平面向量中三点共线

1、平面向量中三点共线定理的应用知识梳理 （一）、对平面内任意的两个向量a,b（b o）,ab的充要条件是：存在唯一的实数使a-b由该定理可以得到平面内三点共线定理：（二）、三点共线定理：在平面中A B P三点共线的充要条件是：对于该平面内 任意一点的0,存在唯一的一对实数x,y使得：OP二xOa呷OB1 d OP = xOA yOB。0特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y0当点P在线段AB之外时，xy :：: 0典例剖析例1、已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足AP = xAB yAC,x.y R，则1 4-的最小值是x y分析：点P落在L ABC的边BC上.B, P,C三点共线T

2、T:A P x A B yx + y=1 且x>0,y>0二-+'=(-一 j4 w-江昴丫(= +4一5x 4x y x yx yx yx yt x>0,y>0二上=0,皎=0 由基本不等式可知：丫 +竺色2 *空=4，取等号x yx y y xy时-=y2 =4x2 .y =： 2x； x0, y 0 y =2x ； xy =1.x 二丄，y 二 Z，符x y33合14所以- 的最小值为9x y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一 起，较综合考查了学生基本功.例2、在厶ABC中,AN= 1NC，点P是BC上的一点，若AP2

3、二 mABAC，贝U实数m的值为(911A.B.511C.311D._211AP故选：b,p,n占八、= mAB ZAC = mAB 2 4AN = mAB 9AN. m E=111 11 11 11例3、在厶ABC中,点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB AC于不同的两点M N,若AB=m AM ，AC = nAN，贝U m+ n的值为:丁因为O是BC的中点，故连接A0如图4,由向量加法的平行四边形法则可1知：.AO (AB AC)2 T T,AB= mAM，AC = nAN1.AO(mAM nAN )2mnTAOAMAN2 2又：'M,O,N三点共线，由平面内三点共线定理可

4、得：岁2* m -2变式、直线I过 ABC啲两条对角线AC与 BD的交点0,与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知AB = m AM , AD 二 n 丽，贝 Un 分析：因为点0两条对角线AC与BD的交点，所以点0为AC的中点1.AO (AB AD)1.AO (mAM nAN )2ADmAM又'：M,O,N三点共线,.由平面内三点共线的向量式定理可得：mn小1. m n = 222例4、点G是厶OAB的重心，P、Q分别是边0A、0B上的动点，且 P、G、Q三点共一 一 11线设OP =xOA , OQ =yOB，证明：是定值;x y证明：；因为G是L OAB的重心，2 11分

5、析：.OG(OA OB) (OA OB)3 23r7OP 二 xOA丄OP二 yOBOB JOQyOG OP OQ3x 3y例5、如图所示，在平行四边形ABCD中,于g点，记忌：,忌b，则心11AE AB , AF AD ,CE 与 BF 相交 -41111 HOG (OA OB) ( OP OQ)3 3 xy111 1又,P,G,Q三点共线，133x 3yx y分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、GB以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。 解：；E,G,C三点共线，.由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得T T*T

6、 T 14 T 呻 4.AG =xAE (1-x)AC , AE ABa, AC = a b33.AG =x a (1x)(a b)=(1 )a (1 x)b332x又；F,G,B三点共线，.由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数，使.aGab(1_.)aF 询启,4 4由两式可得：一4-2x6厂6 J7点评：本题的解法中由两组三点共线（G B以及E,G,C三点在一条直线上）变式 2、在三角形 ABC 中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1： 4,BN 与CM相交于点P,且AB二a , AC二b，试用a、b表示AP解：；N,P,B三点共线，.由平面内三点共线定理可得：存在唯一

7、的一对实数 x,y 使得 AP = xAB yAN ,x y =1ANAC=14,Jb4存在唯一的一对实数- 1 1 -二 AM AB a ,33yy1 xAP 二 xAB AC = xa b = xa b4 4又：C,P,M三点共线，.由平面内三点共线定理可得: 使得AP AM ' AC,-1/ AM : AB=1 : 31 -AP a " 巾 a b331 - lx=-由两式可得：1 -xV3x 二112人=11A y" y諾11“a占11 11练习:1. . QAB，点P在边 则OP =A 1 T 2,A. a b33r T t 彳T 彳AB 上, AB =

8、3AP，设 OA = a, OB = b，)D 21B. a b33d. lb332、平面直角坐标系中，OB，其中a, R且A . 3x+2y-11=0O为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC = aOA + 3 a+3=1，贝U x, y所满足的关系式为(2 2B . (x-1) +(y-2) =5 C. 2x-y=0D . x+2y-5=03.已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足AP =xAB yAC,x.y R，则4、在平行四边形 ABCD中, O是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点，连接 DE交AC?于点 F。已知 AB = a, A

9、D = b ,则 OF 二（）111A . 一a+ b B.(a+ b)364C. ,a+ b)6D. -a+ -b645、（2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为2424a、b，则 AH =()24D._ 5a _5bA . 5a_ 5b B . 5a+ 5b6、（2008年广东卷）在平行四边形 ABCD中,AE的延长线与CD交于点F .若AC = a ,AC与BD交于点O, E是线段OD的中点,BD 二 b，则 7F 二（）A. 1 a 1 b B. ? a 1 b42337、在平行四边形ABCD 中,AMAB穿34i,CE与BF相交于点G,记尙=a