495136特殊平行四边形全章复习与巩固基础知识讲解

1、特殊平行四边形全章复习与巩固(基础)知识讲解责编：常春芳【学习目标】1 .掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系.并能运用这2 .探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法些知识进行有关的证明和计算 【知识网络】要点一、平行四边形1 .定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2 .性质：(1)对边平行且相等；(2)对角相等；邻角互补；(3)对角线互相平分；(4)中心对称图形.B3 .面积：S平行四边形底高4 .判定：边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行

2、四边形.角：(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角：(6) 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;对角线：(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：(1)平行线间的距离都相等；(2)等底等高的平行四边形面积相等 .要点二、菱形1 .定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形 .3.面积:S菱形=底古对角线对角线同=24 .判定：(1) 一组邻边相等的

3、平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形 .要点三、矩形1 .定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2 .性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等；(4)中心对称图形，轴对称图形 .3 .面积：S矩形=长宽4 .判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点四、正方形1 .定义：四条边都相等

4、，四个角都是直角的四边形叫做正方形2 .性质：(1)对边平行；(2)四个角都是直角；(3)四条边都相等；(4)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形，轴对称图形 .-c 1 ，一3 .面积： S正方形二边长X边长=X对角线X对角线24 .判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2) 一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；(6)四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在

5、 ABC 中，/ ACB=90。，/ B>/ A,点 D 为边 AB 的中点，DE / BC 交AC于点巳 CF / AB交DE的延长线于点 F.(1)求证：DE=EF;(2)连结CD,过点D作DC的垂线交 CF的延长线于点 G,求证：/ B=/A+/DGC.1【思路点拨】(1 )首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC,再证明DE=BC,2一一一 1进而得到EF= -CB,即可证出DE=EF;2(2)首先画出图形，首先根据平行线的性质可得/ ADG=Z G,再证明/ B= / DCB, / A=Z DCA,然后再推出 /1=/ DCB=Z B,再由/ A+Z ADG=Z 1

6、可得/ A+Z G=Z B.【答案与解析】证明：(1) ; DE/ BC, CF/ AB, 四边形DBCF为平行四边形，DF=BC,D为边AB的中点，DE/ BC,DE=1BC,EF=DF-DE=BC- - CB=- CB,222DE=EF;(2) DB/ CF,/ ADG=Z G,/ ACB=90° , D 为边 AB 的中点，CD=DB=AD,/ B=/ DCB, / A=/ DCA,DG± DC, / DCA+Z 1=90 ° , / DCB+Z DCA=90 ° , . / 1=/ DCB=Z B, Z A+Z ADG=Z 1,/ A+Z G=Z

7、 B.【总结升华】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质， 关键是找出/ADG=/G, /1 = /B.掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.类型一、平行四边形1、已知， ABC中，/ BAC=45 ,以AB为腰以点B为直角顶点在 ABC外部作等腰直 角三角形ABD以AC为斜边在 ABC外部作等腰直角三角形 ACE连结BE DC两条线段相 交于点F,试猜想/ EFC的度数并说明理由.【答案与解析】解法一：作 DH/BE交EA延长线于 H,连接CH 易证四边形BEHM平行四边形 在CEH与EAB中CE=AECEH= EAB=90o HE=BD=AB CEH AEA

8、B (SAS) CH=BE=DH , CHE= ABECHD=90oEFC= CDH=45o解法二：作CG/BE交AB勺延长线于G,连接DG ABd ACE都是等腰直角三角形， / EAB土 CAE吆 CAB=90 .又/ AEC=90 , .AB/ CE. 四边形BECG平行四边形，CE=GB 又 AE=ECGB=AE.在 BGDW AEB 中，DB=AB , / DBGh BAE=90 , GB=AEBG2 AEB(SAS)， / GDBh ABE BE=DG.平行四边形BGCE, / ABE土 AGC BE=GC,/ GDB =/ AGC, GC= DG./ DGC= DGA+ AGCW

9、 DGA+ GDB=90于是ACDG是等腰直角三角形，所以 EFC DCG 45o【总结升华】 通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解.类型二、菱形，人。占B一2、(2015?遵义)在 RtAABC中，Z BAC=90 , D是BC的中点，E是AD的中点，过 点A作AF / BC交BE的延长线于点F.(1)求证：AAEFADEB ;(2)证明四边形 ADCF是菱形；(3)若AC=4, AB=5 ,求菱形 ADCF的面积.【答案与解析】(1)证明：.一AF / BC,/ AFE= / DBE ,.E是AD的中点，AD是BC边上的中线，1 .AE=DE , BD=CD ,在 AFE和

10、4DBE中，NAFE 二 NDBEZFEA=ZBED,AE=DE2 .AFEADBE ( AAS );(2)证明：由(1)知，AAFEADBE,则 AF=DB .3 DB=DC , .AF=CD . AF / BC,四边形ADCF是平行四边形, , / BAC=90 °,D是BC的中点,E是AD的中点,.AD=DC=，四边形ADCF是菱形；(3)解：设菱形DC边上的高为h,RTAABC斜边BC边上的高也为 h, bc=7m 对亚菱形ADCF的面积为：DC?h= 垄L=10.2风线段的平行及垂直等问题，关键【总结升华】 运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、是要记住它们的判定和性质

11、.举一反三：ABC比菱形吗？如果是菱【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形 形请给出证明，如果不是菱形请说明理由.【答案】四边形ABC比菱形；证明：由AD/ BC, AB/ CD得四边形ABC比平行四边形 过A, C两点分别作 A已BC于E, CF, AB于F. ./ CFB= / AEB= 90° . AE= CF （纸带的宽度相等）/ ABE= / CBF RtAABE RtACBF,AB= BC,四边形ABC虚菱形.DAC= Z NCA然后利用“角边角”证明AD= CN然后判定四边形 ADCN平 根据三角形的一个外角等于与它不相【思路点拨】 根据两直线平行，内

12、错角相等求出/ AMD和CMN等，根据全等三角形对应边相等可得 行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；邻的两个内角的和推出/ MCD= /MDC再根据等角对等边可得MD= MC然后证明AC= DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.【答案与解析】证明：: CN/ AB, ./ DAC= /NCA 在AA M丽ACMN43,DAC NCAMA MCAMD CMN. .AM牵ACMN( ASA),.AD= CN又AD/ CN四边形ADCN平行四边形， .CD= AN; / AMD= 2/ MCD , / AMD= / MCD- / MDCMCD= Z MDC.MD= MC由知四边

13、形 ADC混平行四边形，.MD= MNk M匹 MC.AG= DN四边形ADCN矩形.【总结升华】 要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等.04、如图所示，在矩形 ABCD43, AB= 6, BC= 8.将矢I形ABCD& CE折叠后，使点 D恰 好落在对角线 AC上的点F处，求EF的长.RC【思路点拨】 要求EF的长，可以考虑把 EF放入RtAAEF中，由折叠可知 CD=CF, DE = EF,易得AC =10,所以AF=4, AE = 8-EF,然后在 RtAAEF中利用勾股定理求出 EF 的值.【答案与解

14、析】解：设EF= X ,由折叠可得： DE= EF= X , CF= CD= 6,又在 RtADC中，AC J62 82 10 AF=AC CF= 4, AE= AD- DE= 8- X .在 RtAAEF中，AE2 AF2 EF2， _222即（8 x） 4 x ,解得：x = 3 EF =3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解.举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若_2cm .AB = 3 cm , BC = 5 cm ,则重叠部分 DEF的面积是【答案】提

15、示：由题意可知 BF= DF,设FC= x , DF= 5 - x ,在 Rt DFC中，DC2X3.4类型四、正方形X 3 = 5.1.c c8-11FC2 DF2 ,解得 x = 8 , BF= DE= 3.4 ,则 Sdef=1DE AB =- 522'5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形 ABCD勺两邻边重合，过 E点作EF，AE交/ DCEW角平分线于F点，试探究线段 AE与EF的数量关系，并说明AB= BC /BAD= /HAD= Z DCE= 90° ,推出/HAE= /CEF根据HEB是以/B为直角的等腰直角三角形，得到BH= B

16、E, / H= 45° ,HA= CE根据CF平分/ DCE推出/ H= / FCE根据 ASA证HAEAC EF即可得到答案.【答案与解析】探究：AE= EF证明： BHE为等腰直角三角形，.H= / HEB= 45° , BH= BE.又CF平分/ DCE四边形ABC的正方形， ./ FCE= 1 ZDCE= 45° ,2.H= / FCE.由正方形 ABCDD®/ B= 90° , / HAE= 90° +Z DAE= 90° +Z AEB, 而 AE± EF,/ FEC= 90° +Z AEB,

17、./ HAE= / FEC.由正方形 ABCDD® AB= BC,BH- AB= BE- BC,HA= CE, .AH® ECF (ASA , .AE= EF.【总结升华】 充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2015?黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若 /CBF=20°,贝U/AED 等于 .【答案】65°。类型五、综合应用>6、如图所示，E、F、G H分别是四边形 ABC格边中点，连接EF、FG GH HE,则四 边形EFGH形. 当四边形满足 条件

18、时，四边形 EFGH菱形.(2) 当四边形满足 条件时，四边形 EFGH矩形. 当四边形满足 条件时，四边形 EFGH正方形.在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性.【思路点拨】本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形, 加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形.【答案与解析】四边形EFGH平行四边形；解：(1)AC=BD,理由：如图，四边形 ABCD勺对角线AC= BD,此时四边形 EFGH平行四边形，且 EH= 1 BD HG= 1 AC彳导EH= GH22故四边形EFGH菱形.(2)AC J_ BD,理由：如图，四边形 ABCM对角线互相