平行线判定及性质

1、平行线判定及性质板块一平行线平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a / b。平行线的性质：平行线之间的距离处处相等两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： 有且只有一个公共点，两直线相交； 无公共点，则两直线平行； 两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后

2、的学习中，会经常遇到画平行线的问题.方法为：一落”（三角板的一边落在已知直线上），二 靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三 移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四画”（沿三角板过已知点的边画直线）.【例1】判断正误：（1）在同一平面内两条直线不相交就平行，平行就不相交；（2）在同一平面内，两条线段不相交，则平行；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交，垂直，平行【例2】（1）判断：两条直线不相交必平行（2）平面内不相交的两条射线平行吗?【例3】 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的如图

3、17）内错角相等;从图中可知，小敏画平行线的依据有 两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等，两直角平行；内错角相等，两直线平行;A .B .C.D .板块二平行公理一一平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线

4、平行简称：同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行【例4】下列说法中，不正确的是（）A. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B. 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交C. 同一平面内的两条不相交直线平行D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【例6】图如图，AD是 ABC的角平分线, BAC=2. B , DE II BA 试探究 B与.ADE有何关系？并对【例5】 如图：已知.1 =/2 , A=

5、/C，求证：AB II DC AD II BC证明：I . 1/2 ()() I ()() . C =. CBE ()又 . C = . A () /A =()() I ()()你的结论加以说明.【例7】根据图在（）内填注理由： . B CEF （已知）T AB / CD （ . B 二/BED （已知） AB / CD （ . B . CEB =180 ° （已知）- AB / CD （BD图2图3【例8】如图， . E = . 3 （已知），Z1 Z2 （已知） AB / CE （【例9】 如图，T 4=.2 , Z3 Z4 , Z5 Z6，/7 Z8，分别能得出哪两条直线平行?

6、图2【例10】如图，直线AB、CD被EF所截，.1=2 , . 3=. 4 , 1 . 3=90° ,那么AB与CD平行吗？为什么？图3【例11】 如下右图所示，已知：AB / CD , . 1= 2，求证：BE / CF :已知：AB / CD , BE / CF ,求证：.1=2D图3【例12】已知，如图，.AEC = . A . C,试用两种方法证明 AB II CDAB【例13】我们知道，光线从空气摄入水中会发色很那个折射现象光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图由于折射率相同，因此有.，.2-/3 请你用所学的知识来判断

7、光线c与d是否平行？并说明理由rab【例14】学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（)A 第一次向左拐30，第二次向右拐30B 第次向右拐50，第二次向左拐130C 第次向右拐50，第二次向右拐130D 第一次向左拐50，第二次向左拐130【例15】如图，一条公路修在湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角 ZA是120，第二次拐的角ZB是150。，第三次拐的角是 ZC，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求NC的大小.ObC【例 16】在冋一平面内有a ,32, 93 ,，397, 97条直线，如果 a I 32 ,993,93II3

8、4,a4a5,35II36,a6丄a7 ,，那么a1与a97的位置关系是 .板块三.平行线的性质： 性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两条直线平行，内错角相等 性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 简称：两条直线平行，同旁内角互补2.两条平行线间的距离： 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两 条平行线的距离。平行线间的距离处处相等【例17】下列图形中，由 AB / CD，能得到.1=2的是（BDDCABCDD【例18】 如图， ABC中CD _AB于D ,

9、DE / BC，交AC与E . 求证：N1 =Z2 .过BC上任意一点F，作FG _ AB于G ,C巩固如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C （/ ACB=90 °在直尺的一边上，若/ 仁60°则/ 2的度数等于（A.75 °B B.60 °C C.45°D D.30巩固小明同学把一个含有 度数是【】0 0A. 45 B. 5545°角的直角三角板在如图所示的两条平行线0C. 65D. 750m, n 上，测得=120°，则-的【例19】 如图，AB / CD , AD丄AC , ADC =32° ,

10、贝U NCAB的度数是【例20】如图，A ,B ,C和D ,E ,F分别在同一直线上,.C =/D , EGF =/BHA .求证：.A 二.F .【例21】 如图，已知 AB / CD , CE平分ZACD，且交AB于E，丄A = 118°，则NAEC =【例22】如图，直线m / n , ,/55° , Z2=45°则Z3的度数为（）A. 80°B. 90°C. 100°【例23】 如图，已知直线 AB / CD , NC=115°, NA=25° 求ZE的度数.mn【例24】如图，直线EF分别与直线 AB、C

11、D相交于点G、H，已知.1 =“2 =50 , GM平分.HGB交直 线CD于点M .则.3=()A. 60B. 65C. 70D. 130【例25】 已知，如图，四边形 ABCD中，BC / AD , CA平分NBCD ,4=35°求ND的度数.【例26】【例27】如图，DH / EG / BC，且DC EA. 2B. 4C. 5，那么图中与ZBFE相等的角（不包括ZBFE ）的个数是（D. 6已知：如图3, CD_AB于D , EF _AB于F , CD平分.ACB .请找出与.BCD相等的角.【例28】如下图，已知：AB / CD , . ABF = . DCE，求证：.BFE

12、 = . FECABFECDAFCAEC411【例29】如下图，已知AB / CD , . EAF EAB , ECF ECD，求证:44【例30】如右图所示，已知 AB II CD , BE平分.ABC , DE平分.ADC 求证：-E =1. ZA .ZC【例31】如图 AB II CD II EF ,CG 平分.ACE , A =140 , E =110 .【例32】如下图所示AB II CD .求证： B E D =360FGD【例33】已知：如图所示，AB II CD，/1=110，/ 2=120，则 八=：【例34】 如下图， AB II DE , . ABC =70 , . CD

13、E =147，求.C的度数.【例35】已知如图所示， AB I DE,ED=116 ，乙DCB =93，求£ B的度数.【例36】如图所示，若 AB II CD，则角:,的关系为()A.匚- -360B.匚-180C. ：' =180D. ： -，=180【例37】请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明(1) 如图，已知： AB II CD，直线EF分别交 AB , CD于M , N , MG , NH分别平分 AME , -CNE .求证：MG II NH .从本题我能得到的结论是：(2) 如图，已知：AB II CD，直线EF分别交AB

14、 , CD于M , N , MG , NH分别平分ZBMF ,.CNE .求证：MG / NH 从本题我能得到的结论是： .(3) 如图，已知： AB / CD，直线EF分别交 AB , CD于M , N , MG , NH分别平分.AMF ,ZCNE，相交与点 0.求证：MG _NH 从本题我能得到的结论是： .(4) 如图，已知：AB，CD相交于0 , OF平分.AOC , 0E平分.BOD .求证:F，0， E三点共线.从本题我能得到的结论是： .【例38】BDBDBD0EB如右图，在折线 ABCDEFG中，已知/ 1 = / 2= / 3= / 4=.AMG与.3的关系，并说明理由.5

15、,延长AB、GF交于点试探索【例39】 证明：三角形三个内角的和等于 180 【例40】如图,已知MA/NAn ,探索A2、A ,B1、 B2、 Bn丄之间的关系.如图,已知MA/NA4 ,探索A2、 A3、 A,B1、 B2 之间的关系.如图,已知MA/NAn ,探索、/A之间的关系.NAnNM Ai(1)【例41】如图所示，两直线 AB CD平行，则.123.4.6=(C. 800D. 900【例42】EBD如图，直线 AB / CD , EFA =30' , . FGH =90 , HMN =30； , CNP =50，则.GHM 的大小 是【例43】如图所示，AB / ED，二.AEBCD，证明：=2：【例44】 已知AB / CD，点M , N分别在AB ,CD 上.(1) AB ,CD间有一点E，点E在直线MN左侧，如图1,求证.AMECNE = MEN .(2) 当AB ,CD间的点E在直线MN右侧时，如图2, . AME , CNE , MEN直线有什么关系?(3)