序列相关检验

1、第八章序列相关检验在回归分析方法中，还有一个重要的假设条件是假设回归模型中的随机项J i是独立的或不相关的，即Cov(叫j)=0，i = j， j =1,2, n。显然这个假设是对复杂客观经济现象高度抽象的简化，实际上任何前后期的经济变量总是相互关联的。因此，在实际问题的分析中，常常出现与此假设相违背的情况是不奇怪的。如果叫，m)之间存在相关性，贝u称为序列相关，亦即Co Vj) = 0 , i = j 。8 1、随机项序列相关的性质一般来说，在以时间序列数据作样本时，由于经济变量的基本特点，出现序 列相关是十分正常的。但需要注意地是，序列相关有真实与虚假之分。如果是由 于模型中省略了某些重要

2、的解释变量而引起的序列相关，或者由于模型的数学形 式可能有误而造成的序列相关，就属于虚假序列相关。因此，解决虚假序列相关， 首先必须弄清其具体原因，修改模型变量的选择或改正模型形式设定方面的错 误。而对于真实的序列相关问题，贝U要专门讨论其解决方法。下面具体讨论：一般地，如果随机项Jt只与前一期的值有关，即7 二 f (7)则称之为一阶自回归形式或一阶马尔可夫过程。如果 A不仅与前期值有关，而 且与它的前n期均有关，则称之为高阶自回归形式。这时的序列相关的一般形式 可写成下面我们主要讨论一阶自回归的形式H Vt这里的P是自相关系数，且有円1，如果ph则称之为正序列相关，P0则称之 为负序列相关

3、。而Vt是随机变量，且满足假设2 2E(vJ =0,E(Vt ) “V ,E(VNs) =0,t/ 卩=PA 十V 卩=PA +V 卩=py+Vtt 斗tdt-2 vt, t*t* 斗由此我们有23r叫=vt Vt亠；'vtN亠；'vtg亠亠：'V又因为|Pj勺，所以当T比时，PljT 0，而上式就是一阶线性自回归形式随机项的表达式，同时表明如果Vt是有界的，则上式是收敛的。我们来看看，随机项的一阶自回归形式，到底破坏了那些假设：E(7) =E()八一rE(Vj) =0r z0r z0由此没有破坏假设E(7)=0，还有2VaZ =ELt) = EC J)2 八* E(v

4、-)2由此也没有破坏假设Va()=；2。最后由 Co V "t J = E(7，t)而已矢口Jt二 vt;?vt 4;?2vt3vt；亠亠；'rvtJtj =Vtj t ;?2Vt :?3Vt- ;?rVt_rJ "所以有Co« 怙)二 E(f ) = E(vt)(Vt_ r, )1同样，类似地可得到Co«)= d2,因此，一般说来有Co(vJt J 二宀2，s = 0由此，我们可知，随机项的序列相关破坏了一般线性回归模型的一个基本假 设，即或Yi具有独立性假设，或者它们的协方差为零的假设。8 2、随机项序列相关的后果如果把最小二乘法用于随机项有

5、序列相关的回归模型， 那么将产生三种主要 后果：第一，尽管所得的估计值仍是无偏的，但这时其估计值的方差大小可能非常 不同于其真实的方差（下面的讨论以 ¥二二-Xi为例）。估计值仍是无偏性的证明:厂竺口送 x2iz x2i取其期望值便得到p +弓XE(片)Z x2i对于:?同样有类似的结果。下面来讨论估计值?的方差情况:Var(?) =E(? '-)2 =eC 笃')2 =( 1 2)2E(xr - xr )2Z x i 送 Xj=(乙)%2 叫2 X2222 Xn2n2Xg)、XjXi_Z Xj2E（叫2）公XjXjr x2i)2E(Tj)显然，当»无序列相

6、关时，ELj） =0,i = j，所以这时有Var( ?)=然而，如果Ji为一阶自回归形式时，并利用第一节的结果，就有Var( ?)=2XiXjCXi2)2从上式可清楚看出，随机项有无序列相关，估计值的方差是大不相同的。特别是, 如果'为正，且X值的前后期也为正相关时，上式的第二项则为正，这时的方 差将明显大于随机项无序列相关时的方差。 因此，这时仍用最小二乘法得到的参 数估计值的方差，将比其真实的方差低得多。另一方面，如果，为负，且s为奇数，X值的前后期为正相关时；或者'为 正，但X值的前后期为负相关时，上式的第二项则为负，这时最小二乘法所得 到的估计值的方差，将比真实的方差

7、高得多。当然这后两种情况相对来说较为特 殊，并不常见。第二，当随机项是序列相关时，且 X值的前后期也是正相关时，对 叫的方 差低估将更加严重。这里仅讨论一元回归模型的情形，假设Y 二G + 0Xj+ 片且片=P4t_L +Vt那么我们可以证明：rn An_2、E XtXt*Z XtXqEC,2)".；2 n_2_(2( 2-2- 厂.2rn_XlX)|Z xtZ xtZ xt |而前面我们已知道，当 叫无序列相关时有2OEC et )(n _2)亦即：?2et (n _2)是一个无偏估计由此我们看出，当 叫和X均为正自相关时，OLS可能严重低估了叫的方差。而一般来说，多数经济变量的前

8、后期是正相关的，所以此时利用OLS方法往往会低估随机项的方差，其后果将直接造成显著性检验和有关检验的失效或失 败。例如，由于估计值的标准差变小，那么在检验参数的显著性时，实际计算的 t统计量值增大，从而拒绝零假设 H。的可能性增加，亦即接受 出假设的可能性 增大。这就失去了显著性检验的意义。类似的情况在F检验走也会产生。因此，从理论上讲，如随机项存在序列相关，则不能应用t统计量和F统计量进行检验。第三，由于上述两点可知，如果随机项存在序列相关，那么根据最小二乘法 得到的回归模型用于预测，预测值将失效。8 3、序列相关检验由于序列相关的形式是十分复杂的，因而其检验的方法也是多种多样的，其 中应用

9、较多的方法有：图示检验法、回归检验法、DW检验法等。1、图示检验法。绘制随机项的估计值et,et斗ii散点图：即1a0 , e2 , en 2 , en 斗e2 ,e3,，ei J,en如果大部分点落在第一、三象限，那么表明 et, et j是正相关的。如果大部分点落在第、四象限，则et,et 是负相关的（如图所示）2、回归检验法。此方法的基本思路是：先应用 ols估计回归模型，并求出 叫的估计值e，然后以e为被解释变量，猜想以各种可能的相关量或相关形式，例如与e,e2.或同时与eje,，等作为解释变量，分别进行线性回归,例如，试着建立模型e = %e_i Ze = Set-vie = P?e

10、+卩3匚+w然后对各种回归模型进行统计检验，选择显著最优的拟合形式作为序列相关 的具体形式。这种方法的优点是，当确定了序列相关性存在时，也就确定了其序 列相关的数学形式，并且此方法适合任何形式的序列相关检验。当然其缺点是， 实际上序列相关的数学形式是十分不易确定的，除特殊情况外，此方法的工作量较大。3、D W检验法。一般来说，DW检验法只对一阶自回归形式序列相关的检验有效， 同时也适 合小样本的情况。一阶自回归序列相关形式：2 2E(vJ =0疋山)乂v ,E(v“)=O,t = s构造假设H。： 0H1- 0DWn(ei -4)2nz2ei为了检验上述假设，构造一统计量 DW，即2 2(ei

11、 - 2$" e 站)ei2i 3通过数学证明有如下结论:DW=O时，表明存在完全的一阶正相关;:-1, -2eieij - -2qDW=2时，表明不存在序列相关;DW=4时，表明存在完全的一阶负相关。P = -1t 2点$_1 = 2©可见，DW的取值范围为0乞DW乞4。根据实际情况，一般说来，DW值正好为2，0或4的情况极少，而是多介 于这些值之间，这就有进行显著性检验的必要， DW检验的基本过程是：根据样 本的容量n,随机变量的个数k和显著性水平，然后查阅DW分布表，就可得到 临界值dl和du，由此我们可以根据下列标准进行判断：0 DW dldl DW du du D

12、W 4-du 4-du DW 4dl 4-dl DW 4存在正序列相关 不能确定 无序列相关 不能确定存在负序列相关可将上述标准用图形来表示:DW检验的局限性：(1) 它不适合用于随机项具有高阶序列相关的检验；(2) DW检验有两个区间不能作出判断；(3) 对于利用滞后解释变量的回归模型，该检验失效8 4、存在序列相关时的估计方法对于存在真实序列相关的计量经济学模型，其参数估计不能直接采用OLS, 一般解决的基本思路是：变换原始数据，使得变换后的数据为样本的新模型满足 基本假设。设 ¥ =X+讥7二"t 4 必其中vt满足基本假设条件因为则有Y PYi=© Pa）+B（Xi-XiJ+（出-巴JSmE（Xi 一 儿） Vj或者FYi - ：Xvi这样通过变换，上式就满足 OLS的基本假设条件，特别地，如果则上式变为最简单的形式Y Yi= P（Xi -Xi）+Vi上式又称之为一阶差分法，即以增量数据