81成对数据的统计相关性

1、第八章成对数据的统计分析§8.1 成对数据的统计相关性【学习目标1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义 .2. 了解样本相关系数与标准化数据向 量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性.知识梳理械圮教材弃宴*础1知识点一相关关系1 .相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程 度，这种关系称为相关关系.思考相关关系是函数关系吗？答案 不是.函数关系是唯一确定的关系.2 .相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为正相夫和负相去.正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势;负相关：当一个变量的值

2、增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势.(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关).线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关.知识点二相关关系的刻画1 .散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图.2 .样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi, yi)的相关程度，其中 r =n_xi x yi y（2）

3、样本相关系数r的取值范围为 1,1.若r>0时，成对样本数据正也关；若r<0时，成对样本数据负作关；当|r|越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0_时，成对样本数据的线性相关程度越弱.思考辨析判断正误1 .函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.（V ）2 .样本相关系数r越大，两变量的相关性越强.（X ）3 .散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性.（V ）4 .若变量x, y满足函数关系，则这两个变量线性相关.（X ）题型探究探以重点提升一一一、变量间相关关系的判断例1 （1）（多选）下列关系中，属于相关关系的是 （）A.正方形的边长与面积

4、之间的关系B.农作物的产量与施肥量之间的关系C.出租车费与行驶的里程D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系答案 BD解析 A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.（2）某种产品的广告支出费 x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）：x24568y3040605070画出散点图；从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？解 以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示.70洲 口： IH - 2 ' 4 5 H从

5、图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系. 反思感悟两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断.(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.如果 发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要 受个别点的位置的影响.跟踪训练1 (多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是 ()答案 BC解析 图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的

6、两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系.二、样本相关系数的性质例2 (1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A, B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数 r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85则哪位同学的试验结果体现A, B两变量有更强的线性相关性()A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁答案 D解析|r|越接近1,相关性越强，故选 D.(2)在一组成对样本数据为(X1,y1),(X2,y2),，(xn,yn)(n> 2,X1,X2,，Xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为1,则所有的样本点(Xi, yi)(i=1,2,，n)满足的方

7、程可以是().1 .A . y=2X+1B. y=X- 12C. y= x+ 1D. y= x答案 A解析二这组成对样本数据的样本相关系数为-1,，这一组成对样本数据 (X1, y1)，(X2 , y2),，(Xn, yn)线性相关，且是负相关.可排除B , C, D,故选A.反思感悟样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近 0,相关性越弱.(2)r的绝对值越接近1,相关性越强.跟踪训练2对变量x, y有成对样本数据（x, yi）（i= 1,2,，10）,得散点图图1;对变量u, v有成对样本数据（ui, v）（i=1,2,，10）,得散点图图2.由这两个散点图可以判断（）u与v正相关 u与v

8、负相关 u与v正相关 u与v负相关A .变量x与y正相关, B .变量x与y正相关, C.变量x与y负相关, D.变量x与y负相关, 答案 C解析 由这两个散点图可以判断，变量 x与y负相关，u与v正相关.（2）（多选）对两个变量的样本相关系数r,下列说法正确的是（）A. |r|越大，相关程度越大B. |r的小，相关程度越大C. |r趋近于0时，没有线性相关关系D. |r|越接近1时，线性相关程度越强答案 AD解析 对于A, |r|越大，相关程度越大，A正确；对于B, |r|越小，相关程度越小，B错误;对于C, |r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D, |r|越接近1时，线性相关程

9、度越强，D正确.综上，正确的是 AD.三、样本相关系数的计算及应用 例3某厂的生产原料耗费 x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应关系:x2468y30405070（1）画出（x, y）的散点图;（2）计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度.解（1）画出（x, y）的散点图如图所示.(2) x =5,y =47.5,4x2= 120,i = 144y2 = 9 900,xiyi= 1 080,4xiyi 4 x yi = 1I 1 080 一y2-5 y 2= 140.8 125= 15.8,i = 1*47.50.982 7.V 120-4 X 52 9 9

10、00-4X47.52由样本相关系数r= 0.982 7,可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高.反思感悟线性相关强弱的判断方法（1）散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强.其绝对值越大，相关性越强.（2）样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度,跟踪训练3假设关于某种设备的使用年限x（单位：年）与所支出的维修费用y（单位：万元）5xiyi = 112.3, .79i = 1有如下统计资料:x23456y2.23.85.56.57.055计算y与x之间的样本相关系数（精确到0.001,已知x2=90,y2= 140.8,= 8.9,成=

11、1.4). 2+3+4+5+6x =4,2.2+3.8+5.5 + 6.5+7.0=5.5xiyi- 5 x y = 112.3-5X 4X5=12.3, i = 15x2-5x 2=90-5X42=10,i = 15xiyi 5 x y12.312.312.312.3-j = -,= -：=y-10X 15.8 V158 72X779 1.4 X 8.90.987.随堂演炼1.（多选）下列命题正确的是（）A.任意两个变量都具有相关关系B.圆的周长与该圆的直径具有相关关系C.某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系D.当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关答案 C

12、D解析 A显然不对，B是函数关系，CD正确.2.若变量y与x之间的样本相关系数 r=- 0.983 2,则变量y与x之间（）A.不具有线性相关关系B.具有线性相关关系C.它们的线性相关关系还需要进一步确定D.不确定答案 B解析 变量y与x之间的样本相关系数 r=- 0.983 2, |r|= 0.983 2接近1,样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选 B.3 .两个变量x, y的样本相关系数 门= 0.785 9,两个变量u,v的样本相关系数r2= 0.956 8,则下列判断正确的是（ A .变量x与y正相关, B .变量x与y负相关, C.变量x与y

13、正相关, D.变量x与y负相关,变量u与v负相关，变量 变量u与v正相关，变量 变量u与v负相关，变量 变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 x与y的线性相关性较强 u与v的线性相关性较强 u与v的线性相关性较强答案 C解析 由样本相关系数 1 = 0.785 9>0知x与y正相关，由样本相关系数2= 0.956 8<0知u, v负相关，又|门|<2|, .,变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强.故选 C.4 .据两个变量x, y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关 系.（填“是”或“否”）答案否解析 图中的点分布杂乱，两个变量不具有

14、线性相关关系.5.部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元):固定资产价值33566789910工业增加值15172528303637424045根据上表资料计算的样本相关系数约为 答案 0.991 8解析 x3 +3+5+6+6+ 7+8+9+9+1010=6.6,15+ 17+25+ 28+30+36+37 + 42+40+4510=31.5.10Xi- x yi y1 .知识清单：(1)相关关系.(2)散点图.(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关.(4)样本相关系数.2 .方法归纳：数形结合.3 .常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数

15、绝对值的大小与相关程度的关系.课时对点练注立就基强化落实/基础巩固1 .若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系A.相关关系B.函数关系D,不能确定C.无任何关系答案 A2 .（多选）给出下列关系，其中有相关关系的是（）A.人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系C.苹果的产量与气候之间的关系D.森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系答案 ACD3 .两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（）A. B. C. D.答案 D解析 对于（1）,图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系；

16、对于（2）,图中的点没有明显的带状分布， 是不相关；对于（3）,图中的点成带状分布， 且从左到右是下降的， 是负相关关系.故选 D.4 .（多选）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图 如图所示，则下列说法正确的是 （）M'E要如眄屋T米m附 uOni in 物於帆A.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强答案 BCD解析由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸 点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以

17、沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故 B, C, D正确，A错误.5.变量X与丫相对应的一组成对样本数据为 (10,1), (11.3,2), (11.8,3), (12.5,4), (13,5),变 量U与V相对应的一组成对样本数据为 (10,5), (11.3,4), (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1). n表示变 量丫与X之间的样本相关系数，2表示变量V与U之间的样本相关系数，则()A .210B. 021C. 201D.门=2答案 C解析 由已知中的数据可知：第一组成对样本数据正相关，则样本相关系数大于零，第二组成对样本数据负相关，则样本相关系数小于零，故

18、选 C.6 .如图所示的两个变量不具有相关关系的有 .(填序号)r 1 7 - TX鼠；虑OX。耳。工。T3 答案解析 是确定的函数关系；中的点大都分布在一条曲线周围；中的点大都分布在一条直线周围；中点的分布没有任何规律可言，x, y不具有相关关系.7 .给出下列x, y值的数据如下：x1248y35917则根据数据可以判断 x和y的关系是.(填“确定关系” “相关关系”或“没有关 系”)答案确定关系解析 由表中数据可以得到 x, y之间是一种函数关系：y=2x+ 1,所以x, y是一种确定的 关系，即函数关系.8 .对某高三学生在连续 9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散

19、点图.下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有 .Im维1J4-'KMT . .，011 7 .r 2 .4 4 5 6 7 «芍涮流序号该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分;该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关.答案解析 散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，正确；该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于 90分，极差超过40分,正确；该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确.9.某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示

20、：年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关.解(1)散点图如图所示.(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系.10.关于两个变量 x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325求变量y与x的样本相关系数，并判断变量y与x之间是正相关还是负相关.解 x =7(21 +23 + 25 + 27+29+32 + 35)27.4,一 1,y =7(7+ 11 + 21 + 24+66+ 115+325)

21、= 81.3,7x2= 212 + 232+ 252+ 272+ 292+ 322+ 352= 5 414,i = 17xiyi = 21 X 7 + 23X 11 + 25 X 21 + 27 X 24+29 X 66+32 X 115+35 X 325= 18 542,i = 17y2= 72+112+212+242+662+ 1152+ 3252= 124 393,i = 17xiyi 7 x y18 542-7X 27.4X81.3 5 414-7X 27.42 124 393-7X 81.320.837 5.2 948.66 3 520.92.-r>0, .变量y与x之间是正相

22、关关系.（综合运用11 .两个变量y与x的模型中，分别选择了 4个不同模型，它们的样本相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）模型模型1模型2模型3模型4样本相关系数r0.980.800.500.25A.模型1 B,模型2 C.模型3 D,模型4答案 A12 .某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是 （）行本相算吊故为，.12）S in IS jo 23杵本相美系独为力切S |U Q 20 2S 期卜.（5 际本蹴第需为以 佛A. r4r20r1r3C .2403门答案 CB . 240门3D . 42031解析 根据散点图的

23、特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关,故r1>0, r3>0, r2<0, r4<0,又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故 门>r3,2<% 因此2<r4<0<3<11.故选C.13 .如图所示，有5组（x, y）数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系（A. E B . D C. B D. A答案 B解析 去掉D组数据之后，剩下的 4组数据成线性相关关系.14 .高三年级267位学生参加期末考试， 某班37位学生的语文成绩、 数学成绩与总成绩在全 年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看：（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ;（2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .答案（1）乙（2）数学解析（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；（2）由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情 况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的.第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即