平面几何探究试题

1、.ACBt = . ACB =90(3)如图，在BQ上取一点E,连接BE、RE ,设 BC =1 ,当BE丄RB时，求L PBE面积的最大值.图O(1)证明：/BQB =45 又 BQ =BC，/B1/B(2)作RD丄CA于D ,图(1 )(3)，/ BQA =90 二_BQQ 斟 BCR：NA=3O °，二 RD =二 AR=1图E BCR =45 °(ASA (2)二 CQ=CR1 (4 )几何探究试题1. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问

2、题请你利用重心的概念完成如下问题：(1) 若0是厶ABC的重心(如图1),连结A0并延长交BC于D,证明：辿/;AD_3(2) 若人。是厶ABC的一条中线(如图 2), 0是AD上一点，且满足如/，试判AD_3断0是厶ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； 解答： (1)证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E.点0是厶ABC的重心， CE是中线，点 E是AB的中点. DE是中位线， DE/ AC 且 De4aC.2/ DE/ AC,AOSA D0E 二-_二：=2,OD"DE/ AD=AO+QD. "'.AD 3(2)答：点 0是厶ABC的

3、重心.证明：如答图2,作厶ABC的中线CE与AD交于 点Q,则点QABC的重心.由(1)可知，'=,而",AD 3 AD3点Q与点0重合(是同一个点)，点0是厶ABC的重心.2. (自贡市)将两块全等的三角板如图摆放，其中.A = A =30 ° .(1) 将图中的ABC顺时针旋转45°得图，点P是AC与AB的交点，点Q是AB与BC的交点, 求证：CP, =CQ ;(2) 在图中，若 AR =2，则CQ等于多少?2纠CD =45RDCp二 sin45(5)二 cpi =T2rd =72又 CR =CQ , . CQ 2(3)解：NRBE =90。，/ABC

4、 =60 ° 二 NA=NCBE=30。二 AC = J5BC(6)(7 )-(8 )由旋转的性质可知NACR =NBCE ARC s| BEC(9 )j3二 AR:BE=AC:BC设 AR =x 二 BE=x3在 R(aBC 中，.A =30 °二 * RBE =2 汇害 x(2 _X)，” X 二1 时RBE(max) = §3. (2013?衢州)【提出问题】R BE(max)AB =2BC =23 23.3/ d2 3x x(x -1)6366(10 )(11 )(12 )(1) 如图1，在等边 ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点 B C),连结A

5、M以AM为边作等边 AMN 连结CN求证：/ ABC=/ ACN【类比探究】(2) 如图2，在等边 ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变，(1)中结论 / ABC=/ ACN还成立吗？请说明理由.【拓展延伸】(3) 如图3，在等腰 ABC中，BA=BC点M是BC上的任意一点(不含端点 B、C),连结AM以AM为边作等 腰厶AMN使顶角/ AMNM ABC连结CN试探究/ ABC与/ ACN的数量关系，并说明理由. AB=AC AM=ANZ BAC=/ MAN=60,/ BAMM CAN在 BAMM CAN中,fAB=AC* ZBAM=ZCAN二AN BAMA CA

6、N( SAS,/ ABC=M ACN(2)解：结论/ ABC=M ACN仍成立. 理由如下： ABC AMN是等边三角形, AB=AC AM=ANM BAC=M MAN=60,/ BAMM CAN在 BAMM CAN中,rAB=AC* ZBAM=ZCANtM=AN BAMA CAN（ SAS,/ ABC=/ ACN（3）解：/ ABC=/ ACN理由如下： BA=BC MA=MN顶角/ ABC=/ AMN底角/ BACK MAN ABCA AMN ；l J匚AM丽又/ BAM=/ BAC-Z MAC / CAN=/ MAN/ MAC/ BAMZ CAN BAMhA CAN Z ABC=Z AC

7、N4. （2013?烟台）已知，点 P是直角三角形 ABC斜边AB上一动点（不与 A, B重合），分别过A, B向直线CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q为斜边AB的中点.(1) 如图1 ,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE/ BF , QE与QF的数量关系式QE=QF ;(2) 如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断 QE与 QF的数量关系，并给予证明；(3) 如图3，当点P在线段BA (或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证 明.解：(1) AE/ BF, QE=QF理由是：如图1,v Q为AB中点， AQ=BQ/ BF丄 CP, AE

8、丄 CP, BF/ AE,Z BFQ=Z AEQ在厶 BFQ和 AEQ中ZBFQZAEQZBQF-ZAQEt BQ 二 AQAE/ BF, QE=QF BFQA AEQ( AAS), QE=Q F 故答案为：(2) QE=QF证明：如图2,延长FQ交AE于D, / AE/ BF,在 FBQ和 DAC中'ZFBQ-ZDAQ AQ二BQlZBQF=ZAQD FBQA DAQ(ASA) , QF=QD/ AE丄 CP, EQ是直角三角形 DEF斜边上的中线， QE=QF=QDl卩 QE=QF/(3) (2)中的结论仍然成立， Z QAD=Z FBQ证明：如图3,延长EQ FB交于D,/ AE

9、/ BF,./ 仁/ D,在厶 AQEM BQD中"Zi=Zd.Z2=Z3，A AQEA BQD(AAS , - QE=QDV BF丄CP, FQ是斜边 DE上的中线， QE=QFAQ=BQ点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS 全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,5. （潍坊市）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为CE F D ,旋转角为.(1)当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角:的值;(2)如图2, G为BC

10、的中点，且o°v v 90°,求证：GDE'D ；构成一个大的长方形 ABEF .现将小长方形 CEFD绕点C顺时针旋转至(3)转角CE CE 答案：(1)/ DC/EF, / DCD =Z CD E=Z CD E=a . sin a =CD' 一 CD a =30°/ G为 BC中点， GC=CE =CE=1D' CG=/ DCG/DCD =90° +a , / DCE =Z D' CE +Z DCD =90° +a , D' CG=/ DCE 又T CD =CD, GCD E ' CD, GD

11、 =E ' D 能.a =135 °或 =315°考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式, 计算、猜想等获得结论综合、推理和探究能力.6.（黑龙江龙东地区）正方形通过操作、观察、.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、ABCD的顶点A在直线 MN上，点0是对角线 ACBD的交点，过点 0作OE! MN于点E,过点B作BF丄MN于点F.（1）如图1，当O B两点均在直线 MN上方时，易证：AF+BF=20E（不需证明）（2） 当正方形A

12、BCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段 AF、BF、 接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.0E之间又有怎样的关系？请直CDEDDXECBB小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，DCD '与 CBD'能否全等？若能，直接写出旋分析： (1)过点B作BGL 0E于G,可得四边形 BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG BF=GE根 据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB/ AOB=90,再根据同角的余角相等求出/ AOEM OBG然 后利用 角角边”证明 AOED OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得 OG=AEOE=BG再根据AF

13、- EF=AE 整理即可得证；(2)选择图2,过点B作BGLOE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG BF=GE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OBZ AOB=90,再根据同角的余角相等求出/ AOEM OBG然后利用 角角边”证明 AOED OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE OE=BG再根据AF- EF=AE整理即可得证；选择图 3同理可证.解答： (1)证明：如图，过点 B作BGLOE于G则四边形BGEF是矩形， EF=BG BF=GE 在正方形 ABCD中 , OA=OB / AOB=90 , / BGL OEO

14、BG：+ BOE=90 , 又/ AOE+Z BOE=9O,AOE2 OBG在 AOE和 OBG中 ,rZAOE-ZOBGZAHO=ZOGB=90",gOB AOEA OBG( AAS , - OG=AE OE=BG / AF- EF=AE EF=BG=OE AE=OG=OEGE=OE BF, AF- OE=O- BF, AF+BF=2OE(2)图 2 结论：AF- BF=2OE 图 3 结论：AF- BF=2OE 对图2证明：过点 B作BGL OE交OE的延长线于 G则四边形 BGEF是矩形， EF=BG BF=GE在正方形 ABCD中 , OA=OB / AOB=90 ,/ BG

15、L OEOBG/ BOE=90 ,又/ AOE/ BOE=90 , / AOE2 OBG在 AOE和 OBG中 ,rZA0E=Z0BG空 ZAEO=Z0GB=90° ,lOA=OB AOEA OBG( AAS , OG=AE OE=BG/ AF- EF=AE EF=BG=OE AE=OG=OE+GE=OE+BF AF- OE=OE+BF AF- BF=2OE若选图3,其证明方法同上.DB点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点.7. ( ?绥化)已知，在 ABC中，/ BA

16、C=90 , / ABC=45 ,点D为直线BC上一动点(点 D不与点B, C重合).以 AD为边做正方形 ADEF,连接CF(1) 如图1 ,当点D在线段BC上时.求证 CF+CD=B；(2) 如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系；(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点 A , F分别在直线BC的两侧，其他条件不变; 请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系； 若正方形ADEF的边长为2近，对角线AE DF相交于点0,连接0C求0C的长度.圉1亂图3证明：(1)vZ BAC=90 ° / ABC=

17、45 ° a/ ACBW ABC=45 , AB=AC 四边形ADEF是正方形,a AD=AF / DAF=90 ,vZ BAD=90-/ DAC / CAF=90/ DAC / BAD玄 CAF, 则在 BAD和 CAF 中，rAB=AC.ZBAD=ZCAF , BADA CAF (SAS , BD=CF v BD+CD=BC CF+CD=B；IAD=AF(2) CF- CD=BC(3) CD- CF=BCD v/ BAC=90 , / ABC=45 ,ACB=Z ABC=45 , AB=AC v 四边形 ADEF是正方形, AD=AF / DAF=90 , v/ BAD=90 -

18、/ BAF, / CAF=90 -/ BAF, / BAD玄 CAF,v 在 BAD和 CAF 中，AB 二AC ZBAD=ZCAFlad=af BADA CAF( SAS , / ACF玄 ABD v/ ABC=45 , / ABD=135 , / ACF玄 ABD=135 , / FCD=90,FCD是直角三角形.v正方形ADE啲边长为2匚且对角线AE DF相交于点 O DF= 一AD=4, 0为 DF中点. 0C= DF=2.2点评：本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键.8. (2013?本溪)在 ABC中，/ ACB=90 ° / Av 4

19、5° °点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边 OE经过点C,另一边OD与AC交于点M(1) 如图 1,当/ a=30°时,求证：mC=aM+bC；(2) 如图2,当/ A老0。时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正 确的结论，并说明理由；(3) 将三角形 ODE绕点O旋转，若直线 OD与直线AC相交于点 M直线OE与直线BC相交于点N,连接MN2 2 2贝U MN=AM+BN成立吗？答: (填成立”或不成立”)EDBCBB图2图咅分析：(1)过A作AF丄AC交CO延长线于F,连接MF,根据相似求出 AF

20、=BC CO=OF求出FM=CM根据勾股定理求出即可；(2) 过A作AF丄AC交CC延长线于F,连接MF,根据相似求出 AF=BC CO=OF求出FM=CM根据勾股定理求 出即可；(3) 结论依然成立.解答：(1)证明：如图1,过A作AF丄AC交CC延长线于F,连接MF,/ACB=90 ° BC/ AF , / BO3A AOF,=丄=,BC OC 0B/ O为 AB 中点，二 OA=O B AF=BC CO=OF/ MOC=9Q OM是 CF的垂直平分线, CM=MF在 Rt amf中，由勾股定理得：mFuaM+afaM+bc2 ,即 mC=aM+bc；(2) 解：还成立，理由是：

21、如图 2,过A作AF丄AC交CO延长线于F ,连接MF/ACB=90 ° BC/ AF ,BO3A AOF =丄=八,BC OC OB/ OA=OB AF=BC CO=OF I / MOC=9Q OM是 CF的垂直平分线, CM=MF在Rt AMF中，由勾股定理得：MFnAM+AFAM+BC2 ,即 mC=aM+bc；(3) 成立.点评： 本题考查了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应 用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好，证明 过程类似.(2013?临沂)如图，矩形 ABCD中 , / ACB=30 ,将一块直角三角板的直角顶点 处，以点P为旋转

22、中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,图2P放在两对角线AC, BD的交点 BC所在的直线相交，交点分别为E, F.(1) 当PE丄AB PF丄BC时，如图1,则'的值为二_;(2) 现将三角板绕点 P逆时针旋转a ( 0°< aV 60 °)角，如图2 ,求里的值；PF(3) 在(2)的基础上继续旋转，当60 °< a<90° °且使AP: PC=1： 2时，如图3,匸的值是否变化？证明你PF的结论.分析:(1)证明 APEA PCF 得 PE=CF 在 Rt PCF中,PEPF(2)如答图1所示，作辅

23、助线，构造直角三角形，证明 PM0A PNF,并利用(1)的结论，求得：，的值;PF(3)如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明 APMhA PCN求得"的值；然后证明 PMEA PNF,PN从而由"求得：I：的值.与(1) (2)问相比较，":的值发生了变化.PF'PN PFPF解：(1)V矩形 ABCD - AB丄 BC PA=PC/ PE丄AB, BC丄AB,. PE/ BC,/ APE=/ PCF； T PF丄 BC, AB丄 BC,. PF/ AB,./ PAE=Z CPF在 APE与厶PCF中，rZPAE=ZCPFPA二 PCt ZA

24、PE=ZPCFc APEA PCF(ASA), - PE=CF 在 Rt PCF中，卩卩二呼=tan30CF PE3 PF(2)如答图1,过点 P作PML AB于点Ml, PN! BC于点N,贝U PM! PN/ PML PN, PE! PF,EPM=/ FPN又/ PME2 PNF=90,PM3A PNF, -二PFPN由(1)知，_2= - , '= 7.PNPF(3)答：变化.证明：如答图2,过点P作PML AB于点 M, PNL BC于点N,贝U PML PN, PM/ BC, PN/ AB./ PM/ BC, PN/ AB,APM=/ PCN / PAMM CPNPM 4P 1 APMh PCN -,得 CN=2PMCN PC 2在 Rt PCN中，二印毛n30 广,；匚CN 2PM3 PN 2/ PML PN, PEL PF,EPM=/ FPN又/ PMEM PNF=90 ,PME PNF,.PE PM_V3BC答图1DB書图2PF PN 2 9. (2013?包头) 交AC于点F.二的值发生变化.PF如图，