高等数学A教学大纲理工类

1、高等数学A教学大纲 (理工类)课程名称: 高等数学A（Advanced Mathematics A） 课程编码：071012学 分：11学分总 学 时：176学时，其中理论学时176学时适用专业：理工类所有专业先修课程：中学数学 执 笔 人：胡春华审 订 人：王文珍一、 课程的性质、目的与任务“高等数学A”是理工科本科学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学；6、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授

2、知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、 教学基本要求教学要求中，教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”、“知道”等词表述。未给出学时分配的章节是书中带号的内容。三、 教学内容与学时分配第一章 函数与极限 16学时 §1.1 映射与函数 2学时§1.2 数列的极限 2学时§1.3 函数的极限 2学时§1.4 无穷大与无穷小 1学时§1.5 极限运算法则 1学时§

3、1.6 极限存在准则 两个重要极限 2学时§1.7 无穷小的比较 1学时§1.8 函数的连续性与间断点 1学时§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 1学时§1.10 闭区间上连续函数的性质 1学时第一章习题课 2学时本章要求:1. 理解映射与函数的概念及函数的几种特性，了解水平渐近线、铅直渐近线的概念。2. 理解复合函数和反函数的概念。3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。4. 会建立实际问题中变量之间的函数关系。5. 了解极限的概念（极限的、定义，对于给出求或不作过高要求），掌握极限运算法则。 6. 了解子数列的概念，掌握数列极限与其子数列极限之

4、间的关系。7. 理解极限存在的夹逼准则、单调有界准则，掌握两个重要极限及其应用。8. 理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，掌握利用等价无穷小求极限的方法。9. 理解函数连续及间断的概念，并会判别间断点的类型。10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理),并会应用。本章难点: 极限概念、连续概念。第二章 导数与微分 12学时§2.1 导数概念 3学时§2.2 函数的求导法则 2学时§2.3 高阶导数 1学时§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 2学时§2.5 函数的微分 2学时第二章习题课 2

5、学时本章要求:1理解导数和微分的概念，掌握函数的可导性、可微性与连续性之间的关系。理解导数的几何意义，会用导数描述一些常见的物理量。2. 熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则以及基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法及几个常见函数的高阶求导。5. 会求由隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。本章难点: 导数概念，复合函数求导法。第三章 微分中值定理与导数的应用 16学时§3.1 微分中值定理 3学时§3.2 洛必达法则 3学时§3.3

6、 泰勒公式 2学时§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 2学时§3.5 函数的极值与最大值最小值 2学时§3.6 函数图形的描绘 1学时§3.7 曲率 1学时§3.8 方程的近似解 第三章习题课 2学时本章要求:1理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并掌握其应用。2掌握洛必达法则求不定式的极限。3理解函数的极值，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。4会用导数判断函数图形的凹凸性，会求曲线的拐点，会描绘函数的图形。5. 了解有向弧段、弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并

7、会计算曲率和曲率半径。6. 知道求方程近似解的二分法和切线法。 本章难点: 极值的判定，曲率概念。第四章 不定积分 12学时 §4.1 不定积分的概念与性质 2学时§4.2 换元积分法 4学时§4.3 分部积分法 2学时§4.4 有理函数的积分 2学时§4.5 积分表的使用第四章习题课 2学时本章要求:1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。2. 熟练掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。3. 会求简单的有理函数及几种可化为有理函数的积分。 本章难点: 换元法、分部积分法。第五章 定积分 12学时 §5.1 定积分的概念与性质

8、2学时§5.2 微积分基本公式 2学时§5.3 定积分的换元法和分部积分法 4学时§5.4 反常积分 2学时*§5.5 反常积分的审敛法 函数第五章习题课 2学时本章要求:1. 理解定积分的概念及性质，知道函数可积的充分条件。2. 理解积分上限函数及其求导，熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。3. 熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。4. 了解反常积分的概念及反常积分的计算。5. 知道函数及其主要性质。 本章难点: 定积分的概念，积分上限函数，定积分的换元法。第六章 定积分的应用 6学时 §6.1 定积分的元素法 1学时§6.2 定积分在几何

9、学上的应用 3学时§6.3 定积分在物理学上的应用 2学时本章要求: 掌握元素法并能用定积分表达一些几何量与物理量。 本章难点: 元素法。第七章 微分方程 14学时 §7.1 微分方程的基本概念 1学时§7.2 可分离变量的微分方程 1学时§7.3 齐次方程 1学时§7.4 一阶线性微分方程 1学时§7.5 可降阶的高阶微分方程 2学时§7.6 高阶线性微分方程 1学时§7.7 常系数齐次线性微分方程 1学时§7.8 常系数非齐次线性微分方程 3学时*§7.9 欧拉方程*§7.10 常

10、系数线性微分方程组解法举例 1学时第七章习题课 2学时本章要求: 1. 了解微分方程及其阶、解、通解、特解和初始条件概念。 2. 掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利方程。了解用变量代换求解方程的思想。 3. 会用降阶法求解三类可降阶的高阶方程。 4. 理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。 5. 熟练掌握常系数齐次线性方程的解法，会求两类常系数非齐次线性方程的特解。 *6. 了解常系数线性方程组及欧拉方程的解法。 *7. 知道微分方程的幂级数解法。 8. 会用微分方程解决一些简单的实际问题。本章难点:线性微分方程解的结构，实际问题中微分方程的建立。第八章 向量代

11、数与空间解析几何 16学时 §8.1 向量及其线性运算 3学时§8.2 数量积 向量积 混合积 3学时§8.3 平面及其方程 2学时§8.4 空间直线及其方程 2学时§8.5 曲面及其方程 3学时§8.6 空间曲线及其方程 1学时第八章习题课 2学时本章要求:1. 理解空间直角坐标系。3. 理解向量的概念及其表示，掌握向量的投影及向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。4. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式及用坐标表达式进行向量运算的方法。5. 掌握平面的方程和直线的方程及求法，会利用平面、直线的

12、相互关系解决有关问题。6. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。8. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 本章难点：曲面的方程及其图形。第九章 多元函数微分学及其应用 18学时 §9.1 多元函数的基本概念 2学时§9.2 偏导数 2学时§9.3 全微分 2学时§9.4 多元复合函数的求导法则 2学时§9.5 隐函数的求导公式 2学时§9.6 多元函数微分学的几何应用 2学时§9.7 方向导数与梯度 2学时&#

13、167;9.8 多元函数的极值及其求法 2学时*§9.9 二元函数的泰勒公式*§9.10 最小二乘法第九章习题课 2学时本章要求:1. 理解多元函数的概念。2. 了解二元函数的极限与连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3. 理解偏导数和全微分的概念，了解二元函数的连续、偏导数存在和可微之间的关系，知道全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。5. 熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。6. 会求隐函数(包括方程组的情形)的偏导数。7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会

14、求它们的方程。8. 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。掌握拉格朗日乘数法并会求条件极值，会求一些较简单的最大值和最小值的应用问题。知道最小二乘法。 本章难点：多元复合函数求导法。第十章 重积分 14学时 §10.1 二重积分的概念与性质 2学时§10.2 二重积分的计算法 4学时§10.3 三重积分 4学时§10.4 重积分的应用 2学时第十章习题课 2学时本章要求: 1. 理解二重积分、三重积分的概念及性质。 2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。知道重积分的换

15、元法。3. 会用重积分求一些常见的几何量与物理量。本章难点：三重积分计算。第十一章 曲线积分与曲面积分 20学时 §11.1 对弧长的曲线积分 2学时§11.2 对坐标的曲线积分 3学时§11.3 格林公式及其应用 4学时§11.4 对面积的曲面积分 2学时§11.5 对坐标的曲面积分 3学时§11.6 高斯公式 通量与散度 2学时§11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 2学时第十一章习题课 2学时本章要求: 1. 理解两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，掌握两类曲线积分的计算方法。 2. 理解格林公式及平面曲线积分与路径

16、无关的条件，会利用格林公式计算平面曲线积分，会二元函数的全微分求积。 3. 理解两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系，会计算两类曲面积分。 4. 理解高斯公式，会利用高斯公式计算曲面积分。 5. 了解斯托克斯公式。 6. 了解数量场、向量场的概念，了解散度、旋度的概念及其计算公式，知道无源场、无旋场及调和场的概念。 本章难点：第二类曲线、曲面积分的概念与计算。第十二章 无穷级数 20学时 §12.1 常数项级数的概念和性质 2学时§12.2 常数项级数的审敛法 4学时§12.3 幂级数 4学时§12.4 函数展开成幂级数 2学时§12.5 函

17、数的幂级数展开式的应用 1学时§12.6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质§12.7 傅里叶级数 4学时§12.8一般周期函数的傅里叶级数 1学时第十二章习题课 2学时本章要求: 1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2. 熟练掌握几何级数和级数的收敛性。 3. 掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法。 4. 掌握交错级数的莱布尼茨定理，知道交错级数的余项估计。 5. 理解无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛的概念及其关系。 6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7. 掌握较简单的幂级数收敛域的求法。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，并会求简单的幂级数的和函数。 9. 知道函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10. 掌握和的麦克劳林展开式，会将一些简单的函数间接展开成幂级数。 11. 知道幂级数在近似计算上的简单应用。 12. 了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或