异面直线2(夹角)(1)

1、不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线一个平面内的两条直线叫做异面直线。叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义: 平行直线平行直线相交直线相交直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系温故知新温故知新公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托1.异面直线所成的角异面直线所成的角 在平面内在平面内,两条直线相交成四个角两条直线相

2、交成四个角, 其中其中不大于不大于90度度的角称为它们的夹角的角称为它们的夹角, 如图如图. 在空间在空间,如图所示如图所示, 正方正方体体ABCDEFGH中中, 异面异面直线直线AB与与HF的错开程度可的错开程度可以怎样来刻画呢以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO(2)问题提出问题提出(1)复习回顾复习回顾(3)解决问题解决问题异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义: 如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点经过空间任一点O作作 直线直线 aa , b b 则把则把 a 与与 b 所所成的锐角成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线所成的角叫做异面直线所成的角(

3、或夹角或夹角).abb aO思考思考 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗 ? 即即O点位点位置不同时置不同时, 这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ooABGFHEDC 思考：思考：在空间在空间,如图所示如图所示, 正方体正方体ABCDEFGH中中, （1）异面直线）异面直线AB与与HF所成的角是多少呢所成的角是多少呢?（2）哪些棱与）哪些棱与AE垂直？垂直？（3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直， 那么另一条是否也与这条直线垂直？那么另一条是否也

4、与这条直线垂直？（4）垂直于同一直线的两直线是否平行？）垂直于同一直线的两直线是否平行？v例例1.在正方体在正方体ABCD-EFGH中中AE=a （1）求求EB与与HF所成的角所成的角 （2）求）求AG与与BD所成的角所成的角ABGFHEDC 在求作异面直线所成的角时在求作异面直线所成的角时,O点点 常选在其中的一条直线上常选在其中的一条直线上 (如线段的如线段的端点端点,线段的线段的中点中点等等)v例例1.在正方体在正方体ABCD-EFGH中中AE=a （1）求求EB与与HF所成的角所成的角 （2）求）求AG与与BD所成的角所成的角ABGFHEDC小结：找异面直线小结：找异面直线所成角的方法

5、是：所成角的方法是：利用平行四边形或利用平行四边形或三角形中位线平移三角形中位线平移至端点，中点。至端点，中点。PO求异面直线所成角的步骤是求异面直线所成角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）异面直线所成角：作（或找）异面直线所成角二证：证明所作二证：证明所作(或找或找)的角为所求的异的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度

6、所成的角是多少度?3232解答：解答：(1)GFBC EGF（或其补（或其补角）为角）为BC 和和EG 所成的角所成的角. RtEFG中，求得中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其补角）为（或其补角）为AE 和和BG 所成的角所成的角RtBFG中，求得中，求得FBG = 60o5.课堂练习课堂练习1ABGFHEDC32322ABGFHEDC 如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求FO与与BD所成的角？所成的角？ O连接连接HA、AF，依题意知依题意知O为为AH中点中点 , HFO=30o解：连接解：连接FH，所以所以FO与与

7、BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HFBDHFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 FO与与BD所成的角所成的角HD EA，EA FB HD FB=则则AH=HF=FA AFH为等边为等边5.课堂练习课堂练习2v例例2.如图空间四边形如图空间四边形ABCD中，中，AD=BC=2， E、F分别是分别是AB、CD的中点的中点,EF=v求异面直线求异面直线AD、BC所成的角所成的角3ABCDEFGGEFH311ABCDA1B1D1C1例例3：在正四棱柱：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1=2AB,找异面直线找异面直线AD1与与A1B的夹角。的夹角。所所成成的的角角的的余余弦弦值值与与求求直直线线的的中中点点是是中中点点，的的是是中中，、正正方方体体例例CNAMCBNCAMD11111111CBA-ABCD5例例4ABC1B1D1A1DCNM找找P，求求侧侧棱棱的的长长。）若若直直