随机过程泊松过程实用教案

1、第1页/共58页第一页，共58页。 定义定义3.13.1(计数过程)随机过程 称为计数过程,如果0),(ttN)(tN表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数. 由定义,计数过程具有(jyu)以下两个特点: (1) 取值为非负的整数;)(tN (2) 时, 且 表示时段 内 事件A发生的次数.ts )()(tNsN)()(sNtN,( ts 如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, 与)(tN)()(tNstN相互独立.第2页/共58页第二页，共58页。 定义3.2(泊松过程泊松过程

2、)计数过程 称为参数为 0),(ttN)0(的泊松过程过程,如果: (1); 0)0(N (2) 有独立(dl)增量;)(tN (3)对任意(rny)的 ,有0, ts,!)()()(tnentnsNstNP,2, 1 ,0n 由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数(均值)为 的泊松分布.t 在实际过程中,条件(3)的验证(ynzhng)存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程另一个等价定义. 若在任一时间区间中发生的事件个数 的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程 有平稳增量平稳增量.这就意味着此时 与 有相同的分布.)(tN)()(12stNstN

3、)()(12tNtN)(tN第3页/共58页第三页，共58页。第4页/共58页第四页，共58页。第5页/共58页第五页，共58页。第6页/共58页第六页，共58页。 定理3.1 计数过程 称为泊松过程泊松过程 ,参数为 0),(ttN),0(如果 (1) ; 0)0(N (2) 过程有平稳与独立(dl)增量; (3);(1)(hohhNP (4).(2)(hohNP 若 是参数(cnsh)为 的泊松过程,则有ttNE)(于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均(pngjn)次数. 称 为泊松过程的强度、风险率强度、风险率或速率速率.0),(ttN第7页/共58页第七页，共58页。强度为 的泊松

4、过程的数字特征： 0001. ,E N t tE N tN ttt； 00002. ,000 ,NND N t tD N tN ttttNtE N tt DtD N tt， 特别地，由假设，可得：；3. , ,0NNCs tDmin s tmin s ts t，； 24. , ,0NNNNRs tCs tstmin s tsts t，。第8页/共58页第八页，共58页。第9页/共58页第九页，共58页。( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5)4(12)9;(5)(5),(5),(5),(12).N t tP NP NNNP NNP NNE ND

5、NCov NN例12：设服从参数为 的泊松过程，求(1) (2) (3) 45(1) P54(5 )4!Ne解： (2) 54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3P NNNP NNNNN4522.534.5(5 )4!(2.5 )2!(4.5 )3!eee例1第10页/共58页第十页，共58页。 (5) EN(5)=5 ,55 ,D N(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4P NNP NNN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9P NNP NNP N57(12)(5)5(7 )5!P NNe (5)4(12)(5)5(12)9P N

6、P NNP N 455749 449912(5 )4!(7 )5!551.1212(12 )9!eeCe (5),(12)55 .Cov NND N第11页/共58页第十一页，共58页。 例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程(guchng) .如果每次事件发生时以概率 能够记录下来,并以 表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明 是一个强度为p 的泊松过程(guchng).p0),(ttN)(tM0),(ttM证 满足定义(dngy)3.2中的前两个条件是显然的,下证它也满足第三个条件.)(tM 显然, 的可能取值为 并且由全概率公式,有, 2 , 1 , 0)(tM0)()(|)()(nn

7、tNPntNmtMPmtMP而mn 0)(|)(ntNmtMP若mnmppmnntNmtMP)1 ()(|)(若mn 第12页/共58页第十二页，共58页。由题意(t y)tnntntNPe!)()(于是(ysh)tnmnmmnntppmnmtMPe!)()1 ()(mnmnmnmmtmntpmtp)!()()1 (!)(e)1(e!)(eptmmtmtptpmmpte!)(所以, 是一个强度(qingd)为 的泊松过程.0),(ttMp第13页/共58页第十三页，共58页。第二节第二节 与泊松过程相联系的若干与泊松过程相联系的若干(rugn)(rugn)分布分布预备(ybi)知识 (1) 函

8、数(hnsh)定义为:zxzzzde)(01 (2)有关 函数的几个重要公式:)()1(zzz!) 1(nn21第14页/共58页第十四页，共58页。 (3)若随机变量 的概率密度为X0, 00,)()(1xxexxfx则称 服从参数为 的 分布,记为X,),(X 当 时,就是参数为 的指数分布.1 (4) 分布关于参数 具有可加性.即若),(1X),(2Y且 与 独立,则XY),(21YX第15页/共58页第十五页，共58页。 引理 设 相互独立且均服从参数为 的指数分布,则有nXXX,21),(21nXXXn (5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记 为第 次事件发生的时刻, 是

9、第 次与第 次事件发生的时间间隔.nTnnXn1n一. 和 的分布nXnT 定理定理3.23.2 服从参数为 的指数分布,且相互独立.nX) 1( n第16页/共58页第十六页，共58页。证证 当 时,有0t0)(11)(111tNPtXPtXPtF所以(suy)0, 00e1)(1tttFt又即 相互独立(dl)且均服从参数为 的指数分布.21, XX|0)()(|112sXsNtsNPsXtXP0)(0)()(tNPsNtsNPt e重复以上的推导(tudo)可证定理之结论.第17页/共58页第十七页，共58页。第18页/共58页第十八页，共58页。 定理(dngl)3.3 ),(nTn

10、证 由于(yuy)niinXT1故由定理(dngl)3.2以及引理的结论马上可得本定理(dngl)之结论.注注: :1 1 的概率密度为),(n)!1()()(1ntexfntTn)0( t)(ntNtTn2.第19页/共58页第十九页，共58页。 由定理3.2,我们(w men)给出泊松过程的另一个等价定义. 定义3.3 设 是计数过程,如果它的相继到达时间(shjin)间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 为泊松过程.0),(ttN)(tN 定理3.2的直接推论(tuln) 设泊松过程的强度为 ,记 为过程的到达间隔,则X1)(XE第20页/共58页第二十页，共58页。 引理 (无后

11、效性或无记忆性)设随机变量 服从(fcng)参数为 的指数分布,则, 0, 0 xt|xXPtXxtXP 证 |xXPtXxtXP,xXPxtXPxXPxXxtXPeee)(xXPxtxtX第21页/共58页第二十一页，共58页。第22页/共58页第二十二页，共58页。第23页/共58页第二十三页，共58页。第24页/共58页第二十四页，共58页。第25页/共58页第二十五页，共58页。第26页/共58页第二十六页，共58页。第27页/共58页第二十七页，共58页。第28页/共58页第二十八页，共58页。第29页/共58页第二十九页，共58页。第30页/共58页第三十页，共58页。第31页/共

12、58页第三十一页，共58页。第32页/共58页第三十二页，共58页。第33页/共58页第三十三页，共58页。第三节第三节 泊松过程泊松过程(guchng)(guchng)的推广的推广一、非齐次泊松过程一、非齐次泊松过程(guchng) 定义3.4 计数过程 称为强度(qingd)为 的非齐次泊松过程,如果0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 过程有独立增量; (3);()(1)()(hohttNhtNP (4).(2)(hohNP 令 ,则有如下的等价定义.tsstm0d)()(第34页/共58页第三十四页，共58页。 定义3.5 计数过程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果

13、0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 过程有独立增量; (3)对于任意的实数 服从参数为)()(, 0, 0tNstNststtduutmstm)()()(的泊松分布. 定理 定义(dngy)3.4与定义(dngy)3.5是等价的. 证证 只需证)()(exp!)()()()(tmstmntmstmntNstNPn 证明过程将要(jingyo)用到母函数的概念,从略.第35页/共58页第三十五页，共58页。第36页/共58页第三十六页，共58页。第37页/共58页第三十七页，共58页。第38页/共58页第三十八页，共58页。第39页/共58页第三十九页，共58页。 例3.7

14、设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程,并且已知前5年它平均(pngjn)2.5年需要维修一次,后5年平均(pngjn)2年需要维修一次. 求它在使用期内只维修过一次的概率. 解 由题意(t y),强度函数为10521505 .21)(ttt则在使用的期限(qxin)(10年)内,故障发生的次数 服从参数为5 . 4215 . 21)()10(10550100dtdtdttm) 0()10(NN的泊松分布,故5 . 4)5 . 4(1)0()10(eNNP第40页/共58页第四十页，共58页。第41页/共58页第四十一页，共

15、58页。第42页/共58页第四十二页，共58页。第43页/共58页第四十三页，共58页。第44页/共58页第四十四页，共58页。二二. .复合复合(fh)(fh)泊泊松过程松过程 定义3.6 称随机过程 为复合泊松过程,如果对于(duy) ,它可以表示为如下形式0),(ttX0t)(1)(tNiiYtX其中 是一个泊松过程, 是一族独立同分布的随机变量(su j bin lin),并且与 独立.0),(ttN0),(ttNnYY,1第45页/共58页第四十五页，共58页。 例3.3 设进入商店的顾客(gk)数可以用一个泊松过程来近似.第 个顾客(gk)在商店购物支付的款数记作 ,并设 相互独立

16、同分布,则在时段 中商店的营业额iiY,21YY, 0(t)(1)(tNiiYtX是一个复合(fh)泊松过程. 例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每次要求赔付的金额(jn )独立同分布,则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额(jn )就是一个复合泊松过程.第46页/共58页第四十六页，共58页。 定理3.6 设 是一复合泊松过程(guchng),其中泊松过程(guchng) 的强度为 ,则)(tN(1) 具有(jyu)独立增量;)(tX)(1)(tNiiYtX(2)若 均存在,则221)(,)(iiYEYE,)(1ttXE2)(ttXD证(1) 令 由于 具有独立增量性,故,

17、10nttt)(1)(11)()(kktNtNiikkYtXtXnk, 2 , 1相互独立,即 具有独立增量性.)(tN)(tX(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.第47页/共58页第四十七页，共58页。第48页/共58页第四十八页，共58页。第49页/共58页第四十九页，共58页。第50页/共58页第五十页，共58页。 例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.每次赔付(pi f)为均值为10000元的正态分布,则一年中保险公司平均赔付(pi f)额是多少? 解 由题意(t y),有 ,故所求的值为10000,12, 21t240000)

18、10(1tXE(元)第51页/共58页第五十一页，共58页。三三. .条件条件(tiojin)(tiojin)泊泊松分布松分布 在实际问题(wnt)中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事件出现的频率是不能预先确定的,往往是一个随机变量 ,而当频率确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程.这就是本节所要研究的条件泊松过程. 定义3.7 设 是具有分布 的正值随机变量,如果在给定 的条件下,计数过程 服从(fcng)参数为 的泊松过程,则称 是条件泊松过程.)(G0),(ttN0),(ttN 由定义可知,如果 是条件泊松过程,则有0),(ttN)(d!)()()(0GnetnsNstNPtn第

19、52页/共58页第五十二页，共58页。 定理3.7 设 是条件(tiojin)泊松过程,且 ,则0),(ttN )(2E(1);)( tEtNE(2).()()(2tEDttND证证)()| )()(tEtEtNEEtNE(1)(2)22)()()(tNEtNEtND)()()(| )(2222EtttEtEtNEE)()(2tEDt第53页/共58页第五十三页，共58页。 例3.11 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响(yngxing)有两种可能 ,且21,1pP,12qpP10 p为已知,并且已知到时刻 已发生了 次事故.(1)求下次事故在 之前不会到来的概率(gil);(2)发生的频

20、率是 的概率(gil).tnst 1 解 (1) 所求的概率(gil)为)(|0)()(ntNtNstNP)()(, 0)()(ntNPntNtNstNP2121|)(|)(,0)()(iiiiiiPntNPntNtNstNPP第54页/共58页第五十四页，共58页。tntntsntsneptpeteptpet2121)1 ()()()1 ()()(21)(2)(1tntntsntsnepepepep212121)(2)(1)1 ()1 (以及(yj)tntntneptpetpetntNP211)1 ()()()()(|2111第55页/共58页第五十五页，共58页。课堂练习 习题1. 通过某十字路口的车流是一泊松过程，