幂函数及函数零点

1、.幂函数、函数与方程一、要点回顾：1. 幂函数的定义：要 求 掌 握 y x ， y x2 ， y x3 ， y x1/ 2 ， y x 1 这 五个常用幂函数的图象 . 并画出图象。2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0时，图象过定点；在 (0,) 上是函数 .（2）当0时，图象过定点；在 (0,) 上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.（3 ）幂函数 y x 的图象，在第一象限内，直线x1 的右侧，图象由下至上，指数.y 轴和直线 x1之间，图象由上至下，指数.3. 方程 f ( x)0 有实根函数 yf (x) 的图像与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零

2、点。4. 零点定理：如果函数yf ( x) 在区间 a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0 ，那么，函数 yf (x) 在区间（ a,b ）内有零点，即存在c（ a,b ） , 使得 f (c)0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根 。函数模型：几类函数模型及其增长差异（ 1）几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x) ax b(a,b为常数 , a 0)二次函数模型f (x)ax2bx c(a,b,c为常数 , a0)指数函数模型f (x)baxc( a,b, c为常数， a 0且 a1)对数函数模型f (x)b log a x c( a,

3、b, c,为常数 a0且 a 1)幂函数模型f (x)axnb(a, b为常数， a 0)2、解函数应用问题的步骤（四步八字）（ 1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（ 2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（ 3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（ 4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 。二、例题分析：例 1、已知函数y( m2m1)xm2 2m 1 是幂函数，求此函数的解析式练习：若函数f (x)(a29a19) xa 9 是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式;.例 2、（ 1）方程lg

4、 xx3的解所在区间为（）A (0,1)B(1,2)C (2,3)D (3,)fxxx4 ， x0,xx4 ， x0.则函数 fx 的零点是（ 2）、已知函数例 3、若函数 yf ( x) 在区间 a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若 f (a) f (b)0，不存在实数 c(a, b) 使得 f (c)0 ；B若 f (a) f (b)0 ，存在且只存在一个实数c (a, b) 使得 f (c)0；C若 f (a) f (b)0，有可能存在实数 c( a, b) 使得 f (c)0 ；D若 f (a) f (b)0 ，有可能不存在实数c( a,b) 使得 f (c

5、)0；1x 2练习：设函数 yx3与 y的图像交点为x0 , y0 ，则 x0 所在的区间是（）2A 0,1B.1,2C 2,3D.3,4例 3、某地西红柿从2 月 1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q ( 单位：元 / 102 kg ) 与上市时间 t ( 单位：天 ) 的数据如右表：（1）根椐上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间 t 的变化关： Q at b ； Qat 2bt c ； Qa bt； Q a logb t 。y C（ 2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。练习：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时

6、间变化的情况由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法： 前 5 分钟温度增加的速度越来越快；前 5 分钟温度增加的速度越来越慢；O5t 分 5 分钟以后温度保持匀速增加；5 分钟以后温度保持不变。其中正确的说法是_。作业：1下列函数中既是偶函数又是( ,0) 上是增函数的是 （）43A y x 3B y x 2C y x 2D y x2如果幂函数f ( x)x 的图象经过点 (2,2 ) ，则 f (4) 的值等于（） .2A. 16B. 2C.1D.116214;.3函数 f ( x)12x 6 的零点一定位于区间（）xA 、（3,4 ）B、（2,3 ） C、（ 1,2 ）D、（5

7、,6 ）4函数 f ( x)x22 x 的零点个数是（）、3个、2个、1 个、0 个5某学生离开家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下列图中，y 表示离校的距离，x 表示出发后的时间，则较符合学生走法的是（）yyyyOAxOBxOCxODx6今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最好的一个是（）A vlog 2 tB vlog 1 tC vt 21D v2t27 题227若幂函数 yx在第一象限内的图象如图所示，则的取值可能为()1A1B 2C 3D. 22218设 T

8、1 13，T13，T1 3 ，则下列关系式正确的是()22532A T1<T 2<T 3B T3<T 1<T 2CT2<T 3<T 1D T2<T 1<T 39幂函数yxa，yxb，yxc， yxd在第一象限的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是()A a>b>c>dB d>b>c>aC d>c>b>aD b>c>d>a10设函数f ( x)x3( 1)x2 零点为 x0 , 则 x0所在的区间是 ()2A (0,1)B (1,2)C (2,3)D (3,4)11函

9、数 f ( x)log 2 x2x 1 的零点必落在区间（）A.1 , 1B.1 , 1C.1 ,1D.(1,2)8442212函数 fxexx2 的零点所在的一个区间是（）A 2,1B 1,0C 0,1D 1,24x，x ，13函数 f ( x)41的图象和函数 g ( x)log 2x 的图象的交点个数是（）x2，x14x 3;.A 4B3C2D114设 m， k 为整数，方程mx2kx20 在区间（ 0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ） -8（ B ）8(C)12(D) 1315已知对于任意实数x，函数 f(x) 满足 f( x) f(x) 若 f(x) 有 2 009

10、 个零点，则这2 009 个零点之和为_16已知函数yf ( x) 和 yg( x) 在 2,2 的图象如下所示：给出下列四个命题：方程 f g( x)0 有且仅有6 个根方程 g f ( x)0 有且仅有 3 个根 方程f f ( x)0 有且仅有 5 个根方程 g g( x)0有且仅有 4 个根其中正确的命题是（将所有正确的命题序号填在横线上）. 17已知定义在 R 上的奇函数f ( x) ，满足 f ( x 4)f ( x) ,且在区间 0,2 上是增函数 ,若方程 f (x) m(m > 0)在区间8,8上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2x3x

11、4_.-818已知函数 f ( x)2 ,x2的方程 f ( x)k 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是 _x1)3 , x若关于 x(x219直线 y 1 与曲线 yx2xa 有四个交点，则a 的取值范围是。20 (2012 ·天津 ) 已知函数 y| x21| 的图象与函数 ykx2的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是x1_log2 x 1 ， x 0，若函数 g (x)f ( x)m 有 3 个零点 ,则实数 m 的取值范围是 _21已知函数f ( x) x2 2x， x0，22R上的偶函数yf ( x)在,0上递增，函数f (x)的一个零点为1,求满足f (log 1 x) )0的 x定义在29的取值集合23已知函数f ( x)2xm 且 f (4)7 (1) 求 m 的值； (2)求 f (x) 的单调区间x224已知二次函数f (x)x2( 2t1) x12t ，（ 1）求证：对任意 tR ，方程 f ( x)1必有实数根； （ 2）;.若 1t3，求证：方程f (x)0 在区间（ -1,0 ）及（ 0，1 ）上各有一个实