微积分重要公式

1、第一讲函数、极限与连续重要公式与结论一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系1设f(x)是可导的偶函数，则f (x)为奇函数，且f (0)=0 ；设f(x)是可导的奇函数，则f(x)为偶函数。2. 设f (x)连续：如f(x)为偶函数，则.f(t)dt为奇函数；如f(x)为奇函x数，则对任意的a，0 f(t)dt为偶函数。3. 设f (x)在a, a上连续，则a f(x)dx= 2：f(x)dx, f(x)为偶函数,J0, f (x)为奇函数，4可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。5设f(x)是以T为周期的连续函数，则a TT-a f(x)dx = f (x)dx= E f (x)dx,_

2、2nTTo f(x)dx= n° f(x)dx.二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系1. lim f(x)二 A：= lim f(x) = lim f (x)二 A.X %xxx 氏一2. lim f (x)二 A= lim f (x)二 lim f (x)二 A.xxx .3m f(x)二 A= lim f (x) = A.4. 设 limxn=x0,lim f(x)=A,则 lim f(xn) = lim f(x)=A.x5x0x-x。评注由结论3, 4知可利用函数极限求数列极限。三、连续的隐含条件如题中给了连续条件，应充分利用以下结论：1.设 f(x)在 Xo 处连续，

3、则 f(x°) = lim f(x).JXo2设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积，且可构造f (x)的原函 数行(忖MxMb)，对f (x)在a,b上可应用最值、介值、零点定理。四、两个重要极限的一般形式1. 设 a(x) r 0，贝卩 lim sin a(x) =1.a(x)2. 设 f (x) - 1，贝Slim f(x)g(x) =elimg(x)lnf(x) =elimg(x)f(x)J(因为 In f (x) =ln1 f (x) 一 1 f (x) -1 )。五、无穷小量与界变量之积为无穷小量特例：设 f(x) 0,g(x)_. ',则lim f

4、(x)sing(x)=lim f (x)cosg(x) = lim f (x)arctang(x)=lim f (x)arccot g(x) = 0.六、极限存在准则及性质1. 单调有界数列必有极限。2. 夹逼准则：设在X。的某空心邻域内(或当|x| X时)，有g(x)乞 f(x)空 h(x)，且lim g(x)二 lim h(x)二 Ax xoX 谈0(x 门(x 门，贝y lim f (x)二 A.(x >=)3. 极限的局部保号性与有界性：设lim f (x) = A.,(1) 则存在X。的某空心邻域，使得在该邻域内f(x)有界；(2) 如果A >0 (或AC0),贝y存在X

5、。的某空心邻域，使得在此邻域内有 f(x) 0 (或 f(x) ：0);(3) 如果在X0的某空心邻域内有f(x)兰0或(f(x)兰0 ),则A0 (或AM )；(4) limf(x)二 A= 无穷小量 a(x)，使 f(x)二 A a(x).七、无穷小量的等价替换1若 a a , : :;且lim 具 =A，贝卩aalim =二 lim A. pp'2. 常见的等价无穷小：设a(x)-； 0，则a (x)sin a(x) tan a(x) arctan a(x) arcsin a(x) e -1 1 n1 a(x) a(x);3. 12k/1 -cosa(x) a(x) ,1a(x)

6、 -1ka(x) ( k 0).2八、常见的极限不存在的函数1. 无穷大量是极限不存在的一种形式。2. 设a(x)-；心，则下列函数的极限不存在：sin a(x)， cosa(x)， ea(x)， arctana(x)， arc cota(x).此时应注意利用无穷小量乘有界变量仍为无穷小量以及左右极限等进行讨论九、几个常用极限Qi叮a十0).2. lim n、n = 1.n ：:3. lim xx =1.x 0 5. lim xx =1.x n7. lim arctanx 二.x)二29. lim arctanx =0.4. lim xx 二 0.x 0 6. lim xx =0.x 0 JI

7、8. lim arctan x 二-一 x一：210. lim arctanx =二.x->-=C第二讲导数与微分重要公式与结论一、导数定义与极限的联系1. 设 f (xo)存在，如果 limu(x)=O，则 lim = f (x°);u(x)女口果 lim u(x) =x0，贝卩 lim f(U(x) f(xo) = f (x0).u(x) - Xo2. 设f (x)在x =x°处连续，则lim f (x)二 Au f (x0) = 0, f (x0) = A;x 为 x - x0lim f (X)k = A(kf (x°) =0, f (x°)

8、 =0;x %(X -X0)lim=A = 0(0 ：k ：1)= f(x0) =0, f (x0)不存在.x x (x -x。)二、可导、可微、连续及极限的关系可导=可微=连续 =lim f (x) = f (x0).三、导数的几何意义切线方程：y - f (x°) =(X0)(X -X0).法线方程：y-f(X0)= -( - )(X-X0).f (X0)特别地，如f (x°) =0，切线方程为：y = f(x°).;法线方程为：x = x°。如f (x°)，切线方程为：X=X0 ；法线方程为：y = f(X0)。四、奇偶函数、周期函数的导

9、数1. 可导偶函数的导函数为奇函数。特别地，设f(x)为偶函数，且f (0)存在，则f (0) =0。2可导奇函数的导函数为偶函数。3可导周期函数的导函数仍为同周期函数。特别地，设 f(x T)=f(x),f(X0)存在，则 f(X。T)= f(X。).五、f (xo)二 A f (x。)= f_(x。)= A六、含绝对值函数的可导性1. 设lim g(x)存在，且g(x0)有定义，则g(x)|x-x01在x0处可导。X一。2. 设 f (xo) -0，f (xo)存在，则 |f(x)|在X。处可导=f (X0)=O。七、高阶导数公式1.设函数u=u(x)， - - (x)在点x处有n阶导数，

10、贝y(1)(u±5(n)= u(% + nu(2s + n(n_1)+ n(n_ 1厂(n_k+1)u(n)u(k) 2k!-u (n).2基本初等函数的n阶导数公式。(1) (xn)(n)川,(2) (eaxb)(naneax b , (ax)(naxlnna.sin( ax b)(n) = an sin(ax bn );(3)xcos( ax b)(n)= an cos(ax bn * ).x(4)1ax b(n)an n!(ax b)n 1ln( ax b)(n)= (T)nj an .(n _1)!(ax b)n第四讲一元函数积分学重要公式与结论、奇偶函数、周期函数的积分1设

11、f(X)连续,x如f (x)为偶(奇)函数，则0 f(t)dt为奇(偶)函数;:f(t)dt为偶函数。如f(x)为奇函数，则对任意a，f(t)dt为偶函数。2.设f (x)在a, a上连续，则aaf (x)dx = 0 f(x)f (-x)dx 二2 f (x)dx, .°，若f (x)为偶函数, 若f (x)为奇函数.3设f(x)是以T为周期的连续函数，则a f (x)dx = f (x)dx =仟 f (x)dx ,特别地有a |sinx|dx = pnTTo f(x)dx 二 n o f(x)dx 。Ttsin xdx 二 2,a 二二a |cosx|dx 二 ° |

12、cosx|dx = 2.二、利用积分定义求n项和的极限设f(x)连续，则nlim f (ak生nr： nFk)abf(x)dx，. k1>:n 心nim' f ()二 0 f (x)dx nn0三、定积分的不等式性质、f ,bb1. 设 f (x)， g(x)在a,b上连续，且 f(x)兰 g(x)，则 f f (x)d f g(x)dx.aa2. 设 f(x)在a,b上连续，则 |f (x)dxf(x)|dx.aa3. 设 f (x)， g(x)在a,b上连续，则(f(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx.""aLaLa4. 设f (x)在a,b

13、上连续，且f(x)AO，但不恒等于零，贝卩ff(x)dxO.a注：以上不等式必须有条件b a，如b：a，则不等号反向。四、积分中值定理1. 设 f(x)在a,b上连续，则吐 Ea,b使 f f (x)dx = f &)(b a).注：a,b可改为-(a,b)。2. 设f (x)在a,b上连续，g(x)在a,b上可积且不变号，则 a,b，使bba f (x)g(x)dx= f( ) ag(x)dx.五、变限积分rx一 xn1若 f(x)在a,b上连续，则 f f(t)dt可导，且 f(t)dt = f(x).ua右, x2.若 f (x)在a,b上可积，则.f(t)dt在a,b上连续。a

14、3若f (x)连续,a(x)， b(x)可导，则b(x)a(x)f(t)dt =fb(x)b(x)-fa(x)a(x).对于一般情形b(X)g(x)h(t) f (x,t)dt，先把g(x)提到积分号外，再令 a(x)(x,t)，从而将积分化为被积函数不含变量x的变限积分，最后再求导。第六讲多元函数积分学重要公式与结论一、二重积分的性质1. 线性运算性质：Jkifd, y)k2g(x, y)d二二 k“. . f (x, y)d； k?. . g(x,y)d：DD2. 积分可加性:I id f (x, y)d f (x, y)d' 亠 i i f (x, y)d二，其中 D = Di

15、D?，DiD2而且Di与D2除边界外没有其他公共点。3积分中值定理：设函数f (x, y)在闭区域D上连续，二表示D的面积,则在D上至少存f(x,y)此=f(,)-.D二、二重积分的对称性1. 若D关于x轴对称，则'0,当 f (x,_y) = f (x, y)时,仃 f (x, y)d口 = 2 f f (x, y)d<j,当f (x,_y) = f (x, y)时， D 其中Di为D的上半平面部分。2. 若D关于y轴对称，则.f(x,y)d二D0,=2. . f(x,y)d；,.D2当f (-x,y) = -f(x, y)时,当f (-x,y)二 f (x, y)时,其中D2

16、为D的右半平面部分3轮换对换性：若x,y互换后区域D不变(即区域D关于直线y 称)，则1f(x,y)dxdy 二 f (y,x)dxd !. f (x,y) f(y,x)d；.DD2 D第七讲无穷级数重要公式与结论n1对于级数7 Un，令Sn八Uk表示其部分和数列，则n¥k#(1)若v Un收敛，则a Unn mn0 ；(2)若呵一 Un=O，或该极限不存在，则7 Un发散nn#2. 设a,b都是非零常数，则有:(1)若J Un与 n都收敛,nJng则'(aUn bn)也收敛; n 4(2)QO若un -1中一个收敛，另一个发散，则、'(aUn b n)发散;n 二(

17、3)QO与jn 4都发散，则7 (aUn bn)的敛散性不确定。nA3.设lim |nCUn 1Un| (或= limn|Un|)。如果1，则 im |Un|：oO，且 7 Unn占和|Un|都发散。n 44.( 1)若幕级数v an(x-Xo)n在Xi处收敛,则对任何满足|x-Xo|：|Xi -Xo| n =Q的X，二an(x-x°)n绝对收敛; n =0(2)若幕级数v an(x-Xo)n在X1处发散，则对任何满足|x-Xo| |X1-Xo|的 n=0qQx，v an (x -x0)n发散。n =05. 幕级数的变换公式。(1) 设J anXn的收敛域为I1，其和函数为S( X)

18、，设f(x)是定义在R上n =0qQ的一个已知函数，则7 an(f(x)n的收敛域为12X R : f(x)，且其 n=0和函数为S(f(x)；(2) 最常用的变换是f (x) =(x-x°)k，其中k为某个正常数。6. 对于任意项级数Un，若；'|Un|发散，且是由比值或根值判别法判nn定的，则J Un也发散。n Aoooao7几何级数1 aqnJ在|q|"时收敛，且aqn二旦；当|q时，发散。 n 4nJ1 - q8. p =1时发散。第九讲经济应用重要公式与结论1复利与连续复利公式。分期复利计息公式：A二人（1 r）t，其中r为年利率。连续复利计息公式：AAo

19、G"。例9.1设一笔本金Ao存入银行，年复利率为r，在下列情况下，分别 计算t年后的本利和：（1）一年结算一次；（2）一年分n期计息，每期利率按丄计算；n（3） 银行连续不断地向顾客付息利，即n此种计息方式称为连 续复昨。详解（1） 一年结算一次时，一年后的本利和为A二Ao Aor二Ao（1 r）， 第二年后的本利和为A2 A!（1 r Ao（1 r）2，依此递推关系，t年后的 本利和为A = Ao（1丄）'n（2）一年结算n次，t年共结算nt次，每期利率为-，则t年后的本利n和为 At 二 Ad（1 -）nt.n（3） 计算连续复利时，t年后的本利和A为（2）中结果At在n-时的极限. rt=A)e.A = lim At = lim A在上述问题中，相同的利率(称为名义利率)，由于复利种类不同， 产生不同的利息，即产生不同的实际利率(也称为有效收益率)，用re 表示。设存期为t年，年名义复利率为r，每年结算n次，相应的实际年复利 率为re，则Ao(1 re)t 二A°(1 匚)nt.n1 re =(1 r)n.n(1 L)n -1.n若以相同的年