1.4.2全概率公式与贝叶斯公式ppt课件

1、11.4 全概率公式与贝叶斯公式2 例例1 1 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6 6只白球，只白球，4 4只红球，乙袋中有只红球，乙袋中有3 3只白球只白球6 6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。白球的概率。34()P B123()P BABABA123()()()P BAP BAP BA112233() ()() ()() ()P B A P AP B A P AP B A P A31() ()iiiP B A P A0.1 0.60.2

2、5 0.40.15 0.20.19.1()0.6,P A 1()0.1,P B A 2()0.25,P A3()0.15.P A2()0.4,P B A3()0.2P B A 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P P( (B B) )不易不易, ,但但B B总是伴随着某个总是伴随着某个Ai出现，出现，例如例如B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B B发生的概率是发生的概率是P (B Ai)=P(Ai)P(B |Ai)每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概率的总和发生概率的总和. “全全”部概部概率率P(B)被

3、分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.5 1()P A B1()( )P ABP B11() ()( )P B A P AP B0.6 0.10.1 0.60.25 0.40.15 0.20.316.30.15 0.2()0.158.0.1 0.60.25 0.40.15 0.2P A B 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)作新的估计作新的估计.31( )() ()iiiP BP A P B A31()()(|)()()iiijjjP AP BAP ABP AP BAi =1,2,3111122

4、33() ()() ()() ()() ()P B A P AP B A P AP B A P AP B A P AA1,A2,A36211.5nnA , A , , A定义如果 个事件满足下列条件： 12 ,(i)nA AA两两不相容,ni1(ii) A,i 12, , ,nAAA则称为样本空间的一个划分,.1AnA3A2A1. 样本空间的划分或构成一个完备事件组或构成一个完备事件组.注意(2) 当n=2时,若A1,A2是一个完备事件组,则A1,A2为对立事件.712n1.3A , A , , A,.1,inBAin 定理设 个事件构成样本空间的一个划分是一个事件当P()0( = ,)时,(

5、) ()( )( )0,1, .=1当时, ()=P()P()iiiniiiP A P B AP BP A BinAB A1( ) ( )() ()niiiP BP A P B ABayes（公式）2. 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式的来由全概率公式的来由, , 不难由上式看出不难由上式看出: :“全全”部概率部概率P( (B B) )被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和. .全概率公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P P( (Ai) )和和P P( (Ai | |B) )分别称为原因的验前概率和验后概率分别称为原因的验前概率和验后概率. .P P( (A Ai)()(i=1,2,

6、=1,2, ,n) )是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件B B是否发生）的情况下，人们对诸是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识. . 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B B发生），人们对诸事件发生可能性大小发生），人们对诸事件发生可能性大小P P( (Ai | | B) )有了新有了新的估计的估计. .贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。8BA1A2A3An. 11:()()nniiiiBBBAAB 证明 由于1,( )nnniiiiiABA BnP BP ABP A P B A=1=1是

7、 个两两互不相容的事件,因此 =()=( ) () : 当一个复杂事件是由多种 原因 产生的样本点构成时往往可以考虑用全概率公式计算它的概率.当已知试验结果而要追查 原因 时,使用贝叶斯公式常常有效注.( )() ()()( )iiiiniiiP A P B AP ABP A BP BP A P B A=1条义()=() () 由由件件概概率率的的定定与与全全概概率率公公式式得得到到9求取得白球的概率. 设个则样间个iiABiiB 解 :=取得白球,=球取自第盒,=1,2, 3,是本空的一划分. 31 ( ) () ( | )iiiP AP BP AB则12131223333434363 全概

8、率公式贝叶斯公式的应用举例 例2 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个黑球2个白球，2号箱装有1个黑球3白球，3号箱装有2个黑球2白球. 现从中等可能的取一盒,再从该盒中任取一球,321102) 误判问题.11( )P B() ( )() ( )P B A P AP B A P A95% 0.1% 5% 99.9%0.0509.() ( )()() ( )() ( )95% 0.1%0.02.95% 0.1%5% 99.9%P B A P AP A BP B A P AP B A P A12132514331421423元件元件5 5不能正常工作不能正常工作元件元件5 5能正常工作能正常工作）可靠性问题.分析14 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, , 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为0.40.4、0.50.5、0.7. 0.7.