二次函数的三种解析式

1、二次函数解析式常见的三种表示形式：二次函数解析式常见的三种表示形式：(1)一般式一般式(2)顶点式顶点式(3)交点式交点式)0(2acbxaxy),)0()(2kmakmxay顶点坐标（)0 ,)(0 ,2)0)()(2121xxXcbxaxyaxxxxay轴交于两点（轴交于两点（与与条件：若抛物线条件：若抛物线( 1 )图象过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点 一一: 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件满足下列条件,求求函数的解析式函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象过图象过A(0，1) 、

2、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点122211100222cbacbacba132cbay= -2x2+3x+1xyo解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个交点轴另一个交点C应应为（为（3，0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -(x-1)(x-3)（2）图象经过）图象经过A（1，0）、）、B（0，-3），且对称轴是），且对称轴是直线直线x=21AB -3C32（4）图象和）图象和x轴交于（轴交于（-2，0）、）、（4，0）两点且顶点为（）两点且顶点为（1，-9/2）解：由于

3、题中告诉了图象与解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉轴的交点坐标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用交点式又可以用顶点式了顶点坐标，所以既可以用交点式又可以用顶点式来设其解析式来设其解析式设交点式为：设交点式为：y=a(x+2)(x-4)-9/2=a(1+2)(1-4)顶点为（顶点为（1，-9/2） a= -1/2y= -1/2(x+2)(x-4)（5）图象顶点是）图象顶点是M（1，16）且与）且与x轴交轴交于两点，已知两交点相距于两点，已知两交点相距8个单位。个单位。解：解： 顶点顶点M坐标为（坐标为（1，16），对称轴为），对称轴为x=1，又交点，又交点A、B关于直线关于直线x=1对

4、称，对称，AB=8A（-3，0）、）、B（5，0）此函数解析式可设为此函数解析式可设为 y=a（x-1）2+16 或或y=a（x+3）（）（x-5）xyo116AB- 35二二:求满足下列条件的抛物线的解析式求满足下列条件的抛物线的解析式(1)经过点经过点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴轴上截得的线段长为上截得的线段长为2解：解： B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或）或C（1，0）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（）（x- x2）当抛物线经过当抛物线经过

5、A、B、C三点三点时，解析式为时，解析式为y=a（x+1）（x+3）又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）当抛物线经过当抛物线经过A、B、C 三点时，解析式为三点时，解析式为y=a（x+1）（）（x-1）xyoB-1- 31CCa=154y= （x+1）（）（x+3）154(2)交交x轴于轴于A（x1，0），），B（x2，0），顶点为），顶点为P（1，-4），且），且x12+x22=10解： =1221xx =221xx x12+x22=10 x1= -1 ; x2=3 A（-1，0），），B（3，0）抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=a（x+ 1）（）（x- 3

6、）又抛物线的顶点为抛物线的顶点为P （1，-4）-4=a（1+1）（）（1- 3）a=1y = （x+ 1）（）（x- 3）xyo1-4AB-13P过点（过点（2，4），且当），且当x=1时，时，y有最值有最值6，求，求函数解析式。函数解析式。已知抛物线已知抛物线经过经过 A，B，C 三点，当三点，当时，其图象如图时，其图象如图所示。所示。 求抛物线的解析式。求抛物线的解析式。 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位位AB时宽为时宽为20米，水位上升米，水位上升3米就达到警戒线米就达到警戒线CD，这时水面宽度为，这时水面宽度为10米米.(1)在如图的

7、坐标系中求出此抛物线的表达式在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式;(2)若洪水到来时若洪水到来时,水位以每小时水位以每小时0.2米的速度上升米的速度上升,从正常水位开始从正常水位开始,再持续多长时间再持续多长时间,会达到共拱顶会达到共拱顶?xyoCDAB课堂小结：课堂小结：1. 抛物线的三种解析式？抛物线的三种解析式？3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？各种解析式对称轴、顶点坐标求法？2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？4. 二次函数的最值的求法？二次函数的最值的求法？5. 抛物线的平移规律？抛物线的平移规律？6. 抛物线与抛物线与x轴两交点距离

8、的求法？轴两交点距离的求法？y=ax2+bx+c(a0）一般式)424,2(abacababx2a , b同号同号a , b异号异号C0C0C=0 经过原点经过原点xyoCxyoCxyoCxyoCxyoC顶点坐标顶点坐标对对 称称 轴轴与与y轴正半轴相交轴正半轴相交与与y轴负半轴相交轴负半轴相交对称轴在对称轴在y轴的左侧轴的左侧对称轴在对称轴在y轴的右侧轴的右侧与与y轴交点的求法：令轴交点的求法：令x=0,得到得到y=c 即（即（0，c）与与y轴始终有一个交点（轴始终有一个交点（0，c）如果如果y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴的交点为轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么那么A

9、B=|x1-x2|=|axyoCx1x2xyoh-hk-k(h, k)若若a0, h0, k0把把y=ax2的图象向右平移的图象向右平移h个单位得到个单位得到向左平移向左平移h个单位得到个单位得到向上平移向上平移k个单位得到个单位得到向下平移向下平移k个单位得到个单位得到向右平移向右平移h个单位并向上平移个单位并向上平移k个单位得到个单位得到y=a(x+h)2y=ax2+ky=ax2-ky=a(x-h)2+ky=a(x-h)2交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2)对称轴对称轴221xxx二次函数图象与二次函数图象与x轴的交点为轴的交点为 A(x1,0), B(x2,0);AB=|x1-x2|顶点横坐标顶点横坐标=221xxxyox2x1P221xx 221xxxABx1x20, 点点A,点点B在原点同侧在原点同侧x1x20, x=h时时,y有最小值为有最小值为kxh表示在对称轴的左侧表示在对称轴的左侧当当k=0时顶点在时顶点在x轴上轴上khxyo当当ah表示在对称轴的右侧表示在对称轴的右侧当当h=0时时,顶点在顶点在y轴上；轴上；xyohkkhh与与x轴交点的求法：轴交点的求法：令令y=0,得到得到a