大学物理第 13 章 第 2 次课 -- 理想气体的等温过程和绝热过程

1、上海师范大学上海师范大学1前一节讨论了理想气体可以通过前一节讨论了理想气体可以通过等体过程等体过程或或等压过程等压过程从一个状态变化到另一个状态从一个状态变化到另一个状态.理想气体还可以通过理想气体还可以通过等温过程等温过程或或绝热过程绝热过程从一个状态变化到另一个状态从一个状态变化到另一个状态.一一、等温过程等温过程在在p-V图上图上, 等温过程是一条双曲线等温过程是一条双曲线, 称为称为等温线等温线. 如右图所示如右图所示.如右下图所示是一理想的等温过程如右下图所示是一理想的等温过程: 理想气体密闭在气缸里理想气体密闭在气缸里.等温过程等温过程就是就是温度不变温度不变的热力学过程的热力学过

2、程. 即即常数T即即在温度不变化的情况下在温度不变化的情况下, 系统状态发生变化的过程系统状态发生变化的过程./1213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 12),(11TVp),(22TVp1p2p1V2VpVo等温过程的等温过程的状态方程状态方程常数RTMmpV等温过程也是等温过程也是理想理想的的准静态过程准静态过程.这样这样, 将有热量从恒温热源传入气体将有热量从恒温热源传入气体, 从而使气体的温度维持不变从而使气体的温度维持不变.气缸底部与温度为气缸底部与温度为T的恒温热源相接触的恒温热源相接触.当气缸上的当气缸上的活塞活塞向右缓慢地有一向右缓慢地有一微小移

3、动微小移动, 则则气气体体缓慢缓慢地地膨胀膨胀,气体气体向外做功向外做功, 气体的气体的温度温度有有微微小降低小降低. 气体温度气体温度略略低于热源的温度低于热源的温度T.开始时气体与恒温源的温度相同开始时气体与恒温源的温度相同.恒温热源恒温热源T上海师范大学上海师范大学2等温过程中等温过程中, 气体对外所做的功等于气体对外所做的功等于p-V 图上等温曲线下面的面积图上等温曲线下面的面积.由于由于等温过程等温过程中中, 气体的气体的温度不变温度不变, 因此气体的因此气体的内能保持不变内能保持不变.因此因此, 根据热力学第一定律根据热力学第一定律, 一一微小等温过程微小等温过程中中, 吸收吸收的

4、热量全部用于对外做功的热量全部用于对外做功. 即即/1213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 12),(11TVp),(22TVp1p2p1V2VpVoVd在在宏观等温过程宏观等温过程中中气体体积由气体体积由V1改变为改变为V2时时, 气体对外界所做的功为气体对外界所做的功为,0dE即即(1)pdVdWdQTT(2)2121VVVVTpdVdWW(3)根据理想气体的状态方程根据理想气体的状态方程)( 为摩尔数VRTpRTpV(4)可得可得, 摩尔摩尔气体体积由气体体积由V1改变为改变为V2时时, 气体对外界所做的功为气体对外界所做的功为,12ln212121VVR

5、TVdVRTdVVRTpdVWVVVVVVT(5)上海师范大学上海师范大学3/1213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 2112lnlnppRTVVRTWQTT(8)由由(4)式可得式可得, 21122211ppVVVpVp常数(6)2112lnlnppRTVVRTWT(7)将将(6)式代入式代入(5)式式, 得得由由(2)式式(5)式和式和(6)式式, 可得理想气体在等温过程由于体积膨胀而吸收的热量为可得理想气体在等温过程由于体积膨胀而吸收的热量为WT, QT的符号取决于气体是膨胀还是被压缩的符号取决于气体是膨胀还是被压缩. (8)式表明式表明:(ii) 当气体

6、被压缩当气体被压缩 (V2p1)时时, WT0, QTV1, p20, QT0, 表示气体从恒温热源吸收的热表示气体从恒温热源吸收的热 量全部用于对外做功量全部用于对外做功.由由(8)式可以计算等温过程中理想气体所吸收的热量或对外界所做的功式可以计算等温过程中理想气体所吸收的热量或对外界所做的功.理想气体在等温过程中理想气体在等温过程中, 要从恒温热源吸收热量要从恒温热源吸收热量, 或向恒温热源放出热量或向恒温热源放出热量.如果理想气体在状态发生变化的过程中如果理想气体在状态发生变化的过程中,与外界没有热量交换与外界没有热量交换, 情况会怎么样情况会怎么样? 上海师范大学上海师范大学4/121

7、3.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 二二、绝热过程绝热过程绝热过程绝热过程: 理想气体状态发生变化的过程中理想气体状态发生变化的过程中, 气体与外界没有热量传递气体与外界没有热量传递.绝热过程是一种理想过程绝热过程是一种理想过程, 实际的过程不可能是真正的绝热过程实际的过程不可能是真正的绝热过程.但但在状态的变化过程中在状态的变化过程中, 如果系统与外界的热传递很小如果系统与外界的热传递很小, 以致可以忽略以致可以忽略, 则这则这种过程可以种过程可以近似近似地视为绝热过程地视为绝热过程. 如汽车发动机气缸中气体的膨胀就可以近如汽车发动机气缸中气体的膨胀就可以近似地

8、看成是绝热过程似地看成是绝热过程.0dddQEW因此因此, 由热力学第一定律可得由热力学第一定律可得由于绝热过程中由于绝热过程中, 没有热量传递没有热量传递, 即即OQ d(9)EWdd即即(10)在在p-V图上图上, 绝热过程是一条双曲线绝热过程是一条双曲线, 称为称为绝热线绝热线. 如右图如右图. ),(111TVp),(222TVp121p2p1V2VpVoVdMmTCTCEVVddWddm,m,1. 绝热做功绝热做功上海师范大学上海师范大学5/1213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 TCVTTdm,2121VVdWWTCVddWm,理想气体经绝热过程从体

9、积理想气体经绝热过程从体积V1膨胀到膨胀到V2, 对外界做功为对外界做功为)(12m,TTCV(11)(2211,RVpVpCWmV将将(12)式和式和(13)式代入式代入(11)式式, 可得理想气体绝热过程所做的功为可得理想气体绝热过程所做的功为RVpVpRVpRVpTT1122112212RTpV根据理想气体物态方程根据理想气体物态方程 , 得得 (12)又因为定体热容与定压热容有下列关系又因为定体热容与定压热容有下列关系RCCVpm,m,(13)(2211m,m,m,VpVpCCCVpV1)(1/122112211,m,VpVpVpVpCCmVp(14)上海师范大学上海师范大学62. 绝

10、热过程的物态方程绝热过程的物态方程/1213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 理想气体的物态方程理想气体的物态方程:RTpV等体过程等体过程:常数VRTp等压过程等压过程:常数pRTV绝热过程绝热过程中中, 状态参量状态参量p,V,T都发生变化都发生变化, 能否写出两个量之间的变化关系能否写出两个量之间的变化关系?对理想气体的物态方程对理想气体的物态方程 求微分求微分, 得得RTpVRdTVdppdV(14)RpdVVdppdVCVmV,m,C得得VdppdVRCVmV,m,C)(即即pdpVdVRCVmV,m,C)(等温过程等温过程:常数pVpdVTCVddWm

11、,将将(14)式代入绝热做功表达式式代入绝热做功表达式中消去中消去dT上海师范大学上海师范大学7/1213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 将将mVmpVpCCCRC,m,m,/, 代入上式代入上式, 简得简得pdpVdVRCVmV,m,C)(0CmV,m,pdpVdVpdpVdVCp方程两边积分得方程两边积分得,常数pVlnln常数)ln(pV即即由此可得理想气体的由此可得理想气体的绝热过程方程绝热过程方程为为cpV常数(15)将理想气体的物态方程将理想气体的物态方程 代入代入(15)式式, 得得RTpV1cTV常数(16)(17) 1cTp常数(15)式、式、

12、(16)式和式和(17)式统称为理想气体的绝热过程方程式统称为理想气体的绝热过程方程. 简称简称绝热方程绝热方程.上海师范大学上海师范大学8三三 、绝热线和等温线、绝热线和等温线1. 等温过程等温过程曲线的斜率曲线的斜率ApBVAVApVoCT 0QVapTpBC由于由于 = C= Cp,mp,m/C/CV,m V,m 1, 1, 因此因此绝热线的斜率大于等温线的斜率绝热线的斜率大于等温线的斜率. .p-V图上图上, 等温线绝热线都是双曲线等温线绝热线都是双曲线, 二者有区别吗二者有区别吗 ?有有 ! 二个过程中二个过程中, 压强随体积的变化快慢不同压强随体积的变化快慢不同.即两条曲线的即两条

13、曲线的斜率不同斜率不同.CpV 等温过程方程等温过程方程0ddpVVp求导数得求导数得 AATVpVp)dd(曲线斜率为曲线斜率为下标下标T表示等温过程表示等温过程.2. 绝热过程绝热过程曲线的斜率曲线的斜率CpV绝热过程方程绝热过程方程0dd1pVVpV求导数得求导数得AAQVpVp)dd(A点曲线斜率为点曲线斜率为下标下标Q表示绝热过程表示绝热过程.13.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 /12上海师范大学上海师范大学9 例例1 设有设有 5 mol 的氢气，最初的压强为的氢气，最初的压强为1.03 105 Pa、温度为、温度为200C，求在下列，求在下列 过程

14、中，把氢气压缩为原体积的过程中，把氢气压缩为原体积的 1/10 需作的功需作的功: 1）等温过程，）等温过程， 2）绝热过程）绝热过程 . 3）经这两过程后，气体的压强各为多少？）经这两过程后，气体的压强各为多少？解解 1）等温过程做的功）等温过程做的功1 212lnVVRTW2）绝热过程做的功）绝热过程做的功1T2T121p2p1V101 22VVVpVo2p1 2TT 0QCT 213.4 理想气体的等温过程和绝热过程理想气体的等温过程和绝热过程 12lnVVRTWT由等温过程做功公式由等温过程做功公式得得J1080. 24111 . 0ln15.29331. 85VV)302. 2(11

15、866.51131. 8,15.2932015.273KmolJRKT氢气为双原子气体氢气为双原子气体, 表查表查13-1得得 =1.41, CV,m= 20.44 Jmol-1K-1 .1cTV常数得得由绝热过程方程由绝热过程方程122111VTVT12112)(VVTT由此可得由此可得, K5 .753)10(15.29341. 0负号表示外界对气体做功负号表示外界对气体做功./12上海师范大学上海师范大学1011,2144.20K,5 .753,15.293KmolJCTKTmV)(12,12TTCWmVJ10705. 443）末态的压强）末态的压强13.4 理想气体的等温过程和绝热过程

16、理想气体的等温过程和绝热过程 )(12,TTCWmV由绝热过程做功公式由绝热过程做功公式得得)15.2935 .753(44.205负号表示外界对气体做功负号表示外界对气体做功.对对等温过程等温过程, 由过程方程由过程方程RTpV得得222211VpVpVpPa10013. 11 . 010013. 16115VV)(2112VVpp由此得由此得对对绝热过程绝热过程, 由过程方程由过程方程常数pV得得2211VpVp)(2112VVpp 由此得由此得Pa10604. 2)10(10013. 1)1 . 0(10013. 1641. 1541. 115VV/121T2T121p2p1V101 2

17、2VVVpVo2p1 2TT 0QCT 2上海师范大学上海师范大学11例例2 2 氮气液化，氮气液化， 把氮气放在一个绝热的汽缸中把氮气放在一个绝热的汽缸中. .开始时开始时, ,氮气的压强为氮气的压强为5050个个 标准大气压、温度为标准大气压、温度为300K; 300K; 经急速膨胀后经急速膨胀后, ,其压强降至其压强降至 1 1个标准大气压个标准大气压, , 从而使氮气液化从而使氮气液化. . 试问此时氮的温度为多少试问此时氮的温度为多少 ? ?解解 将氮气视为理想气体将氮气视为理想气体, 其液化过程近似看成绝热过程其液化过程近似看成绝热过程.氮气为双原子气体氮气为双原子气体, 由表由表13-1查得查得 =1.402857. 040. 1/ )140. 1()02. 0(300)501(300Pa;10013. 150,K30