4高数二试题与解答

1、2004年高数(二)试卷与解答.填空题本题共6小题，每小题4分，满分24分.(1)则f(x)的间断点为设 f (x) = lim (n 21)xn 二 nx 1二 3x = t 3t 1(2)设函数y(x)由参数方程 33确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围y =tdx 二 设函数z=z(x,y)由方程z=e2xJ3z +2y确定，则3g+且= 2.；:x j y 3613 微分万程(y +x )dx -2xdy =0满足y x4 =的特解为y = x + Jx.人口 552 1 0,(6)设矩阵A = 1 2 0 ,矩阵B满足ABA* = 2BA*+E ,其中A*为A的伴随矩、。0 L

2、阵，E是单位矩阵，则B =1.9二.选择题 本题共8小题，每小题4分，满分32分.(7)把 x t 0*时的无？小量久=J：cost2dt, P =tan Jtdt, 了 =sint3dt 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A)。，P；(B) c(， P. (C) Pl ；'.(D) P，乙 口 .【B 】(8)设 f(x)=|x(1x),则(A) x=0是f (x)的极值点，但(0, 0)不是曲线y=f(x)的拐点. x=0不是f(x)的极值点，但(0, 0)是曲线y=f(x)的拐点.(C) x=0是f (x)的极值点，且(0, 0)是曲线y = f(

3、x)的拐点. -3t 1(3)(4)(5)为(、1)(或(一°°,1).(D) x=0不是f(x)的极值点,(0, 0)也不是曲线y= f(x)的拐点.C -1 22 2. n 2(9) lim ln，(1+)(1+一) |(1+ )等于 n？ n n n22(A) 11n xdx.2(B) 2 In xdx.(D)： 2sin 10dLf (r2sin cos：)dr：- 2sin 10dLf(rsin icosi)rdr,、222(C) 2 ( 1n(1+x)dx.(D) 1n2 y 二y2(B) 2 0dy 0 f (xy)dx.(1 + x)dx B (10)设函数

4、f (x)连续，且f '(0) > 0 ,则存在6 >0,使得(A) f (x)在(0,6)内单调增加.(B) f(x)在(-3,0)内单调减小.(C)对任意的 xw(0, 8)有 f(x) >f(0).(D)对任意的 xe(_6,0)< f (x)> f(0).2(11)微分万程y+y=x+1+sin x的特解形式可设为2(A) y*=ax +bx+c+ x(Asin x + Bcosx).2(B) y = x(ax bx c Asin x Bcosx).2(C) y= axbxcAsin x.(D) y= ax2bxcAcosx IA 1(12 )设函

5、数 f (u)连续，区域 D =(x, y) x2 + y2 W2y,贝Uf (xy)dxdy 等于D1 .I2(A).dx 2 f (xy)dy.(13 )设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列 得C,则满足AQ =C的可逆矩阵Q为0 1 0(A) 1 0 0J 0 b010、(C)1 0 0<0 1 b,0 10、(B) 101.2 0 b0 1 r(D)1 0 0<0 0 b(14)设A,B为满足AB = 0的任意两个非零矩阵，则必有(A ) A的列向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关,B

6、的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关三.解答题本题共9小题，满分94分.(15)(本题满分10分)1求极限lim 3X 0 x3/2 +cosx3【答案】,2 cosx Inln(l .cos")(16)(本题满分10分)cosx -12f(x) = x(x -4),若对任意的设函数f (x)在(皿产)上有定义，在区间0, 2上, x都满足f (x) =kf(x+2),其中k为常数.(1)写出f (x)在-2, 0上的表达式。(2)问k为何值时，f (x)在x = 0处可导.【答案】(1)当2Ex<0,即0Ex + 2<

7、;2时，f(x) =kf (x 2) =k(x 2)(x 2)2 -4 =kx(x 2)(x 4).(2)由题设知f(0)=0.lim X(X2-4):-4x >° ' xf (°)=lim f(X)-f 叽 lim kX(X 2)(X 4)=8k. x1°- X -° X.°- x1令f，(°)=上°),得k=.一2一 1 ,一 一即当k =时，f (x)在x=°处可导.2(17)(本题满分11分)X /二设 f (x) = Jx 7|sin t dt ,(1)证明f(x)是以n为周期的周期函数。(

8、2)求f (x)的值域.【答案】(1) f (x + n) = J " sin t dt , Lx+jl 1设t =U + n,则有 x 一xf(x + n)=x 2 |sin(u + n)du = x 2 |sin u du = f (x),故f(x)是以n为周期的周期函数因为(2)因为sinx在(-g , +g)上连续且周期为n ,故只需在°, n 上讨论其值域f (x) =sin(x +：) -sin x =cosx -sin x ,3 二令 f (x) =°，得 X| =一 , x2 = ,且4 4_3£：f () = .4 sin t dt =

9、、，2 ,44c5 二5 二3n丁rf-f ()=%：sint dt = 13nsin t dt- f 4sin t dt = 2 - V2,4v.了冗二 三又 f (°)=5sint dt =1, f (二)二2 (-sin t)dt = 1, °所以f(x)的最小值是2-72,最大值是 短,故f(x)的值域是2 -72,72.(18)(本题满分12分)ex - e-x曲线y=与直线x=0, x=t(t A0)及y =0围成一曲边梯形.该曲边形绕 x2轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x = t处的底面积为F(t).求胆的值。(2)计算极限lim

10、 2 .V(t)t：'F(t)【答案】(1) S(t) = J02n yjl +y，2 dxt 二2二.0V(t)=二x_xe et 2 , 0ydx/ x ,_xe +e24-2 exdx,=nx-xye +edx也凹 S(t)所以.一U=2.V(t)(2) F (t)=n y2=nxmr t 1e +e_t、2lim%t二Ft2:x-xe edx(t . .Xe +e'2兀2(19)(本题满分12分)2 2 _ 24设 e<a<b<e ,证明 ln b -ln a > (b - a).e【答案】设中(x) =ln2 x gx,则中'(x) =

11、 2-nx -yex e：(x)=2上学，x所以当xe时，邛"(x) <0,故"(x)单调减小，从而当e<x<e2时,244(x).飞2)=:一；=0, e e即当e ex <e2时，(x)单调增加.因此,当e<a < b <e2时，(b) >中(a),即2424ln b - - b ln a - a ee224、ln b-ln a (b -a).e(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地白瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大 阻力，使飞机迅速减速并停下来现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平

12、速度为 700 km/h .经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k= 6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km / h表示千M/小时.【答案】由题设，飞机的质量m = 9000 kg ,着陆时的水平速度v° = 700km/h.从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).根据牛顿第二定律，得 mdv = -kv .又 dt7 mdx = 一一 dv, k积分得m -dv dv dxdv一 =一 '一 二 v一 ,所以出 dx出dxmx(t)=T(V0-V(t).当 v(t)T

13、 0 时,x(t) >mv09000 700k 6.0 106= 1.05 (km).由于 v(0) =v°,x(0) =0,故彳C C = Vo,从而所以，飞机滑行的最长距离为 1.05 km.(21)(本题满分10分)-2设z= f(x2 y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数，求£z,£z,上z二 x 二 y 二xcy= -2yf1 xexyf2,【答案】豆=2xf+yexy f2'，三 x二 y2z-=2xf11(-2y)f12xexyexy f2xyexyf2yeyf2i(-2y)f?2xey:x: y=Hxyf：+2(x2 y2)exy

14、 f12' 十十xye2xy f22 +exy(1 十 xy) f2.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组'(1 +a)x1 +x2 +x3 +x4 =0,2x1 +(2 +a)x2 +2x3 +2x4 =0,3x1 +3x2 +(3+a)x3 + 3x4 =0,4x1 +4x2 +4x3 +(4 +a)x4 =0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【答案】对方程组的系数矩阵 A作初等行变换，有q+a 111T + a 1 1 1、22+a 22-2a a 0 0T=B333 十a 3-3a 0 a 0、4444 +a ,1、_ 4 a 0 0 a /a =

15、0时，r(A)=1<4,故方程组有非零解，其同解方程组为xix2x3x4=0 .由此得基础解系为1 =(-1,1, 0, 0)1 2 =(-1,0,1, 0)T, 3 =(-1,0, 0,1)于是所求方程组的通解为x=k-1 +k2% +k3%,其中K,k2,k3为任意常数当a #0时,1 +a-2一3.一41100101010T0ba+10-2-30 0 01 0 00 1 00 0 1当a = -10时，r(A) =3 <4 ,故方程组也有非零解，其同解方程组为-2 为 x2 - 0,-3xI +x3 =0, 、%为 +x4 =0,由此得基础解系为= (1,2, 3, 4)T,所以所求方程组的通解为x=k”,其中k为任意常数.(23)(本题满分9分)-3设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值，并讨论A是否可相似对角化.A的特征多项式为- -4 -4-5 -4=(-2) -3-1-a九一5-a -1二(- 2)( 2-8- 18 3a)若儿=2是