高三第一轮复习(七)等差与等比数列

1、 09年高考第一轮总复习 一等差和等比数列授课人：张胜利一巩固双基1等差数列（1）定义：an+1-an=d(常数d为公差)；推广：an=am+(n-m)d（2）通项公式：an=a1+(n-1)d； 前n项和公式：Sn=na1+d（3）等差数列an的一些性质：1) 对于任意正整数n>1，有2an=an-1+an+12) 对于任意正整数p、q、r、s，如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as3) a2n，a2n-1，a3n，a3n-1，a3n-2等都是等差数列4) S3m=3（S2m-Sm）5) 若Sn=Sm(mn)，则Sm+n=06) 若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=-(p+q)(

2、pq)7) Sn=an2+bn，反之亦成立2. 等比数列 （1）定义：=q(常数q为公比) ；推广：an=am·qn-m（2）通项公式：an=a1qn-1；前n项和公式Sn= （3）等比数列an的一些性质：1) 对任意正整数n>1，有an2=an-1·an+12) 对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap·aq=ar·as3) a2n，a2n-1，a3n-1，a3n-2，a3n等都是等比数列4) 已知bn是等比数列，则anbn也是等比数列5) 如果an>0，则logaan是等差数列；反之logaan成等比数列，则an成等比

3、数列例1（1）“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a、b、c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a、b、c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（3）设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A.1B.2C.4D.6解答：（1）A； （2）B例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。解1：设四个数依次为a-d,a,a+d,；由条件有当a=4,d=4时，所求四个数为0，4，

4、8，16；当a=9,d=-6时，所求四个数15，9，3，1解2：设四个数依次为-a,a,aq(a0)；由条件有当q=2,a=8时，所求四个数为0，4，8，16；当q=,a=3时，所求四个数为15，9，3，1解3：设四个数依次为x,y,12-y,16-x；由条件有故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1例3数列an满足a1=2，对于任意的nN*都有an0，且(n+1)an2+an·an+1nan+12=0，求an及其前n项和Sn解：可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，例4数列an中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求数列an的通项公式；

5、(2)设Sn=a1+a2+an，求Sn;解：(1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差数列， d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，当n5时，Sn=n2+9n，当n5时，Sn=n29n+40，故Sn=练习1. （1）在等比数列an中，a28，a564，则公比q为（ ）A2 B3 C4 D8（2）设等差数列an的前n项和为，若，则（）A63 B45 C36 D27答案：（1）A （2）B练习2. 已知数列an为等差数列，公差d0，其中，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn。解： a1，a5，a17成等比数列 a5

6、2=a1a17（a1+4d）2=a1(a1+16d) a1=2d设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中：在等比数列中： 3数列的前n项和Sn（1）（2）数列求和倒序相加法数列项之和有一定的对称性。错位相减法由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成的数列。并项求和法把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。裂项求和法an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项；如：=-，n·n！=(n+1)!-n!， =-等。公式法求和12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=n2(n+1)2例5设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；

7、（）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得，例6. 求和：1+=_答案：裂项，二训练提升例7设an是公差为1的等差数列，若a1a2a3a30=600，则a3a6a9a30= 答案：210例8设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列an的前3项;(2)求数列an的通项公式.解：(1) 由题意有，可解得前3项为2，6，10.（2）解法一：由已知得，Sn=(an+2)2，Sn+1=(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2， (an+1+an）(

8、an+1an4)=0，an+1an=4，故an=4n2.解法二：由已知得，得，整理得Sn+12+2Sn=0，解得，所以=n，Sn=2n2，故an=，即an=4n2 .练习3. 一个含有7项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等比数列，所有奇数位置的项之和减去第2项与第6项之积所得的差是42，又首项、末项、中间项之和为27，求第4项。解：设这7个数为：a1、a2、a3、a7，则a1 、a3、a5、a7成等差数列，a2、a4、a6成等比数列，依题意有： 解、得：a4=-4或a4=2。例9已知an=(nN)，求数列an的最大项。答案：由单调性，最大项为a12= a13=。例10

9、已知a>0且a1，数列an是首项、公比都为a的等比数列，令bn=anlgan(nN)。（1）当a=2时，求数列bn的前n项之和；（2）当a=时，数列bn中从第几项开始每一项总小于它后面的项。解：（1）依题有an=an,bn=nanlga。Sn=(1+2a+3a2+nan-1)·alga,可求得Sn=1-(1+n-na)·an当a=2时，Sn=21+(n-1)·2nlg2。（2）令bk+1>bk,（kN），则bk+1-bk=(k+1)·（）k-1·lg-k·()k·lg=()k·(-k)·lg,（）k>0