平板波导理论

1、第一章平板波导的射线理论光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于绕射而引起发散， 这些情况都会导致光束中心部分的强度不断地衰减。因此，有必要设计制作某种器件， 它能够引导光束的传播，从而使光束的能量在横的方向上受到限制，并使损耗和噪声降 到最小，这种器件通常称为光波导，简称波导。结构最简单的波导是由三层均匀介质组 成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯两侧的介质层称为包层。芯层的介电常数比 芯两侧包层的介电常数稍高，使得光束能够集中在芯层中传输，因而起到导波的作用。 这种波导的介电常数分布是陡变的，也称为阶梯变化的，常称这种波导为平板波导。对光波导特性的分析，应用两种理论，即射

2、线光学理论和波动光学理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙 的结果。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构的光波导的模式特性，还必须采用 波动理论。光射线，简称射线或光线，可以这样理解：一条很细很细的光束，它的轴线就是光射线。它的方向沿着光能流的方向。光线与光束是不同的，光线是无限细的，光束则有 一定的尺寸。光线在均匀介质中的传输轨迹是一条直线，在非均匀介质中的传输轨迹是 一条曲直线。用射线去代表光能量传输路线的方法称为射线光学。射线光学是忽略光波 长的光学，亦即射

3、线理论是光波长趋于零的波动理论。本章将应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导的导波原理和与之相关的某些物理概念为读者给出直观的物理意义和清晰的理解，并为以后运用 波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。模式类型xx(X)我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，在平板波导中存在两种基本模式，一种称为TE模，另一种称为 TM模。两种模式用光的电场和磁场的偏振方向来定义 比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时电场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横电模，英文为Transverse Electric Mode，取其字头称为TE模。选择磁场

4、只沿平行于波导界面的方向偏振，此时磁场垂直于光的传播方向，是横 向的，因而把这种模式称为横磁模，英文为Transverse Magnetic Mode，取其字头称为 TM模。根据模式的导波性或辐射性，可进一步把模式分为导引模式和辐射模式，前者简称 导模，而后者简称辐射模。现来研究三层平板波导，其横截面和相对介电常数分布如图1-1所示，光沿垂直纸面的z方向传输，图中 b为波导芯厚度，1、2、3分别为芯层、下包层和上包层2的相对介电常数，相应的折射率分别为 n1、n2、n3,它们与相对介电常数的关系为1山、10上包8层23 = n36波4导心=n 21 120n 2下包层22 = n2b0y411

5、03，当图1-1三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布,时为对称三层平板波导，当23时为非对称三层平板波导。折射定律和全反射光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图1-2所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角为1，在下界面的折射角为2，在上界面的折射角为3。当入射角1较小时光在上下两个界面上都 不发生全反射，此时光在上下两个界面上的折射满足折射定律nn 1 n2 sin 2n1 sin 1 n3sin 3即有nin 1n2sin 2 n3sin 3由式可得sin 1sin 2sin 1匹sinn1因为n1匚门3，由式可判断出123。当入射角

6、 1增大时，折射角为 2和3也随之增大。当3增大到90时，光在上界面上发生全反射。如果入射角1继续增大，使得 2也增大到90时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全反射时的入射角称为临界角。由式可得到光在下、上两个界面上发生全反射时的临界角12、13分别为 n2 n312 arcs in13 arcs inn<|n<|因为n2n3，所以1213。空间辐射模当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图1-2所示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层 中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模，入射角1必须满足下述

7、条件113 arcs in由上式还可得到n1 sin 1 n3我们定义Nn1sin 1为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间辐射模的条件又可写为N 匕令ko 20，称k0为为真空中波数，0真空中光波长，并定义koN为模式的传播常数，它是波矢 k的z分量，即kz。引入传播常数的概念后，上式两端同乘以k0，因此产生空间辐射模的条件又可写为koN “我们把产生空间辐射模的条件合写如下“3113 arcsin -n1N n1 s in 1 n3k0N k0n3图1-2空间辐射模衬底辐射模如果入射角1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图1-3所示。此时光在传输过程中不

8、断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层时也为衬底）中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。因此若产生衬底辐射模，入射角1必须满足下述条件arcsi n匹n11312arcsin匹n1由上式还可把产生衬底辐射模的条件写为n3 N n1 si n 1 n2上式两端同乘以真空中波数kO,产生空间辐射模的条件又可写为ko“3koN如2图1-3衬底辐射模导模如果入射角1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包层中不再有折射光，如图 1-4所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿 z方向传输，这种模式称为导模。因此若产生导模，入射角1必须满足下述条件1

9、2arcsin由上式还可把产生导模的条件写为n2 N n1 si n 1 n1上式两端同乘以真空中波数kO,产生空间辐射模的条件又可写为k0n2koN 如1“310图1-4导模禁区如果入射角 1增大到90 ，则光将沿z方向前进，此时导模的有效折射率N = n1,传播常数koni，这是导模最大可能的传播常数。对于组成波导的各层介质都是线性的情况，N > n1或koni的区域为禁区，代表不存在模式的区域。表面模对于某些特殊结构的波导，如金属包层波导和非线性波导，会出现其有效折射率大 于n1、传播常数大于 k0n1的情况。这种 N > n1或 心口的模式称为表面模。全反射相移光在波导界面

10、上发生全反射时，入射角大于临界角。以下界面为例，有.%arcsin - 伐 i22 . 2n1或 n2 n1 sin 1 0下面我们分别讨论 TE和TM模由全反射而引起的相移。TE模的全反射相移TE模的反射系数公式为E'q cos 1 n2 cos 2m cos 1 n2 cos 2其中式中E、cos 2E'分别为入射场强和反射场强。1 sin22n1 . 2-2 sinn2光在下界面发生全反射时,1 2 2 . 2 n2n1 sinn2利用式和可得2 . 2n1 sin 1 n22 1 2n2上式说明发生全反射时折射角2变为虚数。上式代入式得到E'expexp.2 .

11、 2n1 cos 1 j n1 sin. 2 2n-i cos 1 j n-i sin2 2nt sin 1 j2 arctan-j2 122 1 2 n22 12 n2nf12n1 cos 1上式表明，光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生一个相移12,2 . 2 2 1 22 12 2arctan 鸣些一n1 cosT3koN2ko N2121 23 ko N n3则有ko2 n1N2ko2 2 . 2 n1 n1 sin 1k°n1 cos 1122122 22122 koNn2k0n1 sin 1n222122 . 22123koNn3k0n1 sin 1代入式则有1

12、22 . 2 2 1 2 nt sin 1 n22 arcta n -nt cos t2 arcta n2arcta nT22同理，光在上界面发生全反射时的也要产生一个相移2 13，其中2 132 . 2 2 1 2 n1 sin 1 n3 2arcta nn1 cos 132 arcta n -12arcta nT3TM模的全反射相移TM模的反射系数公式为E' n 1 cos 2 n2 cos 1 rE n1 cos 2 n2 cos 1光在下界面发生全反射时，上式代入式得到E'n2 cos 1.n12 . 2j n1 sin%n212n1n? cos 1 jn2nj sin

13、22 1 2n2exp22 .n1 n1 sin j 2 arcta n 21“2n1 cos 1expj2 122 122其中 212为光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生的相移2 2 2 2 1 2nt nt sin 1 n2122 arcta n2n1 cos 1“2此时令T2n12n2212 i 21 21k0n1N仍有2.21 21k0n1N221 22k0Nn2 221 23k0Nn3代入式则有2nl 32n312 2 1 22 ko N2 n；. 2 2 . 2k0 nrnr sin 1ko ni2sin2 i nf 12k0 n1 sin2 1 nf '22

14、2 123 ko N2n2kon 1 cos 1ni2 122 arcta n-n22 sin2 arcta nT2n2 1 1n： 12n1 cos 12n 22m 32 arcta n 二2 arcta nT3n31同理，光在上界面发生全反射时，反射光和入射光之间也要产生一个相移213,其中2 2.2 2 nj nj sin 1 n3n1 cos 12 132 arcta n 二“3对于TE和TM模，T2、T3的定义是不同的，参见式、，因而它们的全反射相移也是不同 的。这些全反射相移称为 Goos Ha nchen相移。穿透深度和有效波导厚度在我们以前的讨论中，当光在波导界面上发生全反射时

15、，认为光就在入射点上发生反射，入射和反射在同一点上发生，也就是说认为反射点和入射点是同一个点。这时光在波导中的轨迹是一个锯齿波，但实际上却不然。Goos和Hanchen二人曾于1947年在试验上发现，光的反射并不发生在入射点上，光的反射点和入射点并不是同一点，反射 点离入射点有一段距离或位移，如图1-5所示。这是因为任何相移都要与一定的光程或位移相联系，光在界面上产生的全反射相移也不例外。这样看来，光在波导上下界面处发生全反射时，入射光似乎并不是在实际界面上反射，而好像是深入到较低折射率的上下包层中的某两点，然后再反射回来。设这两点A、B距上下界面的距离分别为X3和X2,并令在上下界面处因全反

16、射相移而引起的位移分别为2Z3和2Z2，于是有X3Z3tan 1Z2tan 1而引起的位移Z由下述公式确定X3、X2称为导模在上下界面处的穿透深度。光因相移dzdF面我们分别讨论 TE和TM模的穿透深度和有效波导厚度。10,W B图1-5 穿透深度和有效波导厚度。TE模的穿透深度和有效波导厚度式代入式，并利用式和可得d12d1 dT21d2Z2dddi ULdi 1 1 21 T22 d1 T； d11d 2d 11T22211 d2 d1即有Z2同理有Z3221 T211T22tan 1式、代入式则可得到1X33d1dkm sind2dko2nj2 1212k。门丄 COS 121 2 2

17、21 2 11tan 1TE模在上下两个界面处的的穿透深度分别为X22穿透深度的存在相当于增大了波导芯的实际厚度，因此TE模的有效波导厚度为beffbX2X3bTM模的穿透深度和有效波导厚度式代入式并利用式和可得d 12Z2 丁d darcta nT2dT22 1T22 d1 d n2T； d n；1221nf 1 T2n1_nf 1 T； 2d 217"d 12Td .2 22 122 ko n12n12n1即有Z2同理有Z32n21T22212 222n1 n21242422n21n122 222n1 n21242422“21n122 222n1 n313212143 n3n：

18、2 tantan式、代入式则可得到2n22n n4 22 n2 14n122221122n： ； k°n1k°n 1 si n 1冬tan1 T222 tan3 13 1 T3COS 1TM模在上下两个界面处的的穿透深度分别为2 222X3n1 n31342423 n31n132 222X2n1 n21242422 n21n12因而TM模的有效波导厚度则为beffbX2X3b或beffbX2X3b22t213 33 131T3222 212T22 121T222 22 22 22 2n1 n21 2n1 “21n123 “31n1 321翘2213

19、T322 1 21 T223 1 3 1T32§特征方程导模的传播常数满足条件ko“2k°N k°ni但并非满足上式的所有的值都能形成导模。在波导中传输的光并非是一条孤立的光线，而是一束平行光线。这些平行光线在波导的两个界面之间多次全反射，只有在一个完整的锯齿波过程中相位相差2的整数倍的那些光线才能产生干涉而形成导模。如图1-6所示，这一平行光束中的一条光线在上下界面处发生两次全反射时的光程，与另一条光线在这期间是不同的。令光线 1在上下界面的 A、B两点发生全反射，通过 A、B两点 的等相面为AC和BD。在D点发生全反射的入射光线为光线 2，则光线1和光线2在两

20、 个等相面AC和BD间的几何光程差为 AB ED,相应的相位差为图1-6 光程差的确定式中AB EDn1 -km AB ED0为波导芯介质中的光波长,0为真空中光波长。另外光在上下两个界面处发生全反射的相移为2 13和2 12，因此总相移应等于212 ,的整数倍，即有km AB ED 2 122 13 2m(m = 0, 1,2,)由图中的几何关系可得ABbCOS 11b marcta nT2 arcta nT3(m = 0, 1,2,)ED AD sin 1 FB GB sin 1btan r bcot 1 sin 1b tan r sin r cos r由此得到AB ED 2b cos r

21、上式代入式有2bk0nr cos r 2m 2 122 13又因koni cos i i，所以有2 rb 2m 2 122 13式中2 ib是一条光线在两个界面之间往返一次因光程而引起的x方向的横向相移。把TE和TM导模的特征方程为2 12和2 13的表达式、或、代入上式中则可得到式中m称为模式阶数，T2、T3定义为T2n； n| S 2T32n1k°2n； 12nJ2式中，对于 TE导模s = 0,对于TM导模s = 1。导模特征方程是传播常数的超越方程，由它不可能得到的解析解，只能得到的取值也不连续，取分的数值解。又因为这一方程中含的整数m，取值不连续，因而 立值，即导模的传播常

22、数组成分立谱。§导模的传输与截止导模的有效折射率N的变化范围为n2 Nn1sin 1 n1，在此范围内导模能够在波导中进行传输。当导模的有效折射率N等于芯两侧包层折射率 n2时，导模不复存在,2 2 1 2称为导模截止。此时把N = n2代入式中得到i ko ni n2, 2 0 ,2 2 1 23 ko n2 n3，进而由式得到 T2 = 0。下面分别讨论对称三层波导和非对称三层波导中导模的传输与截止情况。对称三层波导令n2 = n3代入式中即可得到对称三层波导TE和TM导模的特征方程为1b m2 arcta nT2(m = 0, 1,2, )应用特征方程进行数值计算，图1-7显示

23、了 GaAs/对称三层波导TE和TM导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b与模有效折射率 N的关系曲线。取真空中光波长m, GaAs波导芯的折射率 n1，上下包层的折射率n2。此时由于芯层与上下包层之间的相对折射率差较小，即n 匕巴 3.45 3.430.6%，因此 TE 和 TM3.45的各阶导模的有效折射率之值相差很小，相应的曲线相互重合，TE和TM模发生简并。所谓简并，是指同一个有效折射率的值对应两个或两个以上的模式。当给定波导芯厚度 b时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m阶导模截止时，把 T2 = 0代入特征方程可得2 2 12 2 2 12川 k0 n<|

24、n2b 2 门！n2 bm -o从上式可以看出，波导中所能传输的导模数量与芯厚度或折射率差成正比，芯厚度或折射率差越大，则波导中所能传输的导模数量越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为 mmax = int(m),考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax+1 = Int(m)+1。当m恰为整数时， mmax = m 1,因此波导中所能传输的导模数量为M =mmax +1 = m。把T2 = 0代入特征方程，得到第m阶导模截止时的波导芯厚度为mko ni2 nf 122 ni2nf2因此第m阶导模的截止条件为b mbcutko nj n2 12m o2 ni2

25、n； 12上式说明当芯厚度 b等于或小于第 m阶导模的截止芯厚度时，第m阶导模截止。由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为m 1 cutko n2 n； 122 n22 1 2n2即各阶导模的截止点等间距排列。对于o阶导模，称为基模，m = o,由式知其截止芯厚度为bJt o，这意味着对于任何芯厚度的对称波导， TE和TM基模总能在其中传输， 永 不截止。在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基1阶导模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度不能大于模的截止芯厚度，即, 2 2 12 2 2 12 k0 门！n22 门！n2从上式可以看出，为了

26、保证波导中进行单模传输，波导芯与其两侧包层之间的折射率差 越大，波导芯的厚度就应越小。因此为了保证波导中进行单模传输，就应适当减小波导 芯厚度或折射率差，使芯厚度小于1阶模的截止芯厚度。上面讨论的各阶导模的截止情况与图1-7显示的情况完全相符。非对称三层波导非对称三层波导TE和TM导模的特征方程为1b marcta nT2 arcta nT3(m = 0, 1,2,)应用特征方程进行数值计算，图1-8显示了 GaAs/非对称三层波导 TE和TM导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b与模有效折射率 N的关系曲线。取真空中光波长0 = m, GaAs波导芯的折射率 n1 =，下包层的折射率

27、n2 =，上包层为空气，其有 效折射率为n3 = 1。此时由于芯层与上包层空气之间的相对折射率差较大，即n亍7%从图中可以看出TE和TM各阶模式有效折射率之值有了差别，相应的曲线也已经分开，TE和TM模的简并被消除。TE实线）和TM导模（虚线）的传输曲线。取图1-8 非对称三层波导m, ni = ， n2 =，=1,特征方程的数值结果。当给定波导芯厚度 b时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第导模截止时，把 T2 = 0代入特征方程22 121b arctanT3k0 n1n2b arctanT3b mbcutm arcta nT3marcta nT31ko2n12 1 2n2式中

28、ss221 2T131n2n31 3221 2313n1“2对于TE导模s = 0,对于TM导模s=1。因此第m阶导模的截止条件为把T2 = 0代入特征方程中得到第m阶导模的截止波导芯厚度为marcta nT3marcta nT3b mbcutko n2n22由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为m 1 cut0, 2 2 1 2 - 2 2 12 k0 n1n22 门勺 n2即各阶导模的截止点也是等间距排列。对于0阶导模即基模，m = 0,由式知其截止芯厚2度为b 0bcutarcta nT3ko n2n2这一点与对称波导不同。对于对称波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任何芯厚度

29、的对称波导，TE）和TM0基模总能在其中传输， 永不截止。而对于非对称波导,其0阶导模的截止芯厚度不为零。因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，否则波导将不能导波。当我们设计单模波导时，其芯厚度要大 于0阶导模的截止芯厚度同时要小于等于1阶导模的截止芯厚度，即arcta nT3k0 n2 n2 12arctanT?b °bb 11 2bcutbbcutk220 mn2对于许多实际应用的波导如半导体波导，其芯层与下包层的折射率相差很小，而其芯层与上包层的折射率相差较大。对于这种n1 n2 n3的情况，由式可知 T3很大，因22 1 22 nj n；b此可近

30、似认为arctan3，此时，确定波导中模式数量的公式简化为22 121b 1k0 n-in2 b 1确定导模的截止芯厚度的公式简化为m cut2m 1厂12m12m 102k0 nj2 12 n24n： nf 12单模传输的条件式简化为2 2 122k0 n22 2 122k0 n n2上面讨论的各阶导模的截止情况也与图1-8显示的情况完全相符。§远截止近似法波导模式的特征方程是超越方程，不可能从中得到传播常数的解析表达式。如果当 波导芯厚度较大时，可用远截止近似法求出导模传播常数的近似表达式。下面以非对称 三层平板波导为例加以说明。非对称三层平板波导 TE和TM模的特征方程为1b

31、marcta nT2 arcta nT3(m = 0, 1,2,)为了运算方便，可把T2和T3的表达式改写为TETj j cjCj2 : 2nk- nTM式中N212ko N22nj(j = 2, 3)V k0n-22212n1n22212n1“3假设导模处于远离截止状态，引入量2 2 12n2n2p P 2 2 12n2此时导模有效折射率 N趋于n 1,由上式定义的P可以看成是小量，而P2为二阶小量可略去。利用式和做下述变换22 12Tb k0 n； N2 b PV利用公式arcta“2 arcta “ 1，特征方程变为1bm 1arcta “丄T2arcta “丄(m = 0, 1,2,)

32、T3式、代入上式得到PV m 1arcta “ c2Parcta“ c3QP因为 c2, c3, Q 1，所以 c2P, c3QP1为小量，因此上式可近似为2N22 1212 2“1“2“122 1 2N2C212C2 n12 12N2C22“1N212 12P21C2PC2P22 1 212 22k12 123N“3“1“3“1NC312C3山2 1-2N2C32“1N21q2p21 21®QPc3QPPV由此得到m 1c2P c3QPm 1Vc2 c3Q上式与式中的第一式联立求解则可得到TE和TM导模的有效折射率 N和传播常数满足的近似表达式分别为2m 1 2 2 n； n；V

33、c；k0N2 k0njC3Q2V C2222门勺n2C3Q 2式中c2> C3、V、Q由式和规定。利用式中的第二、三式还可把上式写成下述形式212k0b c2 n；n； 1222 2 1 2 2C3 nin32kN2 konf2ko m12图1-9对称三层平板波导的 TE导模有效折射率N计算结果的对比，取0 =k0b c2 nj n2 12 c3 n： n2 12 2对于对称三层波导，在式、中令n2 n3、c2 c3即可。当给定波导芯厚度 b和介电常数分布时，可直接由上式计算出三层平板波导TE和TM导模的有效折射率 N和传播常数的值。图1-9显示了应用远截止近似法与特征方程对TE导模计算结果的对比，选择GaAs/对称三层平板波导，取真空中光波长。=m，GaAs波导芯的折射率n1 =，上下包层的折射率 n2 = n3 =。图中可以看出，由式得 到的有效折射率N的近似解，在模临近截止的区域内与特征方程的数值解之间存在较大 的误差。但当芯厚度 b增大时，此误差将迅速地减小，使得在导模远离截止的广大区域 内，能够用此方法得到导模有效折射率N和传播常数比较精确的计算结果。m， n1 = ，n2 = n3 =实线：远截止近似法式的结果；虚线：特征方程的数值结果。§近截止近似法当导模临近截止时， 应用远截止近似法求出导模