带通采样定理

1、.带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为f H ，下截止频率为f L ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率f H ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。 定理3-2 带通抽样定理：一个频带限制在( fL , f H ) 内的时间连续信号x( t) ，信号带宽Bf Hf L ，令 MfH / BN ，这里 N 为不大于f H / B 的最大正整数。如果抽样频率f s 满足条件2 fHf s2 f L ，0m N 1（ 3.1-9 ）m 1m则可以由抽样序列无失真的重建原始信号x(t ) 。对信号 x(t) 以频率 f s 抽样

2、后，得到的采样信号x( nTs ) 的频谱是 x(t ) 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为 f s ，如图 3-3 所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号x(t ) ，必须选择合适的延拓周期 （也就是选择采样频率） ，使得位于 ( f L , f H ) 和 ( f H ,f L ) 的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑( f L , f H ) 的频带分量不会出现混叠的条件。在 抽 样 信 号 的 频 谱 中 ， 在 ( f L , f H )频带的两边，有着两个延拓频谱分量：( f Hmf s, f

3、L mf s ) 和 ( f H(m1) f s ,f L(m1) fs ) 。为了避免混叠， 延拓后的频带分量应满足f Lmf sf L（ 3.1-10）f H (m1) f sf H（ 3.1-11）综合式（ 3.1-10）和式（ 3.1-11）并整理得到2 f Hf s2 f L（ 3.1-12）m1m这里 m 是大于等于零的一个正数。如果m 取零，则上述条件化为f s2 f H（ 3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。m 取得越大，则符合式（ 3.1-12）的采样频率会越低。 但是 m 有一个上限， 因为 fs2 fL ，f s2B 。m而为了避免混叠，延拓周期要大

4、于两倍的信号带宽，即因此m2 f L2 f Lf L（ 3.1-14）f s2BB由于 N 为不大于 f H / B 的最大正整数，因此不大于f L/ B 的最大正整数为N 1，故有0 mN 1x(t) ，采样频率综上所述，要无失真的恢复原始信号f s 应满足2 f Hf s2 f L， 0 m N 1（ 3.1-15）m1m.X ( f )ff Hf L0fLf HX s ( f )f H(m1) f sf Lmfsf Lmf sf H(m1) f sf sf sfHfL0fL f Hf图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。作

5、为一个特例，我们考虑f HNB（ N1 ）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。若按低通抽样定理，则要求抽样频率f s 2 NB ，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。根据带通抽样， 若将抽样频率取为f s2 B（ m值取为 N 1 ），抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理f s 2NB 的要求。图3-4所示为f H 3B ， f s2B 时抽样信号的频谱。X ( f )f-3 B -2B02B3BX( ffs)f-B04B 5BX ( ffs)f-5B-4B0BX s( f )

6、-B0Bf图 3-4f H 3 B ， f s2 B 时的抽样频谱在带通抽样定理中，由于 0 M1 ，带通抽样信号的抽样频率在2B 到 4B 之间变化，如图3-5 所示。.f s5BM/N 13B1/ 21/ 31/ 41 / 52BB05B 6Bf HB2B3B4B图 3-5带通抽样定理由以上讨论可知， 低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。通常， 当带通信号的带宽B 大于信号的最低频率f L 时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz 3400Hz ，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为6800Hz 。由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz 以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语