已知数列递推公式求通项公式的几种方法

1、.求数列通项公式的方法一、公式法例 1已知数列 an 满足 an 12an32n， a12 ，求数列 an 的通项公式。解： an 12an 3 2nn 1an 1an3an 1an3an两边除以 2，得n12n2，则n 1n，故数列 n 是22222a123得an1(n3以21 为首项，以 为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，2n1) ，212312所以数列 an 的通项公式为 an(n)2n 。22评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an32n 转化为 an 1an3，说明数列an2n 12n2an 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出1( n1)32n，进而求出数列

2、2n2 an 的通项公式。二、累加法例 2已知数列 an 满足 an 1an2n1，a11 ，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1则an(anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1 ) a12( n1)12( n2)1L(2 21)(211)12(n1)(n2)L21( n1)12 ( n1)n( n 1)12(n 1)(n1)1n2所以数列 an 的通项公式为 ann2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1an2n1转化为 an 1 an2n 1，进而求出 (anan 1 )(an1an 2 )L(a3a2 )(a2a1

3、 )a1 ，即得数列 an 的通项公式。可编辑.例 3已知数列 an 满足 an 1an23n1， a13，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1an23n1得 an 1an23n1 则an (anan 1 ) ( an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1) a1(23n 11)(23n 21)L(232 1)(2311)32(3n 13n 2L3231 )(n1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1an2 3n1转化为 an 1 an 2 3n1 ，进而求出 an(anan1)(an1an2 )L

4、( a3a2 )(a2a1 )a1 ，即得数列 an 的通项公式。例 4已知数列 an 满足 an 13an23n1， a3 ，求数列 an的通项公式。1解： an 13an23n1两边除以 3n 1 ，得 an 1an21，3n 13n33n 1an 1an21则 n 1n3n 1 ，故333ananan 1an 1an 2an 2an 3)La aan( n) (n 2) (n 2n 3(2211 )133 an 1an 13333 33212121L213( 33n ) ( 3 3n 1 ) (3 3n 2 )(332)32(n1)(1111L13nnn 1n 22 ) 1333331n

5、 1因此an2(n1)3n(13)12n11，3n3133223n则 an2n 3n13n1 .322可编辑.评注：本题解题的关键是把递推关系式an 13an2 3n1 转化为an 1an21，n 1n3n 1333进而求出anan 1an 1an 2an 2an 3) La2a1a1，即得数列an( 3n3n 1 ) ( 3n 13n 2) ( 3n 23n 3( 3231 )33n的通项公式，最后再求数列 an 的通项公式。三、累乘法例 5已知数列 an 满足 an 12( n1)5nan， a13 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 an 12( n1)5nan， a13 ，所以 an

6、0 ，则 an 12(n1)5n ，故anananan 1La3a2a1anana2a1122( n11)5n 1 2( n21)5n 2 L2(21)52 2(11) 513n 1 n( n 1) L325(n 1)(n 2)L2 1322n 1n (n 1)352n!2n1n (n1)所以数列 an 的通项公式为 an35 2n!.评注：本题解题的关键是把递推关系an12( n1)5nan 转化为 an 12( n 1)5n ，进而求an出 anan 1La3a2a1 ，即得数列 an 的通项公式。an 1 an 2a2a1例 6 已知数列 an 满足 a11， ana12a23a3L (

7、n1)an 1 (n2) ，求 an 的通项公式。解：因为 ana12a23a3L(n1)an 1(n2)所以 an 1a12a23a3L( n1)an 1nan用式式得an 1annan .可编辑.则 an 1(n1)an (n2)故 an 1n 1(n 2)an所以ananan 1La3a2 n( n 1) L 4 3a2n!a2 .an 1an 2a22由 ana12a23a3L(n1)an 1 (n2) ， 取 n2得 a2a12a2 ，则 a2a1 ，又知a1 1，则 a21，代入得 an 1 3 4 5 Lnn!。2所以， an 的通项公式为 ann! .2评注：本题解题的关键是把

8、递推关系式an 1( n1)an (n 2)an1n 1(n 2) ，转化为an进而求出anan 1 La3a2 ，从而可得当 n2时， an 的表达式，最后再求出数列 an 的an 1an 2a2通项公式。四、待定系数法例 7已知数列 an 满足 an 12an35n， a16 ，求数列an 的通项公式。解：设an 1x5n 12(an x5n )将 an 12an35n 代入式，得2an3 5nx5n 12an2x 5n ，等式两边消去2an ， 得 3 5nx 5n 12x 5n ， 两 边 除 以 5n ， 得 35x 2 x,则x1,代入式得an 15n 12(an5n )由 a15

9、16510及式得an 5n0 ，则 an 15n12 ，则数列 an 5n 是以an5na1 511 为首项，以 2为公比的等比数列，则an5n2n1，故 an 2n15n 。可编辑.评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an35n 转化为 an 15n 12(an5n ) ，从而可知数列 an5n 是等比数列，进而求出数列 an5n 的通项公式，最后再求出数列 an 的通项公式。例 8已知数列 an 满足 an 13an52n4， a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1x2n 1y3(anx2ny)将 an 13an52n4 代入式，得3an52n4x2n 1y3(anx2

10、ny)整理得 (52x)2n4y3x2n3 y 。52x3xx5令y3 y，则，代入式得4y2an 152n 123(an52n2)由 及式，得 an5 2n20 ，则 an 152n 123 ，an52n2故数列 an52n2 是以 a1521211213为首项，以3 为公比的等比数列，因此 an52n213 3n 1 ，则 an133n 1 5 2n2 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 13an5 2n4转化为an 152n123(an 5 2n2) ，从而可知数列 an52n2 是等比数列，进而求出数列an52n2的通项公式，最后再求数列 a 的通项公式

11、。n例 9已知数列 an 满足 an 12an3n24n5， a11，求数列 an 的通项公式。可编辑.解：设 an 1x(n1)2y( n1)z2( anxn2ynz)将 an 12an3n24n5 代入式，得2an3n24n5x( n1)2y(n1)z2( anxn2ynz) ，则2an(3x) n2(2 xy4)n( xyz5)2an2xn 22 yn2z等式两边消去2an ，得 (3x)n2(2 xy4) n( xyz5)2xn22yn2z ，3x2xx3解方程组 2xy42 y ，则y10 ，代入式，得xyz 52zz18an 13(n1)210(n1)182( an3n210 n1

12、8)由 a13 12101 18131320 及式，得an3n210 n180则 an 13(n 1)2 10(n1)182，故数列 an3n210n18 为以an3n210n18a13121011813132为首项，以2 为公比的等比数列，因此an3n210n18 322n 1，则an2n43n210n18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an3n24n5转化为an 13(n1)210(n1) 182( an3n210 n18) ，从而可知数列 an3n210 n18 是等比数列， 进而求出数列 an 3n210n18 的通项公式， 最后再求出数列 an 的通项公式。五、对数变换

13、法例 10已知数列 an 满足 an 123nan5 ， a17 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 an 123nan5， a17 ，所以 an0， an 10 。在 an 123nan5 式两边取可编辑.常用对数得 lg an 15lg ann lg3lg 2设 lg an 1 x(n 1) y 5(lg an xn y)11将 式 代 入 11式 ， 得 5lg ann lg3lg 2x( n1)y5(lg an xny) ， 两 边 消 去5lg an 并整理，得 (lg3x)nxylg 25xn 5 y ，则lg3x 5xxlg34，故x ylg 2lg3lg 25 yy164代入

14、 11式，得 lg an 1lg31)lg3lg 25(lg anlg3lg3lg 212(n1644n)4164由 lg a1lg31lg3lg 2lg 7lg31lg3lg 20 及12式，41644164得 lg anlg3 nlg3lg 20，4164lg an 1 lg3 (n 1) lg3lg 2则41645 ，lg3 nlg3lg 2lg an4164所以数列 lg anlg3nlg3lg 2lg3lg3lg 2416 是以 lg 7416为首项，以 5为公比的等44比数列，则 lg alg3 nlg3 lg 2(lg 7lg3lg3lg 2 )5n 1 ，因此n41644164

15、lg an(lg 7lg 3 lg 3lg 2)5n1lg 3 nlg 3lg 24164464111n11(lg 7lg 34lg 36lg 24 )5n1lg 34lg 316lg 24111n11lg(73431624 )5n1lg(3 431624 )111n11lg(73431624 )5n 1lg(3 4 3162 4 )lg(7lg(75 n 15n 1 n5n 1 15n 1 1343 162 4 )5 n 15n4n15n 1131624)可编辑.则 a75n 15n4n 15n 113 162 4。n评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 123nan5转化为l

16、g an 1lg3 (n1)lg3lg 25(lg anlg3 nlg3lg 2) ，从而可知数列41644164lg anlg3 nlg3lg 2 是等比数列，进而求出数列 lg anlg3 nlg3lg 2 的通项41644164公式，最后再求出数列 an 的通项公式。六、迭代法例 11已知数列 an 满足 an 13( n 1)2 n5，求数列 an 的通项公式。an，a1解：因为 an 1an3( n 1)2 n ，所以 anan3n12n 1 an3( n21) 2n 23n 2n 1an32 (2n 1) n 2( n 2) ( n 1) an3( n32) 2n 3 32 ( n

17、 1) n 2(n 2) (n 1)an33 (3n2)( n1) n 2(n 3) (n 2) ( n 1)La13n 1 2 3L L ( n 2) (n 1) n 21 2 L L ( n 3) ( n 2) ( n 1)n ( n 1)n12a13n! 2n (n 1)又 a15，所以数列 an 的通项公式为 an53n 1n! 22。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 an 13( n 1)2 nan两边取常用对数得 lg an 13(n1) 2nlg an ，即 lg an 13(n 1)2n ，再由累乘法可推知lg ann 123n 1 n! 2

18、 n( n 1)lg anlg an 1lg a3lg a2n ( n 1)lg anLlg a1lg53 n! 2，从而 an 52。lg an 1 lg an 2lg a2 lg a1七、数学归纳法例 12已知数列an满足 an 1a8( n 1)2， a8 ，求数列 an 的通项公式。n219(2 n1) (2n 3)可编辑.解：由 an 1an8(n1)2 及 a181)2(2 n 3)，得(2n9a2a18(11)8822411)2 (213)2992525(2a3a28(21)24834821)2 (223)225254949(2a4a38(31)48848031)2 (233)249498181(2由此可猜测 an(2 n1)21(2n1)2，往下用数学归纳法证明这个结论。（1 ）当 n1 时， a1(211)218(211)2，所以等式成立。9（2 ）假设当 nk 时等式成立，即 ak(2 k1)21k 1 时，(2 k1)2，则当 nak 1ak8(k1)(2k 1)2 (2 k3)2(2k1)218( k1)(2 k1)2(2k 1)2 (2 k3)2(2 k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2 (2k3)2(2k1)2 (2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2 (2k3)2(2k1)2 (2k