b3b2b1b0)，共128个，其中包括表示数字09的10个代码，表示大、小写英文字母的52个代码，32个表示各种符号的代码以及34个控制码。1.3逻辑运算1.3

15、.1基本逻辑运算1.3.2几种常用的复合逻辑运算1.3.3逻辑运算公式1.3.4逻辑运算法则1.3.1基本逻辑运算1.与运算2.或运算3.非运算1.与运算图1-1电路1.与运算1.与运算表1-4与逻辑真值表ABL=AB0000101001111.与运算图1-2与逻辑运算波形图1.与运算图1-3与门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号2.或运算图1-4电路2.或运算2.或运算表1-5或逻辑真值表ABL=A+B0000111011112.或运算图1-5或门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号3.非运算图1-6电路3.非运算3.非运算表1-6非逻辑真值表AL=A01103.非

16、运算图1-7非门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号1.3.2几种常用的复合逻辑运算1. 与非2. 或非3. 与或非4. 异或5.同或1. 与非1. 与非表1-7与非运算的真值表ABL0010111011101. 与非图1-8与非门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号2. 或非2. 或非表1-8或非运算的真值表ABL0010101001102. 或非图1-9或非门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际常用图形符号3. 与或非3. 与或非表1-9与或非运算的真值表ABCDL000010001100101001100100101011011010111010001100111

17、010110110110003. 与或非表1-9与或非运算的真值表1101011100111103. 与或非图1-10与或非门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号4. 异或4. 异或表1-10两变量异或运算的真值表ABL0000111011104. 异或图1-11异或门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号4. 异或4. 异或表1-11三变量异或运算的真值表ABCLABCL00001000011101010111001101115.同或5.同或表1-12同或运算的真值表ABL0010101001115.同或图1-12同或门逻辑图形符号a)国标图形符号b)国际通用图形符号1

18、.3.3逻辑运算公式表1-13逻辑运算基本定律和恒等式基本定律A+0=AA0=0(A)=AA+1=1A1=AA+A=AAA=AA+A=1AA=0结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)交换律A+B=B+AAB=BA分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)摩根定律(AB)=A+B(A+B)=AB吸收律A+AB=AA(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC常用恒等式AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+ACA+AB=A+B1.3.4逻辑运算法则1. 代入法则2. 反演法则3.对偶法则1. 代入法则在任意一个包含变量A的逻辑等式中，以另一个逻

19、辑式代替式中所有变量A，则等式仍然成立。这就是代入法则。2. 反演法则1) 保持原来的运算优先级，即优先考虑括号内的运算，先进行与运算，后进行或运算的优先次序。2) 对于单个变量求反以外的非号应保留不变。3.对偶法则设Y是一个逻辑表达式，若把Y中的“”换成“+”，“+”换成“”；1换成0，0换成1，那么就得到一个新的逻辑表达式，这就是Y的对偶式，用YD表示。在使用对偶法则时，保持原式中优先考虑括号内的运算，先进行与运算，后进行或运算的优先次序。【例1-3】已知Y=(A+B)(C+D)，求Y的对偶式YD。解：YD=AB+CD当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。利用该法则，可从已

20、知的公式中得到更多的运算公式，例如，分配律A(B+C)=AB+AC成立，则它的对偶式A+BC=(A+B)(A+C)也是成立的。1.4逻辑函数及描述方法1.4.1逻辑函数的基本概念1.4.2表达式描述逻辑函数1.4.3真值表描述逻辑函数1.4.4逻辑图描述逻辑函数1.4.5逻辑函数描述方法间的转换1.4.1逻辑函数的基本概念从上面讲过的各种逻辑关系中可以看到，如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入关系之间是一种函数关系，这种关系称为逻辑函数。由于逻辑变量是0或1的二值逻辑变量，因此逻辑函数也是二值逻辑函数。函数关系式可以写

21、为Y=F(A,B,C，)表示逻辑函数的常用方法有表达式、真值表(卡诺图)、逻辑图、波形图等。1.4.2表达式描述逻辑函数将输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合，即逻辑代数式，就得到了所需的表达式。1.4.2表达式描述逻辑函数图1-13例1-4的电路图【例1-4】写出图1-13所示的表达式。解：由图1-13可知，开关A闭合或开关B、C同时闭合时，灯Y才发光，因此灯与开关的关系为Y=A+BC1.4.3真值表描述逻辑函数将输入变量所有取值组合对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。图1-131.4.3真值表描述逻辑函数将表达式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，

22、就可以画出表示逻辑函数关系的逻图1-14例1-6的逻辑图辑图。【例1-6】画出图1-13所示的电路的逻辑图。解：只要用与门和或门的图形符号代替与、或运算符，就可以得到如图1-14所示的逻辑图。表1-14图1-13所示电路的真值表输入输出YABC000000100100011110011011110111111.4.4逻辑图描述逻辑函数图1-14例1-6的逻辑图1.4.5逻辑函数描述方法间的转换1.真值表与表达式的相互转换2.表达式与逻辑图的相互转换1.真值表与表达式的相互转换1) 找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量取值的组合。2) 每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入

23、原变量，取值为0的写入反变量。3) 将这些乘积项逻辑加，就得到了真值表对应的表达式。2.表达式与逻辑图的相互转换从给定的表达式转换为相应的逻辑图时，只要用逻辑图形符号代替表达式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就可以得到所需的逻辑图。例1-8】画出Y=(A+BC)的逻辑图。解： (1) 复合门实现，如图1-15所示。图1-15例1-8复合门实现的逻辑图解： (1) 复合门实现，如图1-15所示。图1-16例1-8基本门实现的逻辑图(2) 基本门实现表达式Y=(A+BC)=A(B+C)=AB+AC，其逻辑图如图1-16所示。1.5公式法化简逻辑函数最简与或式满足的条件是：1) 乘积

24、项数目最少。2) 乘积项中变量数最少。寻找最简式的方法有公式化简法、卡诺图化简法和系统化简法，本节主要介绍公式化简法。公式化简法没有固定的步骤，有几种常用的方法归纳如下。1.并项法2.吸收法3.消项法4.消因子法5.配项法1.并项法利用AB+AB=A即B+B=1的公式，可以将两项合并为一项，消去一个变量。根据代入定理可知，公式中的A和B可以是任何复杂的逻辑式。【例1-10】化简函数Y=ABC+ABC。解：可利用A+A=1化简为Y=(A+A)BC=BC2.吸收法根据公式A+AB=A,消去多余的项AB，公式中的A和B可以是任何复杂的逻辑式。【例1-11】化简函数Y=AB+ABCD+ABEF。解：Y

25、=AB+ABCD+ABEF=AB+AB(CD+EF)=AB3.消项法利用公式AB+AC+BC=AB+AC和AB+AC+BCD=AB+AC将BC或BCD项消去。其中A、B、C、D均可以是任何复杂的逻辑式。【例1-12】化简Y=ABCD+(AB)E+ACDE。解：Y=ABCD+(AB)E+ACDE=(AB)CD+(AB)E+(CD)EA=ABCD+(AB)E4.消因子法利用公式A+AB=A+B可以将AB中的A消去。A、B均可以是任何复杂的逻辑式。【例1-13】化简Y=AB+B+AB。解：Y=AB+B+AB=A+B+AB=A+B5.配项法根据基本公式中的A+A=A可以在逻辑函数的表达式中重复写入某一

26、项，也可以根据本公式中的A+A=1在表达式中的某一项上乘以(A+A)，然后拆成两项分别与其他项合并，有时能得到更加简单的化简结果。【例1-14】化简Y=ABC+ABC+ABC。解：1.6卡诺图法化简逻辑函数1.6.1逻辑函数的最小项1.6.2逻辑函数的卡诺图表示1.6.3卡诺图化简逻辑函数的规则和步骤1.6.4含无关项的逻辑函数化简1.6.1逻辑函数的最小项1.最小项2.逻辑相邻性1.最小项1) 对于任意一个最小项，输入变量只有一组取值使它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。2) 不同的最小项，使它的值为1的那一组输入变量的取值也不同。3) 对于输入变量的任意一组取值，任意

27、两个最小项的乘积为0。4) 对于输入变量的任意一组取值，全体最小项之和为1。1.最小项表1-16三变量最小项的编号表最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数编 号ABCABC0000ABC0011ABC0102ABC0113ABC1004ABC1015ABC1106ABC11172.逻辑相邻性只有一个变量不同的两个最小项，称为逻辑相邻项。例如ABC和ABC，在这两个最小项中只有变量A取值不同，所以ABC和ABC逻辑上是相邻的。相邻的两个最小项相或，可以消去一个因子，例如ABC+ABC=BC。1.6.2逻辑函数的卡诺图表示1.变量卡诺图2.函数卡诺图1.变量卡诺图图1-18变量卡诺图a)2变量

28、卡诺图b)3变量卡诺图c)4变量卡诺图d)5变量卡诺图2.函数卡诺图既然任意逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，那么自然也就可以设法用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体方法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，在其余的位置上填入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于对应卡诺图中填入1的那些最小项之和。1.6.3卡诺图化简逻辑函数的规则和步骤1.合并最小项的规律2.卡诺图化简法的步骤3.卡诺图合并最小项的原则(画圈的原则)1.合并最小项的规律1) 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子，合并后的结果取其公共因子。2) 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可以合并为一项并消去两对因子。3) 若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三个因子。1) 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子，合并后的结果取其公共因子。图1-21两个最小项相邻的卡诺图1) 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子，合并后的结果取其公共因子。2) 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可以合并为一项并