探究三角形面积公式的向量表示

1、探究二角形面积的向量表示陕西省洛南中学 殷冬生、问题提出二角形面积公式的表示形式有多种，常见形式有公式1:S'AI公式2:S'Al公式3:S'Al公式4:S'Al公式5:S'AlBCBCBCBCBC111 、=aha = 2 bhb = 2 chc ( ha ,hb, hc 依次是 a, b, c 边上的咼)111absinC acsinBbcsin A222= -abc (R是ABC的外接圆圆半径)4R1(a b c)r (r是ABC的内切圆半径)1二 p(p -a)( p -b)(p -c) ( -(a b c)是 ABC 的内切圆半径)高中数学中引

2、入了平面向量后，三角形的面积又可以用向量的坐标表示。 在北师大版教材高中数学5（必修）中，第48面的例3给出了用平面向量的坐标y表示的三角形面积公式，并给出了证明过程。具体如下:例 3 如图 2-8,在 ABC 中,AB = (x,y),AC = (u,),1求证：ABC的面积S = -|x -yu|.分析：已知向量的坐标，可以求出三角形的两边2长度及夹角余弦，于是可依据上述三角形面积公式2进行证明.证明：-| Ab| | Ac |si nA - J|AB|2 I AC|2(1-cos2A) =1 '| AB| | AC |2sin2 A2 2,'| AB|2 | AC|(|

3、AB| | AC|cosA)2因为 AB = (x,y),AC =(u,),所以S = 1 J(x2 + y2)(u2 + u2)_ + yu)2 = 1 J(w _ yu)2 = ? | 净-yu |.这就得到了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式:公式6:在ABC中，若二(x1, y1), AC 二(x2, y2),则 S ABC = 1 X1y2 - X2y1 |.学生思考：1.上述三角形面积公式6推导过程中使用了哪些数学知识？公式推导的依据 是什么?2.学习了空间向量后，你能用空间向量的坐标表示三角形的面积吗?、师生探究示。1.公式6的推导过程中用到了三角形的面积公式 2、向量的数量积

4、的定义、性质极坐标表 公式6推导的依据是三角形的面积公式 2.三、问题解决2.可以仿照平面向量表示三角形的面积公式的方法，用空间向量的坐标表示三角形的面Tr在 ABC 中，若 A(>,y1,z1),A(x2,y2,z2),求ABC 的面积 S.|2 | AC|2sin2 A解析：1| AB| | Ac |si n A二 1 JAB2 2=2 , |AB|2 |AC|2(1-cos2A)二 2 J2 2|2 | AC |2 -(| AB| | AC|cosA)t AB =(为,yi,zj, AC 二(X2,七述二 S = ；(xfyj zf)(x| y； zf) - MX? y°

5、2 z)2二 1、X2y； x；y； y12z|x x；zf - 2玄2%2 - 2玄221勺2 ；(咅丫2 - X2W)2 (%勺 -丫2可)2 (X -乂2©)2即 SABc*(X1y2-X2y1)2(也-以)2 皿-仙2公式 7:在 ABC 中，若 AB = (xysZjAC = (x2,y2,z2),则 ABC 的面积为S.abc 二 J、(x2X2%)2W1Z2-丫2乙)2(X1Z2-X2Z1)2.四、应用举例已知心 ABC 的顶点 A (1,1,1), B (2,2,2), C (3,2,4) 1 求心 ABC 的面积.分析：可直接套用公式 乙 也可先求两边及其夹角余弦，再代公式 2求解.二 cos A = cos :解解 ：AB= (1,1,1),AC= (2,1,3),二 c =|AB |= 73,b=|TC 卜 TT4,7b 7C = 6， Ab ac 6.6AB, AC =| AB| AC | 后 714 J7T Oc As,. si nA=2_±!7 277ABC的面积为