第二类对坐标的曲线积分

1、 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分1curvilinear integral10.2 第二类第二类( (对对坐标坐标) )的的问题的提出问题的提出对对坐标坐标的曲线积分的概念与性质的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系小结小结 思考题思考题 作业作业第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分coordinates曲线积分曲线积分 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分2变力变力沿沿曲线曲线所作的功所作的功BAL:常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割,0MA

2、ABFW 实例实例 ),(yxFjyxQiyxP),(),( iiMM1jyixii)()( ),(111yxM,),(111 nnnyxMBMn 一、问题的提出一、问题的提出OxyAB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM L),(iiF ix iy iM 元素法元素法 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分3求和求和 niiiiiiiyQxP1),(),( 取极限取极限 niiiiiiiyQxP1),(),( iW niiWW1 iW取近似取近似取取 ),(iiF jQiPiiii),(),( iiiiMMF1),( iiiiiiyQxP ),(),( 即即近似值近

3、似值精确值精确值 W0lim ),(iiF Oxy AB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM Lix iy iM iiMM1jyixii)()( 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分4二、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的概念与性质1. 定义定义设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条的一条 用用L上的点上的点:把把L分成分成n个有向小弧段个有向小弧段),(111yxM),(111 nnnyxM;, 2 , 1(1niMMii ,11 iiiiiiyyyxxx设设iiiiMM1),( 为为点点 ).,0BMAMn 有向有向光滑曲线弧光滑曲线

4、弧, 函数函数P(x, y), Q(x, y)在在L上有界上有界.上任意取定的点上任意取定的点.),(222yxM,定义定义10.210.2 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分5,0时时 iiniixP ),(1 如果当各小段长度的最大值如果当各小段长度的最大值的极限总存在的极限总存在, 记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数P(x, y)在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上或称或称第二类曲线积分第二类曲线积分. .对对坐标坐标x 的曲线积分的曲线积分, ,d),( LxyxP LxyxPd),(即即类似地定义类似地定义 LyyxQd),(称称Q(x, y)在有向曲线弧在

5、有向曲线弧 L上上对对坐标坐标y 的曲线积分的曲线积分. .积分弧段积分弧段被积函数被积函数iiniixP ),(lim10 iiniiyQ ),(lim10 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分62. 存在条件存在条件当当P(x, y), Q(x, y)在有向光滑曲线弧在有向光滑曲线弧L上上则第二类则第二类连续连续(或在或在L上只有有限个间断点上只有有限个间断点, 并且有界并且有界),曲线积分存在曲线积分存在.以后总假定以后总假定P(x, y), Q(x, y)在在L上连续上连续. 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分73. .组合形式组合形式 L

6、LyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(点积形式点积形式其中其中 LryxFd),(jyxQiyxPyxF),(),(),( .dddj yixr 有向曲线元有向曲线元向量形式向量形式为向量值函数为向量值函数, 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分84. 物理意义物理意义 AByQxPddjyxQiyxPyxF),(),(),( 变变力力ryxFWABd),( )dd()(j yi xjQiPAB 有向曲线元有向曲线元沿沿AB所作的功所作的功Wj yixrddd 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分95. 推广推广iii

7、niixPxzyxP ),(limd),(10 zRyQxPddd空间有向曲线弧空间有向曲线弧,iiiniiyQyzyxQ ),(limd),(10 iiiniizRzzyxR ),(limd),(10 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分106. 性质性质性质性质1 1则则为常数为常数设设, LryxFyxFd),(),(21 假设向量值函数假设向量值函数),(yxF在曲线在曲线L上上连续连续. .向量形式向量形式 LLryxFryxFd),(d),(21 jyxQiyxPyxF),(),(),( j yixrddd 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲

8、线积分11LL1L2Oxy若把有向曲线弧若把有向曲线弧L分成两段光滑的有向分成两段光滑的有向性质性质2 2 LryxFd),( 1d),(LryxF 2d),(LryxF曲线弧曲线弧L1和和L2, 则则相反的有向曲线弧相反的有向曲线弧, 则则设设L是有向光滑曲线弧是有向光滑曲线弧,性质性质3 3 yyxQxyxPd),(d),( yyxQxyxPd),(d),( L LL LOxy对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关. .- -L是与是与L方向方向 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分12补充补充在分析问题和算题时常用在分析问题和算题时常用对称

9、性质对称性质.L在上半平面部分与下半平面部分在上半平面部分与下半平面部分 LxyxPd),(P(x, y)为为P(x, y)为为,d),(21 LxyxP其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地, LyyxQd),(对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分, 当平面曲线当平面曲线L是分段光滑的是分段光滑的,关于关于的走向相反时的走向相反时, 则则x 轴对称轴对称, , 0y的偶函数的偶函数,y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论.对对 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分13将原式分成两部分将原式分成两部分,即即 ABCDAxy

10、x1|d ABCDAxyy1|d ABCDAxyx1|d对对曲线关于曲线关于的走向与的走向与L在下半部分的走向相反在下半部分的走向相反,被积函数为被积函数为 ABCDAxyx1|d利用利用对称性质对称性质.L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.0原式原式例例,1|dd ABCDAxyyx计算计算取逆时针方向取逆时针方向., 1| yx其中其中ABCDA为为解解1 yx1 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( DOxy 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分14 ABCDAxyy1|d对对曲线关于曲线关于L在右

11、半部分的走向与在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反在左半部分的走向相反,被积函数为被积函数为 ABCDAxyy1|d. 01|dd ABCDAxyyx所以所以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.0 ABCDAxyyx1|dd计算计算 ABCDAxyx1|d01 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D1 yxOxy 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分15对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,上限

12、是终点的坐标上限是终点的坐标.解法解法化为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分16,)()( tytxL 的参数方程为的参数方程为定理定理10.3,时时变变到到 ,d),(d),(存存在在 LyyxQxyxPQP LyyxQxyxPd),(d),(且且连续连续, 0)()(22 tt 且且且且)(t ),(t tt d)( tt d)( ),(t )(t ttttQtttPd)()(),()()(),( LyyxQxyxPd),(d),(设设P(x, y), Q(x, y)在曲线弧在曲线弧L上有定义上有定义点点M(x, y)从从L

13、的起点的起点A沿沿L运动到终点运动到终点B,为端点的闭区间上具有一阶连续为端点的闭区间上具有一阶连续当参数当参数t单调地由单调地由 及及在以在以)(),(tt导数导数,则曲线积分则曲线积分 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分17特殊情形特殊情形)(:xyyL )(:yxxL LyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(1)(2)则则xxyxyxQxyxPbad)()(,)(, yyyxQyxyyxPdcd),()(),( 则则,)()(: tytxL ttttQtttPd)()(),()()(),( LyyxQxyxPd),(d),(x起点为起

14、点为a, 终点为终点为by起点为起点为c, 终点为终点为d, 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分18,)()()(: tztytx zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(3)推广推广, 起点起点t 终点终点 )()(),(),(ttttP)()(),(),(ttttQ .d)()(),(),(tttttR 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分19例例上上为抛物线为抛物线其中其中计算计算xyLxxyL 2,dxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 解解xy Lxxyd xxxd)( 1023d2xx.54 AOxxyd OBxxyd

15、 xxxd.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到从从BA (1)1010Oxy化为对化为对x的积分的积分 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分202yx 112y11到到从从 y.54 Lxxyd(2),d2dyyx y yyd2 上上为抛物线为抛物线其中其中计算计算xyLxxyL 2,d.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到从从BA Oxyxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 化为对化为对y的积分的积分 114d2yy 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分21 其中其中是由点是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直

16、线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为312111 zyx,1tx 10d)146(tt解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是 zyxyyxxd)1(dd计计算算例例,21ty tz31 , 0 t, 1 tA点对应点对应B点对应点对应 zyxyyxxd)1(dd 10d3)31(d2)21(d)1(tttttt.13 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分22例例 Lyxyxx,d)(d2计算计算(1) L是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;,22xay 解解,costax A点对应点对应 (2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. )0

17、 ,(aA)0 ,( aB (1)中中L的的参数方程参数方程为为, 0 t. tB点对应点对应其中其中taysin 原式原式=.23223aa Oxy)cos(dcos202tata )sin(d)cossin(tatata )0 ,(aA )0 ,( aB 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分23(2) L的方程为的方程为原式原式=xxaad2 .aax 到到从从.323a Oxy )0 ,(aA )0 ,( aB, 0 y Lyxyxx,d)(d2计算计算(2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. )0 ,(aA)0 ,( aB 其中其中 10.2 第

18、二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分例例2222dd ,(1)(0,0)(1,1);(2)(0,0)(1,1);(3),(0,0)(1,0),(1,1).Lxy xxyLyxOBxyOBOABO A B 计计算算其其中中 为为抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧有有向向折折线线，这这里里依依次次是是点点2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解, 10:,:)1(2 xxyL1220(22 )dx xxxx 原原式式 103d4xx. 1 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx

19、,10:,:) 2(2 yyxL1240(22)dyyyyy 原原式式1405dyx . 1 )0 , 1(A)1 , 1(B) 3 (222dd2ddOAABxy xxyxy xxy 原原式式22ddLxy xxy 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分,上上在在 OA,10:, 0 xy12202dd(200)dOAxy xxyxxx. 0 ,上上在在 AB,10:, 1 yx1202dd(201)dABxy xxyyy. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B本题结果本题结果：被积函数相同，起点和终点也相同，：被积函数相同，起点和终点也相同，但路

20、径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同.22ddLxy xxy 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分例例 计算计算 其中其中L为为 解解圆周: 方向沿逆时针.222ayx ).20:(,sin,cos: ttaytaxL2220(sincos)dttt 20dt 2 注：注：此例此例环路环路积分不为零积分不为零。 220( cossin )(sin )( cossin )( cos )datatatatat atta LyxyyxxyxI22d)(d)( LyxyyxxyxI22d)(d)( 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分例例 计算计算2

21、2()d()d()d ,1,:2,Izyxxzyxzzxyzxyz 从从 轴轴看看顺顺时时针针方方向向解解02(2cossinsin )( sin )(cos2cossin )(cos )(cos2cossin )(sincos )dItttttttttttttt 02:,sincos2,sin,cos: tttztytx 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分 223 222202cos2cossindtttt 201cos21cos24d22ttt 02(2cossinsin )( sin )(cos2cossin )(cos )(cos2cossin )(sincos

22、 )dItttttttttttttt 3 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分30 Lxyyxd2d则曲线积分则曲线积分222 yx设设L为圆周为圆周在第一象限中的部分在第一象限中的部分的值为的值为( ).23解解,cos2tx 设设L的的参数方程参数方程为为tysin2 Lxyyxd2d)sin2d(cos220tt )cos2d(sin2220tt .23 Oxy22(逆时针方向逆时针方向), 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分31 ttzztyytxx),(),(),(设设A对应对应例例设点设点 M(x, y, z) 的向径的向径一单位正电荷

23、沿光滑曲线一单位正电荷沿光滑曲线 :, t解解即即,kzj yi xr .|222zyxr 根据库伦定律根据库伦定律,位于原点位于原点(0,0,0)处的电荷处的电荷q产生的静电场中产生的静电场中,所作的功所作的功W.从点从点A移到点移到点B,B对对应应的电场力的电场力位于点位于点M处的单位正电荷受到处的单位正电荷受到 r, rOM rrqF3 rFWABd , t求电场求电场 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分32因此所求的功为因此所求的功为 )()(2d rrrrq rrrqd3 23222)(dddzyxzzyyxxq 23222)(d)(zyxtz zyyxxq

24、)(1)(1 rrq其中其中)(),( rr)d,d,d(dzyxr 分别是点分别是点A和和B到原点的距离到原点的距离.222|zyxrr 2222)ddd(2dzyxzzyyxxr 21222)(d)(zyxtz zyyxx kzj yi xr ,3rrqF rFWd 此例表明此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无而与运动的路径无关关.凡是具有这种特性的力场凡是具有这种特性的力场,称称保守力场保守力场. .,dd,ddtyytxx tzzdd 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积

25、分例例.,), 0()0 ,(1,2222所所做做的的功功求求比比质质点点到到原原点点的的距距离离成成正正与与的的方方向向指指向向原原点点，大大小小其其中中到到从从沿沿椭椭圆圆作作用用受受力力质质点点FFbBaAbyaxFP 解：解：()d()dABWkxxkyy 1O) 0 ,(aA) 0 ,(bB),(yxPFoFFF ),(222222yxyyxxyxk ),(kykx POPOF 20:,sin,cos: ttbytaxAB 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分20:,sin,cos: ttbytaxAB20( cos )(sin )( sin )( cos )d

26、katatbtbtt 2220() cos sin dk abtt t )(222bak ()d()dABWkxxkyy 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分35四、两类曲线积分之间的关系四、两类曲线积分之间的关系 LyQxPdd,)()()(cos22ttt )()()(cos22ttt ,)()( tytxL ：设设有向有向平面曲线弧为平面曲线弧为 LsQPd)coscos( 则则, ,d)(dttx ,d)(dtty tttsd)()(d22 L上点上点(x, y)处的切线向量的方向角为处的切线向量的方向角为有向有向曲线弧曲线弧L的切向量为的切向量为)(),(ttt

27、 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分36, zRyQxPddd rAd可用向量表示可用向量表示),(RQPA )cos,cos,(cos t)d,d,d(ddzyxstr 有向曲线元有向曲线元处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx stAd则则 sRQPd)coscoscos(推广推广 空间曲线空间曲线上点上点(x, y, z)处的切线向量的方向角为处的切线向量的方向角为 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分 ),(),(tytxL 的的参参数数方方程程为为)(),(),(,)(:ttyxt 切向量切向量时时当当)(),(),(,)(:t

28、tyxt 切向量切向量时时当当)()()(cos,)()()(cos2222tttttt )()()(cos,)()()(cos2222tttttt 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分38例例 LyyxQxyxPd),(d),(2xy 解解 ,411cos2x .412cos2xx LyyxQxyxPd),(d),(所以所以 sxxyxQyxPLd412),(),(2把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分化为对弧长的曲线积分.其中其中L为沿抛物线为沿抛物线点点(0,0)到到(1,1). LyQxPdd LsQPd)coscos( ),2, 1(xT 从从 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分39对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系五、小结五、小结四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为定积分计算化为定积分计算对坐标曲线积分的物理意义对坐标曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质关于曲线方向的性质注意注意: : 对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分。功最