一维随机变量及其分布

1、下下回回停停第一节第一节 一维随机变量一维随机变量 及其分布及其分布(2)三、离散型随机变量三、离散型随机变量四、典型的离散型随机四、典型的离散型随机 变量及其分布变量及其分布三、离散型随机变量三、离散型随机变量定义定义且且所所有有可可能能取取值值为为若若随随机机变变量量,21xxX或记为或记为Xipnxxx21nppp21称上面两式为离散型随机变量称上面两式为离散型随机变量X 的分布律或的分布律或), 2 , 1()( ipxXPii1. 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律分布列分布列.注注1 分布律中的分布律中的 pi 必须满足必须满足: :);, 2 , 1(, 10)1( i

2、pi2 若若X是离散型随机变量，则其分布函数为是离散型随机变量，则其分布函数为: : xixixXPxF)(.而言而言的的是对一切满足是对一切满足其中其中ixxixxi . 1)2(1 iip设随机变量的分布律为设随机变量的分布律为), 2 , 1 , 0(! kkakXPk 解解得得由由, 10 kkp1e!00 akakakkkk例例1.0a为常数，试确定常数为常数，试确定常数 .e a所以所以2.离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系(1) 若已知若已知X 的分布律的分布律: :), 2 , 1( kxXPpkk则则X的分布函数的分布函数)()(RxxX

3、PxFxxkk (2) 若已知若已知X的分布函数的分布函数F(x), 则则X的分布律的分布律kkxXPp )0()( kkxFxF)()(1 kkxFxF或或), 2 , 1( k)0()0( aFbF离散型随机变量的概率计算公式离散型随机变量的概率计算公式:21注注bXPaXPbXaP )()(aFbF )0()(aFaF)0()( bFbFbXaP aXPbXP )()(aFbF bXaP 例例2一盒内装有一盒内装有5个乒乓球，其中个乒乓球，其中2个旧的，个旧的，3个新的，从中任取个新的，从中任取2个，求取得的新球个，求取得的新球个数个数X的分布律与分布函数，并计算：的分布律与分布函数，并

4、计算：.20,20 XPXP解解X= 取得的新球个数取得的新球个数 ，其分布律为，其分布律为)2, 1, 0( kkXP25223CCCkk 或或XP2103 . 06 . 01 . 0X的分布函数为的分布函数为)()(RxxXPxF xkkXP , 0 xXP2103 . 06 . 01 . 0, 0, 10 x,0 XP21 x,10 XPXP,210 XPXPXP 0.1 + 0.6, 21 x 0.1 + 0.6 + 0.3,. 2 x 0.7, 1,2 xxoy0.10.7 1 21 0.1,XP2103 . 06 . 01 . 020 XP方法方法121 XPXP9 . 03 .

5、06 . 0 20 XP10 XPXP7 . 06 . 01 . 0 方法方法2 . 2, 1, 21, 7 . 0, 10, 1 . 0, 0, 0)(xxxxxF)0()2(20FFXP 9 . 01 . 01 )00()02(20 FFXP7 . 007 . 0 四、典型的离散型随机变量及其分布四、典型的离散型随机变量及其分布若若X的分布律为的分布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布( (单点分布单点分布) )若随机变量若随机变量X取常数值取常数值C的概率为的概率为1,即即1)( CXP则称则称X服从退化分布服从退化分布.),()(1011 kppkXPkk或记为或记为Xkp0p

6、 11p则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布或两点分布分布或两点分布.记为记为XB(1,p) .注注 两点分布是一种比较简单的分布两点分布是一种比较简单的分布,任何一个只任何一个只有两种可能结果的随机现象有两种可能结果的随机现象,例如在产品的一次检例如在产品的一次检验中出现验中出现“正品正品”或或“次品次品”;抛掷一次硬币出抛掷一次硬币出现现“正正面面”或或“反面反面”;做一次试验事件做一次试验事件“A发生发生”或或“A不发不发生生”均可用这一数学模型描述均可用这一数学模型描述.若若X的分布律为的分布律为), 2 , 1(1nknxXPk kx则称则称X服从离散型均匀分布服从离散型均匀分布

7、,这里要求这里要求 各不相同各不相同.例如掷骰子试验例如掷骰子试验,若记出现的点数为若记出现的点数为X,则则X的可的可)6 , 2 , 1(61)( iiXP能取值为能取值为1,2,3,4,5,6.那么那么X的分布律为的分布律为:3.离散型均匀分布离散型均匀分布的分布律为的分布律为若若X二项分布可以用来描述二项分布可以用来描述n重贝努里试验重贝努里试验,事件事件. 10;, 1 , 0服从二项分布服从二项分布则称则称其中其中Xpnk knkknppCpnkB )1(),(4. 二项分布二项分布knkknppCkXP )1(A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率,是概率论中一种重要的是概率论中一种

8、重要的分布分布.一般写作一般写作记作记作),(pnBX,02. 0,设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0,400( BX则则的的分分布布律律为为X,)98. 0()02. 0(400400kkkCkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 其中其中例例3.,400率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击的分布律为的分布律为若若X泊松分布可以描述某一段时间内电话交换台泊松分布可以描述某一段时间内

9、电话交换台), 1 , 0(e! kkkXPk 5.泊松分布泊松分布).(, 0 PXX服服从从泊泊松松分分布布，记记作作则则称称 来到的电话呼唤次数来到的电话呼唤次数,在某一时间间隔里放射性在某一时间间隔里放射性物质发出的经过计数器的粒子数物质发出的经过计数器的粒子数.它也可以作为它也可以作为二项分布的极限分布二项分布的极限分布.即下面要讲的泊松定理即下面要讲的泊松定理.knnknknppCkXP )1(且且满满足足：)0(lim nnnp.e!lim kkXPkn),2,1 ,0( k),(npnBX设设有有则对任意非负整数则对任意非负整数,k泊松定理泊松定理证证)(),(lim10onp

10、npnnn )(),(111111onnponnpnn 即即knnknppknknkXP )1()()!( !又又knknonnonknkn )1(1)1()!( ! kknknonnknnnnonko )1(1)1()1()1(1!)1( kknknonnknnnnonko )()()()(!)(1111111 knknonnknnonko )()()()(!)(111111111 时，时，故当故当 n e!limkkXPkn利用泊松定理利用泊松定理,当当n 很大时可用泊松分布近似很大时可用泊松分布近似注注,005. 0,800 pn比比如如，79733800995. 0005. 0)005

11、. 0 ,800, 3( CB二项分布二项分布,达到简化计算的目的达到简化计算的目的.对对于于下下式式则则, 4005. 0800 np! 34e34 1945. 0 个个存存储储单单元元组组由由某某计计算算机机内内的的存存储储器器，3000数，则数，则表示存储单元损坏的个表示存储单元损坏的个设设X解解算算算算机机便便停停止止工工作作，求求计计一一存存储储单单元元损损坏坏时时，计计3000003000)9995. 0()0005. 0(0CXP 478046223. 0 95776. 0011 XPXP例例4.机停止工作的概率机停止工作的概率，如果任，如果任概率为概率为坏的坏的成，每一个存储单

12、元损成，每一个存储单元损0005. 0若若用用泊泊松松分分布布近近似似，则则5 . 10005. 03000 np 13223. 0e! 0)5 . 1(05 . 10 XP两种计算表明两种计算表明,结果误差不大结果误差不大,计算机停止工作的概率约为计算机停止工作的概率约为0.777.例例52 . 0e! 000 XP解解 已知已知.61. 1 则则1012 XPXPXP而而 e! 12 . 0112 . 061. 12 . 01 478. 0 一时段内通过某交叉路口的汽车数一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看可看作服从泊松分布的随机变量，若在该时段内没作服从泊松分布的随机变量，若在该时段内没

13、有汽车通过的概率为有汽车通过的概率为0.2,求在这一时段内多于求在这一时段内多于一车通过的概率一车通过的概率.的分布律为的分布律为若随机变量若随机变量 X.服服从从几几何何分分布布则则称称 X), 2 , 1()1(1 kppkXPk设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为直到第一次抽到一只次品为止止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的那么所抽到的产品数目产品数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律.6.几何分布几何分布例例6 6., 3,

14、2, 1所取的可能值是所取的可能值是X,个个产产品品是是正正品品”表表示示“抽抽到到的的第第设设iAi)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.注注 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功” 解解的概率模型的概率模型.的分布律为的分布律为设设 X超几何分布在关于废品的记件检验中经常用到超几何分布在关于废品的记件检验中经常用到.,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn ),min, 2 , 1 , 0

15、(nMkCCCkXPnNknMNkM 7. 超几何分布超几何分布内容小结内容小结1. 离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律(分布列分布列), 2 , 1()( ipxXPii2. 常见的离散型分布及其应用背景常见的离散型分布及其应用背景. 分布名称分布名称 记号记号 分布律分布律 背景背景 退化分布退化分布(单点分布单点分布)1 cXP必然事件必然事件两点分布两点分布(或或 01分布分布)X B(1,p) ) 1 , 0()1 (1 kppkXPkk贝努里贝努里 概型概型(0p0)(0p1),2,1,0(e! kkkXPk 稀有事件稀有事件 分布名称分布名称记记号号 分布律分布律

16、 背景背景几何分布几何分布), 2 , 1()1 (1 kppkXPk在在n重独立试重独立试验中，验中，A首次首次发生的试验次发生的试验次数为数为X.超几何分布超几何分布),min), 1 , 0(nMllkCCCkXPnNknMNkM NMNn ,设设N件产品中件产品中有有M件次品，件次品，从中任取从中任取n件，件，其中的次品其中的次品数数为为X.备用题备用题例例1-1 设随机变量的分布律为设随机变量的分布律为), 2 , 1(NkNakXP 试确定常数试确定常数 a.解解11 NaNNaNk所以所以 a = 1.得得由由, 11 Nkkp 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设一汽车沿一街道

17、行驶，需要通过三个均设 有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它 信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示 的时间相等的时间相等. 以以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过表示该汽车首次遇到红灯前已通过 的路口的个数，求的路口的个数，求X的概率分布的概率分布.解解 依题意依题意, X可取值可取值0, 1, 2, 3. P(X=0)=P(A1)=1/2, 路口路口3路口路口2路口路口1设设3 , 2 , 1 iiAi，个路口遇到红灯个路口遇到红灯第第例例2-1路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路

18、口2路口路口13 , 2 , 1 iiAi，个路口遇到红灯个路口遇到红灯第第412121)()1(21 AAPXP81212121)()2(321 AAAPXP路口路口3路口路口2路口路口13 , 2 , 1 iiAi，个路口遇到红灯个路口遇到红灯第第81212121)()3(321 AAAPXP 818141213210X即即例例2-2两名蓝球队员轮流投篮两名蓝球队员轮流投篮,直到某人投中为直到某人投中为止止,若第一名队员投中的概率为若第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投第二名队员投中中的概率为的概率为0.6,求每一名队员投篮次数的概率分布列求每一名队员投篮次数的概率分布列(设由第一名

19、队员先投设由第一名队员先投).解解 设设X,Y分别表示第一、二名队员的投篮次数分别表示第一、二名队员的投篮次数.kXYX ,21 , 0,21，的可能取值为的可能取值为，的可能取值为的可能取值为表示第一名运动员和第二名运动员在前表示第一名运动员和第二名运动员在前k-1次都未次都未投中投中,而第一名运动员的第而第一名运动员的第k次投中次投中,或者第一名运或者第一名运动员在自己的前动员在自己的前k次中未投中及第二名运动员在自次中未投中及第二名运动员在自己的前己的前k-1次中未投中次中未投中,但在第但在第k次时投中次时投中,故故6 . 04 . 06 . 04 . 04 . 06 . 0)(111

20、kkkkkXP, 2 , 1,24. 076. 01 kk4 .0)0( YP仿上述分析仿上述分析,可得可得4 . 04 . 06 . 06 . 04 . 06 . 0)(1 kkkkkYP., 2 , 1,4 . 06 . 076. 01 kkk 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时, 所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下, 分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品

21、经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.例例3-1,13101 XP,13101332 XP,131013332 XP13101331 k故故 X 的分布律为的分布律为Xpk32113101310133 13101332 解解,(1) X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3,13101331 kkXP., (2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时若每次取出的

22、产品都不放回这批产品中时,13101 XP,12101332 XP,11101221333 XP,10101111221334 XPXp故故 X 的分布律为的分布律为432113101210133 1110122133 111122133 X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3. 4 (3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.,13101 XP,13111332 XPXP,13131311321334 XP故故 X 的分布律为的分布律为Xp432113101311133 1312132133 131

23、132133 X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3. 4例例3-2).7 . 0 , 3( BX)3()2()2( XPXPXP某射手命中某射手命中10环的概率为环的概率为0.7,命中命中9环的概环的概率为率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率环的概率.解解 记记X为三次射击中命中为三次射击中命中10环的次数环的次数,则则因为因为“所得的环数不少于所得的环数不少于29环环”相当相当于于“射击三次至少二次命中射击三次至少二次命中10环环”，故所求概率，故所求概率为为784. 07 . 03 . 07 . 0332 例例3-3).

24、2 . 0 ,52( BX则则)1()0()1( XPXPXP经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为客比例为20%如今餐厅有如今餐厅有50个座位，但预定给个座位，但预定给了了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？概率是多少？解解 记记X为预定的为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，位顾客中不来就餐的顾客数，因为因为“顾客来到就餐没有座位顾客来到就餐没有座位”相相当当于于“52位顾客中最多位顾客中最多1位顾客不来就餐位顾客不来就餐”，所以所，所以所求求概率为概率为.0001279. 02 . 08 .

25、 0528 . 05152 在保险公司里有在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层名同龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的人参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概率为的概率为0.002, 每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日须日须交交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取里领取2000元赔偿金元赔偿金. 求：求：(1) 保险公司亏本的概率；保险公司亏本的概率；(2) 保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元的概率元的概率.解解 (1) 以以“年年”为单位，在为单位，在1年的年的1月月1日，保日，保险险公司的总收

26、入为：公司的总收入为：).(30000122500元元 例例4-1，则则年年中中死死亡亡的的人人数数为为设设X1)002. 0,2500( BX保险公司在这一年中，应付出：保险公司在这一年中，应付出： 2000X (元元)设设 A=保险公司亏本保险公司亏本，则，则300002000 XA发发生生)(15人人即即 X15)( XPAPkkkkC 25002500162500)002. 01()002. 0(很很小小，所所以以可可用用很很大大，因因为为002. 02500 pn,5项项分分布布的的泊泊松松分分布布近近似似代代替替二二参参数数 np 15115 XPXP即有即有kkkkC 25001502500)002. 01()002. 0(1 1505!e51kkk.000069. 0 (2) 保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元的概率元的概率.B5 XP20000200030000)( XPBPkkkkC 2500502500)002. 01()002. 0(615961. 0!e5505 kkk即即 保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元的概率接近