培训体系暑假赛前培训教师版

1、2010 年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析( 3)姓名壹、准确填空：1.果品公司购进苹果 5.2 万千克，每千克进价是 0.98 元，付运费等开支 1840 元， 预计损耗为 1%.如果希望全部进货销售后能获利 17% ，问：每千克苹果零售价应 当定为元?解：全部进货所需费用： 0.98 ×52000 184050960184052800( 元) 能销售的总量： 52000 ×(1-1%) 52000 ×99% 51480( 千克) 设每千克苹果零售价应当定为 x 元，则52800 ×(1+17%) x×51480x=52800 ×

2、1.1751480x=1.2答：每千克苹果零售价应当定为 1.2 元.2.计算： 19+199+1999+ +=?解：19+199+1999+ +(20-1)+(200-1)+(2000-1)+(-1)20+200+2000+ +-0-199920221 评注：像上例那样，加减运算时，常采用凑整的方法使运算简便，有时，加减运算仍可采用其他方法，使运算简便 .如：计算： (2000-1)+(1999-2)+(1998-3)+(1002-999)+(1001-1000) ?解法壹： 先把每个小括号内的结果算出来， 所得的差分别是 1999 、1997 、1995 、3、1 ，可按求连续奇数的和，求

3、出算式的结果 .原式 1999+1997+1995+ +3+1 (1999+1) ×高斯求和公式 2000 ×10001 1000000或原式 1999+1997+1995+ +3+1从 1 开始若干个连续奇数和等于奇数个数的平方 1000000解法二：先把所有的小括号去掉，然后利用加法交换律，减法的运算性质进行计算 .原式 2000-1+1999-2+1998-3+1002-999+1001-1000 (2000+1999+1998+ +1002+1001)-(1+2+3+999+1000) (2000+1001) ×-(1+1000) ×3001 &

4、#215;500-1001 ×500 高斯求和的方法 (3001-1001) ×5002000 ×500 1000000当然，进行分数加减时，需考虑分母的特征，选择恰当的方法进行计算 . 总之，进行加减计算，究竟采用什么办法，需要依据题目的特征，具体问题具体分析 .二、谨慎推理：3某商贸服务公司，为客户出售货物收取3% 的服务费，代客户购置物品收取2%服务费 .今有壹客户委托该公司出售自产的某种物品且代为购置新设备.已知该公司共扣取了客户服务费 264 元，而客户恰好收支平衡，问：所购置的新设备花 费了多少元 ?解：为简洁壹些，用字母代表出售货物的钱，用字母代表购

5、置设备的钱，根据题 意，该公司共扣取了客户服务费 264 元 ,列出关系式：×3%+ ×2% 264(元).又根据题意，“客户恰好收支平衡” ，即×(1-3%) + ×2%，×(1+2%)1-3% ，所以×(1+2%)1-3% ×3%+ ×2%264( 元)，也就是×(1+2%) ×3%+ ×2% ×(1-3%)264 ×(1-3%)( 元)，×(1+2%) ×3%+2% ×(1-3%) 264 ×(1-3%)( 元)因此，2

6、64 ×(1-3%)(1+2%) ×3%+2% ×(1-3%)264 ×97%1.02 ×3%+0.97 ×2%264 ×973.06+1.94256085 5121.6( 元 )答： 所购置的新设备花费了 5121.6 元.4 壹列数，前 3 个是 1 ，9，9 ，以后每个均是它前面相邻 3 个数字之和除以 3所得的余数，求：这列数中的第 1999 个数是几 ?解：根据题意，写出这列数的壹部分， 1，9，9，1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0，1，1，2.能够见出，除了前 3 项 1 ，9，9，这个数列每隔

7、 13 项(1，1，2 ，1，1，1， 0 ，2 ，0 ，2 ，1 ，0，0)循环壹次，所以，这列数中的第 1999 个数是几，关键是 见 1999 个数中除前 3 个以外，每 13 个数循环壹次，循环若干次后的余数 .(1999-3) ÷13 1996 ÷13153 7 也就是说，这列数中的第 1999 个数，正好是按 1，1 ，2，1，1，1，0 ，2， 0，2，1，0，0 这样的顺序每 13 个数循环壹次，总共循环了第 153 次后，第 154 次循环开始的第 7 个数，正好是 0.答： 这列数中的第 1999 个数是 0.三、急中生智：5.将 1 9 这九个数字填入

8、图 7-7 的 9 个圆圈中， 使每个三角形和每条直线上的 3 个数字之和相等 (写出壹个答案即可 ).解答： 根据题意，将 19 这九个数字填入 9 个圆圈中， 正好将 19 这九个数字的和平均分成 三组，因此能够求得每个三角形和每条直线上的3 个数字之和：(1+2+3+ +8+9) ÷345 ÷315按题目要求，图 7-7 共有六祖数，用了 18 个数字，每个数字使用了 2 次。 相当于将 1 9 这九个数字分为 3 组，每组数字和是 15 ，有俩种不同的分法当下分配如下：第壹种：（1，6，8），（2，4，9），（3，5,7） 第二种：（1，5，9），（2,6,7）,（

9、3,4,8） 将第壹种分法的三组数放于三条线段 上，第二种的三组数自然就被确定于三个 三角形上（见图 7-7a ）.类似，将第二种分 法的三组数放于三条线段上，第壹种的三 组数自然就被确定于三个三角形上（见图 7-7b ）所以，如果不计较三个三角形和三条直 线的相互位置，那么图 7-7a 和图 7-7b 则 是仅有的俩种填法 .评注：解答填数问题，除了首先找出平均数外，有时仍需要于不止壹个的答案中，选择符合题目要求的答案 .如 :于壹个由六个圆圈组成的三角形里，把 10 到 15 这 6 个数分别填入图 7-8 的圆圈中，要求 三角形的每条边上的三个数的和 S 均相等，那么 S 的最大值是多少

10、？ .解答：根据题意， 10 到 15 这 6 个数的和是 75，而其中有三个数被加了俩次， 为使三角形的每条边上的三个数的和 S不仅相等，且 S 的值最大，那么被加了俩次的 3 个数应是 13 、14 、15 ，所以，三角形的每条边上的三个数的和是：（75+13+14+15） ÷3117 ÷3 39这就是说，三个较大的数 （被加了俩次的数 ） 应分别填入三角形的三个顶点上 （图 7-8a）.图 7-8a6.如图 7-9 ，于壹个正方体的俩对侧面的中心各打通壹个长方体的洞，于上下侧 面的中心打通壹个圆柱形的洞 .已知正方体棱长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长 为 4 厘米

11、的正方形，上下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求图示立体的表面积 和体积 .（ 取3.14）解：根据题意， 所求图形的表面积和体积， 均和 被挖去的部分有关。根据题意，所求图形表面积由俩部分组成： 外侧表面积和内侧表面积 .外侧表面积， 实际上是原来大正方体的表面 积，除去四个边长为 4 厘米的正方形的面积，再 除去俩个直径为 4 厘米的圆的面积 （见图 7-9）. 即图 7-910 ×10 ×6-4 ×4×4- ××2 600-64-25.12510.88（ 平方厘米 ） 而内侧表面积是被挖去 部分的表面积， 除去俩个直径 为 4

12、 厘米的圆面积， 再除去四 个边长为 4 厘米的正方形面积（见图 7-9a）. 即192+6.88+75.36 274.24( 平方厘米 )因此，所求图形的表面积： 274.24+510.88 785.12（ 平方厘米 ） 结合图示，所求图形的体积等于原来大正方体的体积减去被挖去部分的体积 原正方体的体积是 10 ×10 ×10 1000（ 立方厘米 ）， 被挖去部分的体积（见图 7-9b ）：(4 × 4× 3) × 4+4 × 4× 4+×-4)×÷ 2(×10 2192+64+7

13、5.36331.36（ 立方厘米 ）.因此，所求 图形的体积： 1000-331.36 668.64（ 立 方 厘米）.答：所求立体的表面积是 785.12 平方厘米，体积是 668.64 立方厘米 .四、规律探求：7 是自然数，且，求的最小值 . 解答：问题相当于求最小的，使能被 17整除。由于 9和17 是互质的，问题又转 化为相当于求最小的，使得能被 17 整除。大家知道：壹个小数被 10 乘过之后，就等于将原小数的小数点向右移壹位 .将上 面那个循环小数记作，于是，其中将中的小数点向右移 n 位.由此可见，如果 b 是正整数，必须而且只须 n 是的循环节中所含数字的个数的倍数，即 n1

14、6k ，k 1，2，.当 k1 时，有最小的 n16 ，因此， ,于是8 对壹个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2；如果是奇数则加 1，如此进行直到为 1，操作停止 .求经过 9 次操作变为 1 的数有多少个 ? 解：设给出壹个自然数，按照题目中指定的操作，能够经过 9 次操作，作出以下 10 个自然数： .已知，有多少个自然数按题目的操作得到1 ？只能是 2 ；，这时有多少个自然数按题 目的操作得到 2，显然，俩种可能和 1； 再倒推壹次，有三种可能： 2，3 ，8，依 次计算，画出树形图（图 7-12 ）。做过第 k 步之后，设是为的偶数的个数，是奇数的个数 （ 0，1，2，9）， 如

15、由图 712 所示，：由操作方法可知：对于偶数，有和依照题目操作能够得到 这个偶数；对于奇数，就仅有壹个数依照题目操作能够得到这个奇数。所以： 依上述规律，列出下表：偶数个数0112358132134奇数个数101123581321答： 经过 9 次操作后变为 1 的数有 55 个.五、小试牛刀：9. 已知为自然数，是 100 的倍数，求的最小值 . 解：因为 100 整除， 100 4×25，.，否则，就不能被 25 整除，可见。这时候，若有最小的使被 25 整除，则有最 小的使是 100 的倍数。能够取尽可能的小，所以，为表达简洁壹些，下面的式子 评注：表示 2 被 5 除的余数

16、是 2 ；表示被 5 除的余数是 4 ；表示被 5 除的余数是 3 ；表示被 5 除的余数是 1 ；这时候若且且； 且且时，则有被 5 整除余 1，应当被 5 整除。所以能够计算： (注意) 当且且时，当， 50，不是 25 的倍数；当， 65，不是 25 的倍数；当， 1025 ，是 25 的倍数；此时其余的情况， 且且时， 15，不是 25 的倍数； 其余的情况， .答：使得 100 整除的最小的的值是 13. 评注：解题过程应用了同余的性质，请参考“华罗庚金杯”少年数学邀请赛培训课件中第三 篇。10. 若 1998 个小朋友围成壹圈，从某人开始，逆时针方向报数，从 1 报到 64 ， 再

17、依次从 1 报到 64 ，壹直报下去，直到每个报过 10 次为止，问：(1)有没有报过 5，又报过 10 的人?有多少 ?说明理由； (2)有没有报过 5，又报过 11 的人?有多少?说明理由 .解答： 做带余除法：，余数是 14 。这个余数表明，如果某个小朋友于第轮报数中报 的数是，那么，于第轮中报的数是则或者（如果） ，和有相同的奇偶性，说明 同某个小朋友所报的数或者均是偶数，或者均是奇数。所以没有壹个小朋友 既报过 5 ，又报过 10 ； 某个小朋友第壹次报 5 后，经过第轮所报的数是：被 64 除的余数。例如：第2 次报数时，这名小朋友报的数是，不难计算出，当时， ，这名小朋友报的数

18、是 11 ； 前面第说明第 1轮报数为 5，则于第 6轮报 11，,第5轮报数为 5则于第 10 轮报 11 。所以于 10 轮报数中只有前 5 轮报 5 的小朋友，才有机会报 数 11 。所以：上式说明于前 5 轮报数中共有 157 名小朋友报 5, 即于 10 论报数中共有 197 名小朋友报过 5 又报过 11.六、大题小做：图 7-1311. 于三角形 ABC 中，D，E是BC边上的点， BDAB， CEAC，又DAE13BAC，求BAC 的度数（图 7-13）. 解： ABD ，AEC 是俩个等腰三角形，ADB BAD ，AECCAE，所以， CAE+ BAD+ EAD BAC+2 EAD53BAC180 °，即BAC108 °.答：BAC 的度数是 108 0.12若 152 个球，放入若干个同样的箱子中， 壹个箱子最少放 10 个，最多放 20