第1章函数极限连续PPT课件

1、第第1章函数极限连续章函数极限连续1.5两个重要极限两个重要极限1.5.1 极限存在的准则极限存在的准则1.5.2 两个重要极限两个重要极限1.5.3 无穷小阶的比较无穷小阶的比较1.5.1 极限存在的准则极限存在的准则g( x ) f ( x ) h( x ) ，且且 lim g( x ) = lim h( x ) = A，lim f ( x ) = A.准则准则1.5.1若对于若对于 x N ( , ) 或或 | x | M ( (M 0) ) 0 x时，有时，有则则准则准则1.5.2单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 .OxRABC.1sinlim.1 .2 .5 .10 xxx证

2、证 AOB 面积面积 扇形扇形AOB 面积面积 AOC 面积面积, 即即,tan22sin2222xRxRxR 得得各各式式同同除除以以正正值值,sin22xR,cos1sin1xxx . 1sincos xxx即即1.5.2 两个重要极限两个重要极限, 11lim, 1coslim00 xxx. 1sinlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 解解.tanlim0 xxx例例1计算计算.1 .35sinlim0 xxx计计算算解解令令 5x = u，当，当 x 0 时时 u 0， 因此有因此有uuxxux53sinlim3

3、5sinlim00 . 35135sinlim350 uuu例例2也可以按如下格式进行：也可以按如下格式进行：xxxxxx5535sinlim35sinlim00 . 3513555sinlim3505 xxx .1sinlim0 xxx 220202sin2limcos1limxxxxxx 2022sin21lim xxx.2112122sinlim21202 xxx解解.cos1lim20 xxx 计计算算例例3.122sinlim02 xxx例例4 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此tttsinlim01xxxarcsinlim0ttts

4、in1lim0 tttsinlim10 例例5解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx .21 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 30sintanlimxxxx 计算计算30sincossinlimxxxxx xxxxxxcoscossinsinlim30 数数 e 是一个无理数，是一个无理数， 它的近似值可由它的近似值可由nn 11展开式中取前若干项计算，展开式中取前若干项计算， 它的前八位数是它的前八位数是 e = 2.718 281 8 . e11lim2 .2 .5 .1 xxx.11limexxx .)1(

5、lim10exxx 或或.11lim2xxx 计计算算解解因为因为， 1111212 xxxx，且且exxx 11lim所以，有所以，有21211lim11lim xxxxxx2111lim xxx例例6.21e .1lim20 xxx 计计算算例例7 解解 方法一方法一 令令 u = -x， 因为因为 x 0 时时 u 0， uuxxux2020)1(lim1lim 210)1(lim uuu.12e 所以所以210)1(lim uuu方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量 210201lim1lim xxxxxx.12e 2101lim xxx exxx 101lim.)

6、21(lim10 xxx 计计算算例例8解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.2e 2210)21(lim xxx2210)21(lim xxx xxx210221lim .32lim2 xxxx计计算算例例9解解因为因为.3113)1(332 xxxxx 532311lim32lim xxxxxxx 53311311limxxxx因此因此 53311lim311limxxxxx.1ee e11lim xxx 1311lim5 xx.)1ln(lim0 xxx 计计算算例例10解解xxx)1ln(lim0 )1(lnlim10 xxx )1(limln10 xxx. 1l

7、n e )1ln(1lim0 xxx aaNNNalnlnln .1lim0 xexx 计计算算例例11解解令令 u = ex - - 1 ，则则 x = ln(1 + u)，当当 x 0 时时 u 0.所以所以)1ln(lim1lim00uuxeuxx uuu)1ln(1lim0 .1)1ln(lim10 uuu,0时时当当 x，xxxsin,2都是无穷小都是无穷小,引例引例 极限不同极限不同, 反映了无穷小趋于反映了无穷小趋于 0 的的“速度速度”是多样的是多样的 . xx1sin2观观 察察 各各 极极 限限xxx3lim20,0 20sinlimxxx, xxxsinlim0,1 xx

8、xxsin1lim0 2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不存在不存在要要快快得得多多比比 xx32大致相同大致相同与与xxsin要慢得多要慢得多比比2sinxx不可比不可比1.5.3 无穷小阶的比较无穷小阶的比较定义定义1.3.3,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,(1)若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,)( o 记作记作,lim (2)若若则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;(3)若若,1lim (4)若若 ,0lim C 或或则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小，无穷小，则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记

9、作记作,0lim 例如例如 x2, x2+x, 2x 都是都是 x 0 时的无穷小量时的无穷小量, 且且， 02lim20 xxx 所以，当所以，当 x 0 时，时， x2 是是 2 x 的高阶无穷小量，即的高阶无穷小量，即 x2 = o(2 x)(x0)；而；而2 x 是当是当 x 0 时时x2 的低阶无穷小量的低阶无穷小量.， 212lim20 xxxx 所以，当所以，当 x 0 时时 ，x2 +x与与 2 x 的同阶无穷小量的同阶无穷小量.，而而 1lim20 xxxx 所以，当所以，当 x 0 时时 ，x2 +x是是 x 的等价无穷小量的等价无穷小量，即有即有 x2+x x(x0).,

10、 , 且且 lim存在存在(或为无穷大或为无穷大) , 则则 lim lim证证 lim lim lim lim lim lim定理定理1.5.1 设设常用的等价无穷小常用的等价无穷小时，时，当当0 xxx sinxx arcsinxx tanxx arctan221cos1xx xx )1ln( xex1 xx 1)1( )0( 常数常数xnxn111 .1e)1ln(lim0 xxx计算计算例例1 12解解因为因为 x 0 时，时，ln (1 + x) x， ex - - 1 x，所以所以.1lim1e)1ln(lim00 xxxxxx.35tanlim0 xxx计算计算例例1 13解解因

11、为因为 x 0 时，时，tan 5x 5x，所以所以.3535lim35tanlim00 xxxxxx例例14.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx . 8 xxxcos12tanlim20 例例15.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时因为当因为当 xxxx)1(lim0 . 1 )1(lim0 xxxxxxarcsinsin)1(lim0 xxxxxxxxxarcsinsinlim)1(limarcsinsin)1(lim000 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小在用等价无穷小代换时，要用与分子或分母代换时，要用与分子或分母整体整体等价的无穷等价的无穷小代换小代换.对于代数和中各无穷小对于代数和中各无穷小, 一般不能分别一般不能分别代换代换. 即遇无穷小即遇无穷小 “+”, “ ”时时, 一般一般不能不能代换；代换；12 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价无穷小进行代换无穷小进行代换.注注例例16.2sinsintanlim3