湖南大学机械振动习题课1

1、1. 求图1所示系统中均匀刚性杆AB在A点对坐标x的等效质量。杆的质量为m，A端弹簧的刚度为k。铰C点到A点的距离为al（0a1），试求C点铰支座放置何处时系统的固有频率达到最大值。图1 解：取x为广义坐标，根据等效系统与原系统的动能相等得：222211()22122emllxm xmalal由于固有频率与质量的平方根成反比，欲得到最高固有频率，必须使me为极小：得：代入：是为极小值，故铰链应放在离A端 处。23l故211(1)3emmaa3d320d3emaaa23a 224d2(1)0demaaa2. 一弹簧k与阻尼器c并联于无质量的水平板上。今将一质量m轻放在板上后立即松手，系统即作衰减

2、振动。问质量m的最大振幅是多少？发生在何时？最大速度是多少？发生在何时？设阻尼比01。 图 2解：系统自由振动的微分方程为：在t=0，x=x0 ， 的初始条件下的响应为：式中：0mxcxkx0 x 0(cossin)(1)ntndddxx ett21dn对（1）式取一次导数：最大振幅应发生在 时，由（2）式可知：时质量m振幅最大，代入（1）式得：最大速度发生在 时，由（2）式可得：或20sin(2)ntnddxx et 0 x 0mt max0mgxxk0 x cossin0nd md mdtttgdd mnt时速度最大，代入（2）式得： 应注意最大速度并不发生在质量m过静平衡位置时，这是和无

3、阻尼自由振动不同之处。maxn mtngxe3. 一飞机升降舵的控制板铰接于升降舵的轴上，如图3所示O点，另有一相当于扭簧k的联动装置控制其转动。已知控制板绕O点的转动惯量为I O 。为计算控制板系统的固有频率，用图示试验方法测定k 。将升降舵固定，而在控制板的自由端联接两个弹簧k1 ，k2 。使k2的一端有简谐支承运动y=asin。调节激振频率至系统共振，测定共振频率为0 。试计算k及控制板的固有频率。 图 3 控制板； 升降舵当我们需要操纵飞机抬头或低头时，水平尾翼中的升降舵就会发生当我们需要操纵飞机抬头或低头时，水平尾翼中的升降舵就会发生作用。升降舵是水平尾翼中可操纵的翼面部分，其作用是

4、对飞机进作用。升降舵是水平尾翼中可操纵的翼面部分，其作用是对飞机进行俯仰操纵。行俯仰操纵。红线表示气流方向红线表示气流方向(也就是飞机机头方向吹过来的风的方向），黑线表示平尾，蓝也就是飞机机头方向吹过来的风的方向），黑线表示平尾，蓝线表示升降舵舵面。线表示升降舵舵面。图图1-飞机起飞时升降舵舵面的情况，飞机往前飞，气流就往后吹，气流遇到升降飞机起飞时升降舵舵面的情况，飞机往前飞，气流就往后吹，气流遇到升降舵上翘的舵面产生阻力，阻力产生压力，压力把升降舵舵面往下压，飞机机头就舵上翘的舵面产生阻力，阻力产生压力，压力把升降舵舵面往下压，飞机机头就会自然向上了，飞机就往上飞。会自然向上了，飞机就往上

5、飞。图图2-飞机下降时候升降舵舵面的情况。图飞机下降时候升降舵舵面的情况。图3-飞机就是平飞状态。飞机就是平飞状态。 图1图2图3控制板的固有圆频率为：2212000()nkkk lII图 3解：取广义坐标如图，系统的振动微分 方程为：故：20122() sinIkkk lk lat 221200()kkk lI220012()KIkk l共振频率为：1.求图1所示系统的固有频率。AB为刚性杆，杆本身质量忽略不计。图1图b解：方法（1）：能量法 取广义坐标如图，利用等效质量和等效刚度的概念，可把原系统等效成为图b所示等效系统。根据等效前后动能相等：2221124111()()222eTm am

6、 aIIeeKKeme得转动惯量：等效转动刚度：根据等效前后势能相等：固有频率为：取m1, m2, K1, K2处的竖向位移为广义坐标，如何等效？221 124eIm am a221 123eKK aK a2221223111()()222eUK aKaK222132221142eneKa Ka KIa ma m方法（2）：定义法设使系统绕A点产生单位角加速度需要施加弯矩M，则在m1、m2上产生绕A点的惯性矩： 221 12411Mm am a 221 124eIMm am a设使系统产生单位转角需要施加弯矩M，则在K1、K2处将产生弹性恢复力，对支点取矩： 12223311MKaaKaa22

7、1223eKMK aK a固有频率为：222132221142eneKa Ka KIa ma m2.一质量m =2000 kg，以匀速度v =3 cm/s运动，与弹簧K、阻尼器C相撞后一起作自由振动，如图所示。已知K=48020 N/m，C=1960 N-s/m。问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多大？ 图 2解： 系统自由振动的微分方程为：在t=0,x=0, 的初始条件下的响应为：0mxCxKx0 xx0sinntddxxet由 ，得最大振幅发生在令代入得tm=0.3 s，最大振幅为：应注意最大振幅并不发生在 ，即 时，此时：0(cossin)ntddnddxxett0 x 1

8、1tgdmdnt480204.9/s2000nkradm222219601()4.9()4.875/s22 2000dnnCradm0maxsin0.529 cmn mtd mdxxet2dt/(2)00.526 cmnddxxe sin1dt3.求图3所示系统在支撑运动为ys=y0 sint时的振动微分方程。AB为刚性杆。 图 3解： 方法（1）按原系统列振动微分方程。syyl 设为AB杆的相对转角，y为m上下运动时的绝对位 移，AB杆的静平衡位置为水平，由运动学知识有：y1()(1)1()ssyylyyl故：由动量矩或牛顿定律建立方程0(2)mylka a将（1）代入（2）式，经化简可得系统的振动微分方程为：2222sKaKamyyyll代入0sinsyyt得：22022sinKa yKayytmlml所以：方法（2），按等效系统列振动微分方程。将系统在B点y方向上等效，利用势能相等求等效刚度Ke有：