平面与空间向量ppt课件

1、第五章 平面与空间向量1.1.向量的有关概念向量的有关概念 (1)(1)既有大小又有方向的量叫向量，长度为既有大小又有方向的量叫向量，长度为0 0的向量叫零向的向量叫零向量，长度为量，长度为1 1个单位长的向量，叫单位向量个单位长的向量，叫单位向量. . (2)(2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量. .规定零向量与任一向量平行规定零向量与任一向量平行. . (3)(3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量. . 2.2.向量的加法与减法向量的加法与减法 (1)(1)求两个向量和的运算，叫向量的加法

2、，向量加法按平行求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行四边形法则或三角形法则进行. .加法满足交换律和结合律加法满足交换律和结合律. . (2)(2)求两个向量差的运算，叫向量的减法求两个向量差的运算，叫向量的减法. .作法是连结两向作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量量的终点，方向指向被减向量. . 课课 前前 热热 身身1 1BC1.已知已知a,b方向相同，且方向相同，且|a|=3，|b|=7，那么，那么|2a-b|=_. 2.如果如果AB=a,CD=b，则，则a=b是四点是四点A、B、D、C构成平行四构成平行四边形的边形的( )(A)充分不必要条件

3、充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)充要条件充要条件 (D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 3.a与与b为非零向量，为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是成立的充要条件是( ) (A)a=b (B)ab (C)ab (D)|a|=|b| CB4.下列算式中不正确的是下列算式中不正确的是( ) (A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC (C) 0AB=0 (D)(a)=()a 5.已知正方形已知正方形ABCD边长为边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则则a+b+c的模等于的模等于( ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2 【解题

4、回顾】本例主要复习向量的基本概念【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念. .向量的基本概向量的基本概念较多，因而容易遗忘念较多，因而容易遗忘. .为此，复习时一方面要构建良好的为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想类比和联想. .引导学生在理解的基础上加以记忆引导学生在理解的基础上加以记忆. .1.给出下列命题：给出下列命题：假设假设|a|=|b|，则，则a=b；若若A，B，C，D是不共线的四点，则是不共线的四点，则AB= DC是四边形是四边形ABCD为平行四为平行四边形的充要条件；边形的充要

5、条件；若若a=b,b=c，则，则a=c；a=b的充要条的充要条件是件是|a|=|b|且且ab；若若ab,bc，则，则ac. 其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_，【解题回顾】解法【解题回顾】解法1系应用向量加、减法的定义直接求解；解系应用向量加、减法的定义直接求解；解法法2则运用了求解含有未知向量则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法的方程组的方法2.在平行四边形在平行四边形ABCD中，设对角线中，设对角线AC=a,BD=b，试用，试用a,b表示表示AB，BC.3 . 如 果如 果 M是线段是线段AB的 中 点 ，的 中 点 ，求 证 ： 对求 证 ： 对于 任 意 一于 任

6、意 一点点O，有，有 OM= (OA+OB)21【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟领悟. .本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想. . 【解题回顾】【解题回顾】(1)以上

7、证明实际上给出了所证不等式的几何以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释；解释； (2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想. 4.对任意非零向量对任意非零向量a,b，求证：，求证：|a|-|b|ab|a|+|b|. 【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为为|AB|=|BC|，ABBC5.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，中，B=90,AB=(1，3)，分别，分别求向量求向量BC、AC2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不

8、重复，不遗漏.1.在向量的有关习题中，零向量常被忽略在向量的有关习题中，零向量常被忽略(如能力如能力思维思维方方法法1.中中)，从而导致错误，从而导致错误2共线定理共线定理.向量向量b与非零向量与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个共线的充要条件是有且只有一个实数实数，使得，使得b=a1.实数与向量的积的概念实数与向量的积的概念 .(1)实数实数与向量与向量a的积记作的积记作a，其长度，其长度|a|=|a|；方向规定如下：；方向规定如下：当当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相反；当的方向相反；当=0时，时，a=0. (2)设设、为

9、实数，则有如下运算律：为实数，则有如下运算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)=a+b3.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1,2，使，使a=1e1+2e2 ,其中其中e1，e2叫基底叫基底.1.设命题设命题p：向量：向量b与与a共线，命题共线，命题q:有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得b=a,则则p是是q的的( ) (A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)充要

10、条件充要条件 (D)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 2.给出下列命题：给出下列命题：若若a,b共线且共线且|a|=|b|，那么，那么(a-b)(a+b)；已已知知a=2e,b=3e，则，则a=3b/2；若若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且，且e1e2，那么那么|a|=3|b|；在在ABC中，中，AD是是BC上的中线，则上的中线，则AB+AC=2AD其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_3.(1)在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=a,AD=b,那么用那么用a和和b表示向量表示向量AC+DB为为( ) (2)已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线交于点

11、的对角线交于点E，设，设AB=e1，AD=e2，则用则用e1, e2表示表示ED的表达式为的表达式为( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b 课课 前前 热热 身身B，ABD ba214.平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点，若点C满足满足OC=OA+OB，其中，其中a、R，且，且+=1,则点则点C的轨迹方程为的轨迹方程为( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=05.设设P、Q是四边形是四边形ABCD对角线对角线AC、BD中点，中点

12、，BC=a,DA=b，那，那么么PQ=_ 1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不共线， (1)若A、B、C三点共线，求k值； (2)若A、B、D三点共线，求k值. 【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题.2.设设ABC的重心为的重心为G，点，点O是是ABC所在平面内一点，求证：所在平面内一点，求证： OG= (OA+OB+OC)31 【解题回顾】当点O是ABC重心时，有OA+OB+OC=0；反过来，若P是ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则P必为ABC的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB

13、-OP)+(OC-OP)=0，所以OP= (OA+OB+OC)，故P是ABC的重心313.已知已知OA、OB不共线，设不共线，设OP=aOA+bOB，求证：，求证：A、P、B三三点共线的充要条件是点共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是是AB中点，则有中点，则有OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题利用本题结论，可解决一些几何问题.214.E是是ABCD的边的边AB上一点，上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线与对角线AC交交于于F，求，求AF/FC.(用向量知识解答用向量知识解答) 【解题回顾】利用例【解题回

14、顾】利用例3结论，本题还可这样：结论，本题还可这样： 设设AE=e1，AD=e2，D、F、E共线，共线，可设可设AF=e1+(1-)e2，又易知又易知AC=3e1+e2根据根据A、F、C三点共线可得三点共线可得=3/4，故，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略另外还可以用坐标运算的方法来解，略. 5.如图，已知梯形如图，已知梯形ABCD中，中，ADCB，E，F分别是分别是AD，BC边上边上的中点，且的中点，且BC=3AD，设，设BA=a,BC=b，以，以a,b为基底表示为基底表示EF，DF，CD. 【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用【解题回顾】本题实际上是平面

15、向量的基本定理的应用.由于由于BA与与BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来们表示出来. 1.很多人认为很多人认为“若若ab，则存在唯一实数，则存在唯一实数使使ba.”这是典型这是典型错误错误.事实上，它成立的前提是事实上，它成立的前提是a0.同样，在向量基本定理中，同样，在向量基本定理中，若若e1，e2是共线向量，则不能用是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向表示与它们不共线的向量量. 2.在能力在能力思维思维方法方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件

16、和结论清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了写成了0. 1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 (1)a(x，y)叫向量的坐标表示，其中叫向量的坐标表示，其中x叫叫a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫叫a在在y轴上的坐标轴上的坐标. (2)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，R. 则则a+b(x1+x2，y1+y2)，a-b(x1-x2，y1-y2)，a(x1，y1) (3)ab(b0)的充要条件是的充要条件是x1y2-x2y10 2.线段的定比分点线段的定比分点 (1)定义：设定义：设P1、P2是直线是直线l上的两点，点上的两点，点P是是

17、l上不同于上不同于P1、P2的任一点，则存在一个实数的任一点，则存在一个实数，使，使P1PPP2，叫点叫点P分有向线段分有向线段P1P2所成的比，点所成的比，点P叫定比分点叫定比分点. (2)公式：设公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1PPP2，那么，那么1yyy1xxx2121，当当1时，时， 为中点坐标公式为中点坐标公式. 2yyy2xxx2121，3.平移平移 设原坐标设原坐标P(x，y)按向量按向量a(h，k)平移后得到新坐标平移后得到新坐标那么那么y，xPkyyhxx1.设设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点是不同的两点，点P(x，y)的坐的坐标由公式

18、标由公式 确定确定.当当R且且-1时有时有( ) (A)P表示直线表示直线AB上的所有点上的所有点 (B)P表示直线表示直线AB上除去上除去A的所有点的所有点 (C)P表示直线表示直线AB上除去上除去B的所有点的所有点 (D)P表示直线表示直线AB上除去上除去A、B的所有点的所有点 1yyy1xxx2121，课课 前前 热热 身身C2.若对若对n个向量个向量a1、a2、an，存在，存在n个不全为零的实数个不全为零的实数k1、k2、kn，使得，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称成立，则称向量向量a1、a2、an为为“线性相关线性相关”，依此规定，能使，依此规定，能使a1=(1,0)，

19、a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关的实数线性相关的实数k1、k2、k3依次可取的值是依次可取的值是 _(写出一组数值即可，不必写出一组数值即可，不必考虑所有情况考虑所有情况) -4，2，13.三点三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是共线的充要条件是( )(A)x1y2-x2y10 (B)(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)(y3-y1)(C)(x2-x1)(y3-y1)(x3-x1)(y2-y1) (D)x1y3-x3y10 CB4.若向量若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则，则c等于等于( ) baA2321.ba

20、B2321.baC2123.baD2123.5.函数函数y=x2的图象按向量的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数平移后得到的图象的函数表达式为表达式为( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1 C【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i(1，0)，j(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用位向量，用i、j表示向量时，表示向量时，xi+yj中的中的x、y是惟一的，是惟一的，即为向量的即为向量的(直角直角)坐标

21、坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等. 1.设设x、y为实数，分别按下列条件，用为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示的形式表示c. (1)若给定若给定a(1，0)，b(0，1)，c(-3，-5)； (2)若给定若给定a(5，2)，b(-4，3)，c(-3，-5). 【解题回顾】设【解题回顾】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若，若b0，则，则ab的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数，使得，使得ab.用坐标形式来用坐标形式来表示就是表示就是abx1y2-x2y10.

22、而而x1/x2y1/y2是是ab的的充分不必要条件充分不必要条件. 2.已知在梯形已知在梯形ABCD中，中，ABCD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若，若AD(BC-2AB)，求，求D点坐标点坐标. 3.已知三点已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段，在线段AB上取上取一点一点P，过，过P作直线与作直线与BC平行交平行交AC于于Q，APQ与梯形与梯形PQCB的面积之比是的面积之比是4 5，求点，求点P的坐标的坐标. 【解题回顾】一般地，函数【解题回顾】一般地，函数yf(x)的图象按的图象按a(h，k)平平移后所得图象的解析式为移后所得图象的解析式为y-kf(

23、x-h)，即，即yf(x-h)+k.4.若函数若函数ylog2(2x-4)+1的图象按的图象按a平移后图象的解析式为平移后图象的解析式为ylog22x，求，求a. 【解题回顾】此题【解题回顾】此题(2)是一道开放题，求解开放题的一般是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立途径是假定命题成立.解出存在的值解出存在的值(如无解，则不存在如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在再验证求出的解，如不矛盾，则存在. 5.已知点已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及及OPOA+tAB，试，试问：问： (1)t为何值时，为何值时，P在在x轴上轴上?在在y轴上轴上?P在第二象限在

24、第二象限? (2)四边形四边形OABP能否成为平行四边形能否成为平行四边形?若能，求出相应的若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由值；若不能，请说明理由. 1.利用定比分点解题时，一定要先把定比利用定比分点解题时，一定要先把定比先明确，先明确，的意的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错. 2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系间关系. 2.2.平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律 (1)ab(1)abba (2)(a)bba (2)(a)b(ab)(a

25、b)a(b) a(b) (3)(a+b)c(3)(a+b)cac+bc ac+bc 1.1.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 (1)(1)设两个非零向量设两个非零向量a a和和b b，作，作OAOAa a，OBOBb b，那么，那么AOBAOB叫叫a a与与b b的夹角，其范围是的夹角，其范围是00，|b|cos|b|cos叫叫b b在在a a上的投影上的投影. . (2)|a|b|cos(2)|a|b|cos叫叫a a与与b b的数量积，记作的数量积，记作abab，即，即abab|a|b|cos. |a|b|cos. (3)(3)几何意义是：几何意义是：abab等于等于|a|a|

26、与与b b在在a a方向上的投方向上的投影影|b|cos|b|cos的积的积. . 3.平面向量的数量积的性质平面向量的数量积的性质 设设a、b是非零向量，是非零向量，e是单位向量，是单位向量，是是a与与e的的夹角，那么夹角，那么 (1)eaae|a|cos(2)ab ab0(3)ab|a|b|(a与与b同向取正，反向取负同向取正，反向取负) (4)aa|a|2 或或 |a|aa(5)(6)|ab|a|b| babacos4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示 (1)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y

27、21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)设设a起点起点(x1，y1)，终点，终点(x2，y2)那么那么222221212121yxyxyyxxcos222121y-yx-xa1.若向量若向量a、b的坐标满足的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则，则ab等于等于( ) (A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1 2.若若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，那么量都不共线，那么( ) (A)(a)2(b)2=(ab)2 (B)|a+b|a-b| (C)(ab)c-(bc)a与与b垂直垂直 (D)(ab)c-(bc)a=0

28、3.设有非零向量设有非零向量a, b, c，则以下四个结论，则以下四个结论 (1)a(b+c)=ab+ac； (2)a(bc)=(ab)c; (3)a=bac=bc；(4)ab=ab.其中正确的是其中正确的是( ) (A)(1)、(3) (B)(2)、(3) (C)(1)、(4) (D)(2)、(4) AC A4.设设a=(1,0),b=(1,1)，且，且(a+b)b，则实数，则实数的值是的值是( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2 5.知知|a|10，|b|12，且，且(3a)(b/5) -36，则，则a与与b的夹角是的夹角是( ) (A)60 (B)120 (C)135 (D

29、)150 DB【解题回顾】利用夹角公式待定【解题回顾】利用夹角公式待定n，利用垂直充要条，利用垂直充要条件求件求c. 1.已知已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与与b的夹角是的夹角是45(1)求求b； (2)若若c与与b同向，且同向，且c-a与与a垂直，求垂直，求c2.已知已知xa+b，y2a+b且且|a|b|1，ab. (1)求求|x|及及|y|；(2)求求x、y的夹角的夹角. 【解题回顾】【解题回顾】(1)向量模的计算方法常用的有两种，向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用一是用距离公式，一是用a2|a|2把模的问题转化把模的问题转化为平面向量的数量积的问题为平面向量的

30、数量积的问题.(2)向量夹角的取值范围是向量夹角的取值范围是0，. 【解题回顾】本题中，通过建【解题回顾】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图立恰当的坐标系，赋予几何图形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决决.应深刻领悟到其中的形数结合思想应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁与简与简. 3.如图，如图，P是正方形是正方形ABCD的对角线的对角线BD上

31、一点，上一点，PECF是矩形，用向量法证明：是矩形，用向量法证明：(1)PAEF；(2)PAEF. 【解题回顾】这是一道关于向量与解析几何的综合【解题回顾】这是一道关于向量与解析几何的综合题，解题的关键在于将问题合理地转化题，解题的关键在于将问题合理地转化 ，回避了，回避了复杂的计算复杂的计算. .4.4.已知已知a=(x,0),b=(1,y),a=(x,0),b=(1,y),且且(a+ b)(a- b).(a+ b)(a- b). (1)(1)求点求点P(x,y)P(x,y)的轨迹方程的轨迹方程C C的方程的方程. . (2)(2)若直线若直线l:y=kx+m(m0)l:y=kx+m(m0)

32、与曲线与曲线C C交于交于A A、B B两点，两点，D(0D(0，1)1)，且有，且有ADAD= =BDBD, ,试求实数试求实数m m 的取值范的取值范围围. .335.已知向量已知向量a=(x,x-4)，向量，向量b=(x2,3x/2),x-4，2 (1)试用试用x表示表示ab (2)求求ab的最大值，并求此时的最大值，并求此时a、b夹角的大小夹角的大小. 【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用于一体，考查知识的综合应用.【解题回顾】【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式，是用数量积给出的三角形面积公式，

33、(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式则是用向量坐标给出的三角形面积公式. 6.在在ABC中，中，(1)若若CAa，CBb，求证，求证ABC的面积的面积 (2)若若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )，求证：，求证：ABC的面积的面积 2221babaS122121babaS1数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即结合律及消去律不成立，即a(bc)(ab)c，abac不能推出不能推出bc，除非是零向量，除非是零向量. 2ab的充要条件不能与的充要条件不能与ab的充要条件混淆，的充要条件混淆，夹角的范围是夹角的范围是0，不

34、能记错，不能记错.求模时不要忘了开求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因方，以上是造成不全对的主要原因.1.若若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为是空间两个非零向量，它们的夹角为(0)，则把，则把a、b的数量积定义为的数量积定义为|a|b|cos，记作，记作ab.即即ab=|a|b|cos. 2.ab=ba，(a+b)c=ac+bc3.若若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，那么，那么 ab=x1x2+y1y2+z1z2222222212121212121zyxzyxzzyyxxbabacos1.在以下四个式子：在以下四个式子：a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|

35、a|b|中正确的有中正确的有( ) (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)0个个2.若若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果，如果a与与b为共线向量，那么为共线向量，那么( ) (A)x=1 , y=1 (B)(C) (D)3.已知四边形已知四边形ABCD中，中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线，对角线AC，BD的中点分别为的中点分别为E，F，则，则EF=_2121yx，2361yx，2361yx，课课 前前 热热 身身AC3a+3b-5c4.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出四个命题：中，下面给出四个命题： (A1A+A1D1+A1B1

36、)2=3(A1B1)2A1C(A1B1-A1A)=0.AD1与与A1B的夹角为的夹角为60此正方体体积为：此正方体体积为：|ABAB1AD| 则错误命题的序号是则错误命题的序号是_(填出所有错误命题的序号填出所有错误命题的序号). 5.若若A、B、C三点在同一条直线上，对空间任意一点三点在同一条直线上，对空间任意一点O，存在存在m、nR，满足，满足OC=mOA+nOB，则，则m+n=_. 、11.已知三棱锥已知三棱锥OABC中，中，G为为ABC的重心，的重心，OA=a，OB=b，OC=c，试用，试用a , b , c 来表示来表示OG. 【解题回顾】【解题回顾】(1)此例用到的常用结此例用到的

37、常用结论为：若论为：若AD是是ABC的中线，则有的中线，则有(2)此例是常用结论即重心定理：当此例是常用结论即重心定理：当OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：坐标公式为：ACABAD21333321321321zzzyyyxxxG，2.已知正三棱锥已知正三棱锥PABC中，中，M，N分别是分别是PA，BC的中的中点，点，G是是MN的中点的中点.求证：求证：PGBC. 【解题回顾】要证【解题回顾】要证PGBC，只，只要证要证PGBC=0，应选择适当的基，应选择适当的基底：底：PA，PB，PC. 3.在正方体在正方体ABCDA1B1C1

38、D1中，中，AC交交BD于于O，G为为CC1中点中点. 求证：求证：A1O平面平面GBD. 【解题回顾】欲证【解题回顾】欲证A1O平面平面GBD，只要证，只要证A1O垂直于面垂直于面BDG中两条相交直线，易看出中两条相交直线，易看出A1OBD，而，而OG与与A1O垂垂直较为易证直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明注：此题亦可用空间坐标来证明). 4.沿着正四面体沿着正四面体OABC的三条棱的三条棱OA，OB，OC的方向的方向有大小等于有大小等于1，2和和3的三个力的三个力f1，f2，f3，试求此三个力，试求此三个力的合力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦的大小以及此合力与三条棱

39、所夹角的余弦. 【解题回顾】引入【解题回顾】引入OA、OB、OC方向上的三个单位向量方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键是本题得到解决的关键. 5已知三角形的顶点是已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)试求这个三角形的面积试求这个三角形的面积. 【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的“向量型向量型面积公式面积公式.到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢的方法呢? 知知|a|=4，|b|=5，|a+b|=21，求，求ab 【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，

40、使始点【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角重合，这时这两个向量间的夹角 才是所要求的才是所要求的角本题中角本题中ABC不是不是a与与b的夹角，而是的夹角，而是-a与与b的夹角的夹角(试画图观察试画图观察)，即，即a与与b的夹角应是的夹角应是ABC的补角，的补角，所以所以323x0-102154cosbaba2.向量向量a与与b平行的充要条件为：平行的充要条件为：|ab|=|a|b|. 1向量向量a与与b夹角夹角满足：满足： 222222212121212121coszyxzyxzzyyxx若若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2那么那么3.向量向量

41、a与与b垂直的充要条件为：垂直的充要条件为： ab=0即即x1x2+y1y2+z1z2=0 1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( ) (A)互不相交互不相交(B)至多有两条直线相交至多有两条直线相交(C)三线相交于一点三线相交于一点(D)两两相交得三个交点两两相交得三个交点课课 前前 热热 身身C2.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为中棱长为a，M，N分别分别为为A1B和和AC上的点，上的点，A1M=AN= a，则，则MN与平面与平面BB1C1C的位置关系是的位置关系是( )(A)相交相交 (B)平行平行 (C)垂直垂直 (D

42、)不能确定不能确定 32B3.已知已知PA O所在的平面，所在的平面，AB为为 O的直径，的直径，C是是圆周上的任意一点圆周上的任意一点(但异于但异于A和和B)，则平面，则平面PBC垂直于垂直于平面平面_ PAC4.在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别为分别为A1B1和和BB1的中点，那么直线的中点，那么直线AM与与CN所成的所成的角为角为( ) (A)arccos (B)arccos(C)arccos (D)arccos2310105352D【解题回顾】空间两条直线【解题回顾】空间两条直线之间的夹角是不超过之间的夹角是不超过90的的角因而，如果按公式计

43、算角因而，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到多计算问题中经常被用到. 5P是二面角是二面角-AB-棱上的一点，分别在棱上的一点，分别在，平面平面上引射线上引射线PM，PN，假如，假如BPM=BPN=45,MPN=60，那么二面角，那么二面角-AB-的大小为的大小为( ) (A)60 (B)70 (C)80 (D)90 D【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，

44、没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线的垂线. 【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线的垂线. 6设设n是平面是平面的单位法向量，的单位法向量，AB是平面是平面的一条斜的一条斜线，其中线，其中A，则，则AB与平面与平面所成的角为所成的角为 ；B点到点到平面平面的距离为的距离为_. ABnABarcsinABn1.在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线，求异面直线BD1和和B1C所成角的余弦值所成角的余弦值. 【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，这样使过程更加清晰，这样使过程更加清晰.2.三条射线三条射线OA，OB，OC，假设，假设BOC=, COA=,AOB=，又，又二面角二面角B-OA-C的大小为的大小为，试证这些，试证这些角之间有如下关系：角之间有如下关系：sinsincoscoscoscos【解题回顾】将【