第二章-72.9小节线性系统响应的时域求解

1、复习：复习：2.8卷积及其性质卷积及其性质一、卷积的计算过程卷积的计算过程1212( )( )( )( )()g tf tf tff td卷积分成三个步骤步骤：1、将f1(t)和f2(t)两个函数的变量由t换成 ；2、将f2()反摺并移动；3、将两个函数相乘并求积分。画图法画图法1.确定平移量t的取值情况 2.根据不同的t确定的取值范围，即积分的上下限二、卷积的性质卷积的性质复习：复习：2.8卷积及其性质卷积及其性质1、交换律、分配律和结合律2、卷积后的微分3、卷积后的积分 4、两函数的卷积等于其中一个函数的微分和另一个函数的积分5、函数延迟后的卷积6、相关卷积2.9线性系统响应的时域求解线性

2、系统响应的时域求解)()()(trtrtrzszi零状态响应零输入响应全响应时域分析小结时域分析小结由转移算子H(p)求出h(t)求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)r(t)=0 ，根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式tnttnneCeCeCtrn212121)(,1个异实根、特征根为)sincos()(,22121tCtCetrjjt根、特征根为一对共轭复tkketCtCtCCtrk)()(312321阶重根、特征根为系数c1、c2、.由初始条件确定复习复习： 2.3系统的零输入响应系统的零输入响应复习复习： 2.3系统的零输入响应系统的零输入响应 1110()()()

3、m nm nm nm nh tCpCpC pCHtpt 当H(p)为时利用，把H(p)化为一个多项式和一个真分式之和复习复习： 2.6阶跃响应与冲激响应阶跃响应与冲激响应利用H(p)求解h(t)当H(p)为时利用1212( )( ) ( )() ( )ininh tH ptKKKKtpppp( )( ) ( )( )h tH pth t由微分方程求解根据根据H(p)极极点情况分为点情况分为3类写出类写出h(t)的的表达式表达式2、H(p)有两个互为共轭的极点1，2=j( )(co2ss n( )2i)RtIhtKtetKt 其中 KR、 KI为极点+j对应的部分分式系数的实部和虚部。3、H(p

4、)有k阶极点)()!2()!1()(12211teCtCtkCtkCthtkkkk其中C1,C2,Ck为部分分式系数12( )()tzir tecos tin tCC s其中 Ki i=1,2,n 为部分分式系数1、H(p)有n个单极点1, 2 n1( )( )intiiKh tet2.9线性系统响应的时域求解线性系统响应的时域求解一、指数函数指数函数激励下的系统响应 二、矩形脉冲矩形脉冲信号激励下RC电路的响应 三、梯形信号三、梯形信号作用于系统一、指数函数指数函数激励下的系统响应 ( )( )( )zizsr tr trt)(t过程中省去为书写方便以下的推导0js当时j=1,2,n01()

5、01jjnntjjtjstjeedC eK 00011()jjnnts tjtjjjseC eK ed0110jjtjnntjjjs tjKeesC e11( )( )( )jjnnjjttjjCteeKtte)()(0tetets)(tr0is当时第一部分为零输入响应零输入响应，第二部分则为零状态响应零状态响应。)()(0101ttsnjjjnjtjjjeesKeCtr00110( )()jjnnttjs tjjjsjj itiK teKr tC eees0js当时j=1,2,n)()(0101ttsnjjjnjtjjjeesKeCtr0js当时j=1,2,n01100()jnnjjtsjj

6、jtjjKKCssee 第一部分称自然响应自然响应或自由响应自由响应；第二部就称为受迫响应受迫响应。 对于一个稳定系统，系统的响应或最终趋于零或最终趋于一个常数。 系统的响应中最终趋于零的部分称瞬态响应瞬态响应；最终趋于一个常数的部分称稳态响应稳态响应。结论：2、指数函数激励通过线性非时变系统后仍保持原指数函数的形式。3、指数函数也是一种典型的基本信号，今后还会看到一般的信号也可以分解为指数信号。1、系统的全响应可分为零输入响应和零状态响应；自然响应（只含系统自然频率）和受迫响应（只含激励频率）；瞬态响应（最终趋于零）和稳态响应（最终趋于一个常数）。2.9线性系统响应的时域求解线性系统响应的时

7、域求解例：如图RC串联电路，已知R=1，C=1F，e(t)=(1+e-3t)(t) ；电容上的初始电压uc(0-)=1V求电容上的响应电压uc(t)。11RC ( )tcziutCe解： ( )cutH pe t(0 )11( )( )tccziuCutet由得11RCpRC由H(p)还可求得:)()(1)(1teteRCthttRC 3( )( )( )(1 3)ttczsute th tetet稳态响应瞬态响应)()()2121(3tteett零状态响应零输入响应)()21211 ()()(3teetetutttc 受迫响应自然响应)()211 ()(213tetett3()0(1 3)t

8、teed 311(1) ( )22tteet系统的零输入响应必然是自然响应的一部分，零状态响应中又可分为自然响应和受迫响应两部分零输入响应和零状态响应中的自然响应两部分合起来构成总的自然响应，对应一个稳定系统而言，总的自然响应必然是瞬态响应。受迫响应中随时间增长而衰减消失的部分也是瞬态响应中的一部分，随时间增长仍继续存在并趋于稳定响应的部分则是稳态响应。又例：已知线性非时变连续时间系统的自然响应为 ， 受迫响应为 。则下列说法正确的是。1、该系统一定是二阶系统；2、该系统稳定；3、零输入响应一定包含 ；4、零状态响应一定包含 。3() ( )tteet2(1) ( )tet3() ( )tte

9、et2(1) ( )tet2() ( )(1) ( )-3ttteetet全响应而又可写成：零输入响应零状态响应只含自然频率含自然频率和激励频率零输入响应可写成：123() ( )-3tttC eC eC et零状态响应则写成：1223(1) ( )-3ttttD eD eD eet1122331,1,0CDCDCD其中：二、矩形脉冲矩形脉冲信号激励下RC电路的响应 求RC串联电路在e(t)作用下uc(t)的零状态响应。e(t)=E(t)-(t-0)(1)(1teRCthtRC)()()(0trtrEtuc 0( )tr thd)(1 1)(101tedeRCtrtRCtRC )(1 )(1

10、)()()(0)(1100teEteEtrtrEtutRCtRCc其中的RC称为时间常数，一般用表示。它表示电容充放电的快慢，越大充放电越慢，反之越快。 ( )( )( )Rcute tu t011()0( )()ttRCRCEetEet( )( )cu te t( )( )Rute t称微分电路时当dttdeRCdttduRCtiRtutetucRc)()()()()()(0对于RL电路有类似的结论。称积分电路时当ttRtcRdeRCdRuCdiCtutetu)(1)(1)(1)()()(00三、梯形信号作用于系统三、梯形信号作用于系统首先，我们看一个简单的例子，激励为如下的一个梯形信号，并

11、假定系统的冲激响应为h(t)。)()()(thtetr)()()(thtetr)4() 3() 1()()()4() 3() 1()()()()( thththththttttthtetr( )rt最后作两次积分 将梯形信号进行二次微分后就变为一系列的冲激，而与冲激信号的卷积最容易求。最后我们只要对r(t)求二次积分便可求得系统的响应。需要注意的是在微分过程中可能将直流分量丢失，遇到这种情况需要另外求系统对直流的响应。 这个例子告诉我们对于任意的信号还可以用折线来近似，然后用上面的方法求解。显然，所取的线段越多结果越正确。当然，线段越多计算量也越大，但我们可以用计算机来进行数值计算。用折线来近似用折线来近似2.9线性系统响应的时域求解线性系统响应的时域求解一、指数函数指数函数激励下的系统响应 二、矩形脉冲矩形脉冲信号激励下RC电路的响应 三、梯形信号三、梯形信号作用于系统2.9线性系统响应的时域求解线性系统响应的时域求解)()()(trtrtrzszi零状态响应零输入响应全响应时域分析小结时域分析小结由转移算子H(p)求出h(t)作业：2.21 (c)(d)(e) 2