常微分方程(王高雄)第三版

1、编辑课件1.2 基本概念基本概念编辑课件定义定义1:1: 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数导数未知函数导数（或微（或微分）的关系式称为微分方程分）的关系式称为微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 编辑课件 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy

2、; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如编辑课件 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.编辑课件定义定义2 2：微分方程中出现的未知函数的：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数最高阶导数或或微分的微分的阶阶数称为微分方程的阶数数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1

3、(xdxdy是一阶微分方程； 0 (2) ydxxdy是二阶微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶二、微分方程的阶如:编辑课件) 1 (0),(nndxyddxdyx,y,Fn阶微分方程的一般形式为.是自变量,是未知函数,而且一定含有,的已知函数是0这里xyndxynddxyd,dxdyx,y,)dxyd,dxdyF(x,y,nnnn编辑课件 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程是线性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd三 线性和非线性0)dxyd,d

4、xdyF(x,y,nn如如.,阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxyddxdyynn1.如果方程编辑课件 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程编辑课件四 微分方程的解定义4:,),(满足条件如果函数Ixxy;阶的连续导数上有直到在)(1)nIxy,0)(),(),(,(:有对)2()(xxxxFIxn.0(x)上的一个解在为方程则称I)dxyd,d

5、xdyF(x,y,ynn编辑课件例2.),(0cossin上的一个解在都是微分方程验证yyxx,yy证明:由于对,sin xy xx,yysincos(,),x 故对有 yyxsin0 xsin.),(在0sin上的一个解是微分方程故yyxy.),(0cos上的一个解在是微分方程同理yyxy编辑课件1 显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.)(xy编辑课件例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.yxy

6、x 和和隐式解:. 122 yx编辑课件2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 编辑课件注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中编辑课件例3.6223c2321的通解是微

7、分方程验证yyyyececeyxxxxxxececey23212c证明:由于,4c2321xxxececeyxxxececey23218c故yyyy22)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86编辑课件.6223c2321的通解是微分方程故yyyyececeyxxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.6223c2321的解微分方程是故y

8、yyyececeyxxx编辑课件注2:.),(,0),(),(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.编辑课件 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如.0cossin的特解都是方程yyxx,yy中分别取可在通解xcxcycossin21:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到c,sin xy .cosxy 定义6编辑课件问题问题：通解可能无穷多个，如

9、何找到有用的特解呢？编辑课件3 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,nnnydxydydxdyyyxx时当.1,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.编辑课件注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)

10、(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy编辑课件例4.1)0(, 2)0(,045421的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyyyececyx-xyyy45-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc

11、0编辑课件.045ec-4x21的通解是方程故yyyceyx有由初始条件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程组得1, 321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3xey编辑课件的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10 xyydxcxxy26132xxy12xxy的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10 xyydx的如下解例：求微分方程12 xdxdy编辑课件思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、通解是否一定包含了全部解？3、所有方程都有通解

12、吗？编辑课件五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程),(yxfdxdy,平面上的一条曲线所表示的解xy(x)y称为微分方程的积分曲线.,族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解xy(x,c)y编辑课件2 方向场),(,),(,),(,),(,),(yxfdxdyDyxyxfyxDDyxf为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.,),(,),(为参数其中的等斜线为方程kkyxfyxfdxdy编辑课件 方向场画法：方向场画法：适当画出若干条等斜线，适当画出若干条等斜线，

13、再在每条等斜线上适当再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场这样即可画出这个方向场.例例 画出方程画出方程 所确定的方向场示意图所确定的方向场示意图.22yxy 解解方程的等斜线为方程的等斜线为,22Cyx 画出五条等斜线画出五条等斜线,再在每条等斜线再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。向量，如图方向场。xoy编辑课件根据方向场即可大致描绘出积根据方向场即可大致描绘出积分曲线分曲线经过点经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示。的三条积分曲线如左图所示。xoy编

14、辑课件例5.的方向场研究方程xydxdy编辑课件例6.2, 2| ),(的方向场和积分曲线内画出方程在区域ydxdyyxyxD积分曲线积分曲线方向场方向场编辑课件方向场示意图方向场示意图 积分曲线积分曲线 例7.2的方向场和积分曲线研究方程yxdxdy编辑课件六、微分方程组六、微分方程组定义定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组微分方程组。一般形式：1112211111( ;,)( ;,)( ; ),( ; )( ;,)( ;,)nnnnnnnnyf t yyyf t yydf tf tdtyft yyyf t yyyyyy编辑课

15、件Lorenz方程方程Volterra两种种群竞争模型两种种群竞争模型()d xayxd td yx zc xyd td zyb zd t(1.18)()()d xxab xc yd td yyde xf yd t(1.19)编辑课件高阶微分方程高阶微分方程 的另一种形式的另一种形式( ; ,)0nndzd zF t zdtdt1( )1( ; ,)0nnndzdzzg t zdtdt如果把如果把 都理解为未知函数，并作变换都理解为未知函数，并作变换(1),nz z zz (1)123,nnyz yz yzyz1211( ;,)nnnndyydtdyydtdyg t yydt上述上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式并可以记为向量形式( ; )dyf t ydt其中均为向量函数其中均为向量函数,( ; )y f t y分析分析：微分方程（组）的向量形式为其用：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。线性代数知识进行研究讨论提供了方便。编辑课件七、驻定与非驻定七、驻定与非驻定( ),ndfDdtyyyR与t无关，驻定系统( , ),ndf tDdtyyyR与t有关，非驻定系统编辑课件八 相空间与轨线 1. 不含自变量，只有未知函数构成的空间成为