平面直角坐标系知识梳理及经典题型(教师版)

1、平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a 与 b 组成的数对。记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；1、坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对 （ a, b ）一一对应；其中， a 为横坐标， b 为 纵坐标坐标；、 x 轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点 不属于 任何象2限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：象限横坐标 x纵坐标 y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负1、点 P（ x, y ）所在的象限横、纵坐标x 、 y 的取值的正负性；

2、2、点 P（ x, y ）所在的数轴横、纵坐标x 、 y 中必有一数为零；（四）在平面直角坐标系中，已知点P( a, b) ，则y1、点 P 到 x 轴的距离为 b ；aP（ a, b ）2、点 P 到 y 轴的距离为 a ；b3、点 P 到原点 O的距离为 POa2b2Ox（五）平行直线上的点的坐标特征：1 、在与 x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；YABm点 A、 B 的纵坐标都等于m ；X2 、在与 y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；YCn点 C、 D的横坐标都等于n ；DX（六）对称点的坐标特征：1、点 P (m, n) 关于 x 轴的对称点为P1 (m, n) ， 即横

3、坐标不变，纵坐标互为相反数；2、点 P (m, n) 关于 y 轴的对称点为P2 ( m,n) ， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点 P (m, n) 关于原点的对称点为P3 ( m, n) ，即横、纵坐标都互为相反数；yyyPPnP2nnPOmXm OmmXm XOnP1nP3关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点 P（ m, n ）在第一、三象限的角平分线上，则mn ，即横、纵坐标相等；2、若点 P（ m, n ）在第二、 四象限的角平分线上，则 mn ，即横、纵坐标互为相反数；yynPPnOmXmOX在第一、三象限的角平分

4、线上在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、 y 轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。（九）用坐标表示平移：见下图P（ x，y a）向上平移a 个单位P（ x a，y）向左平移 a 个单 位向右平移 a 个单位P（ x， y）P（ x a，y）向下平移a 个单位P（ x，y a）二、题型分析：题型一 ： 代数式与点坐标象限判定此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围

5、，或由字母的取值范围确定点所在的象限【例 1】在平面直角坐标系中，点3，2在（）第一象限第二象限第三象限第四象限【解析】由各象限点的特征知，点3，2在第四象限，故选 D【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（- ，+）、（- ， - ）、（- ，+）【例 2】若点 P （ m，12m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P 一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】由题意知 m1 2m0 ，解得 m 1.于是点 P 的坐标为（ 1，-1 ），于是点 P 在第二象限选 B【点评】本题设置了一个小小的障碍，即先根据横坐标与纵坐标互为相

6、反数列出方程解出m，然后才能根据会标特点确定象限【例 3】若点 P（ a， b）在第四象限，则点M （ b-a， a-b）在 （）A 、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限答案： B分析：第四象限横坐标大于0，纵坐标小于 0.【例 4】如果 a b 0, 且 ab 0, 那么点 (a ， b) 在 ( )A 、第一象限B、第二象限C、第三象限 ,D 、第四象限 .答案： B【例 5】对任意实数 x，点 P（ x，x2 2x）一定不在（）A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限答案： C【例 7】点 P（x， y）在第四象限，且 |x|=3 ， |y|=2，则 P 点的坐标是。答案：

7、（ 3， -2）【例 8】若点 M (1 x ，x + 2 )在第二象限内，则x 的取值范围为；答案： x 2习题演练：1、在平面直角坐标系中，点P（ m 22, 4 ）一定在象限。2、点 P（ x 1，x1）不可能在（）A 、第一象限B 、第二象限C、第三象限D、第四象限3、如果点 M（ a b， ab）在第二象限，那么点N（ a， b）在第 _象限。4、点 Q (3 a ， 5 a ) 在 第 二 象 限 ， 则 a 2 - 4a + 4 +a 2 - 10a + 25=；5、点 M （ a， a-1）不可能在（A 、第一象限B 、第二象限）C、第三象限D、第四象限6、如果y 0，那么点P

8、（ x， y）在（）xA、第二象限B、第四象限C、第四象限或第二象限D 、第一象限或第三象限题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标例 1：在平面直角坐标系中，已知点P（ m5, m2 ）在x 轴上，则P 点坐标为答案：（7， 0）例 2：已知 :A(1,2),B(x,y),AB x轴, 且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是.答案：（ -2 ， 2）或（ 2， 2）习题演练：1、已知点 A （m， -2），点 B（ 3， m-1），且直线 AB x 轴，则 m 的值为。、已知线段， x 轴，若点A的坐标为（1， ），则B点的坐标为；2AB=3AB23、已知点 P（x2-3 ， 1）在一、三象限夹

9、角平分线上，则x=.题型三：求对称点的坐标解答此类问题所需知识点是：点（a,b ）关于x 轴的对称点是(a,-b)，关于y 轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b）【例1】在如图1 所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A 点与B 点关于原点对称，则这时C 点的坐标可能是（）(13)，(2，1)(2，1)(31)，图1【解析】根据题意，A 点与B 点关于原点对称，MN所在直线为y 轴，于是可确定原点为图中 O点位置，即 x 轴为过 O点的一条横线，于是【点评】 本题逆向考查了两点关于原点对称问题，C

10、 点的坐标为（ 2，-1 ），即选 B求 C 点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在例 1：点 M（ 2， 3）关于 x 轴的对称点N 的坐标为； 关于 y 轴的对称点P的坐标为；关于原点的对称点Q的坐标为。答案：（2，3） ； （-2 ，-3） ； （3，-2 ）例 2已知点 A （ a， 5）， B（ 8， b）根据下列要求，确定a， b 的值（ 1）A ， B 两点关于 y 轴对称；（ 2）A ， B 两点关于原点对称； （ 3）AB x 轴；（ 4）A ， B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上【分析】（ 1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；（ 2）两点

11、关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；（ 3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（ 4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同【解答】（ 1）当点 A（a，5），B（ 8，b）关于 y 轴对称时有：xAxBa8yAyBb5xAxBa8（ 2）当点 A （ a， 5）， B （8， b）关于原点对称时有yBb5yAxAxBa8（ 3）当 AB x 轴时，有yBb5yA（ 4）当 A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：xA =y B 且 xA=y B 即 a=5， b=8【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键习题

12、演练：1、点P(1， 2 ) 关于 x 轴的对称点的坐标是，关于 y 轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是；2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y 轴对称的点是（）A 、（ 3， 2）（ 3， 2）B 、（ 0，3）（ 0， 3）C、（ 3， 0）（ 3， 0）D、（ 3， 2）（ 3， 2）题型四：根据坐标对称求代数式的值例 1：已知点 P (2 a3,3) 和点 A (1,3b2 ) 关于 x 轴对称，那么ab =；2答案：3习题演练：1、已知点A （2a+3b， 2）和点B （ 8， 3a+2b）关于x 轴对称，那么a+b= （）A 、 2B、 2C、 0D 、4

13、答案：A2、已知：点P 的坐标是( m ,1)，且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3 , 2n )，则m_, n_ ；1答案： -3 ；2题型五：根据到坐标轴的距离求坐标例 1：过点 A（ 2，-3 ）且垂直于A、（ 0， 2）B、（ 2，0）y 轴的直线交y 轴于点C、（ 0，-3 ）DB，则点 B 坐标为（、（ -3 ，0）答案： C例 2：已知点 M到A、（ 3， 2）C、（ 3， -2 ）x 轴的距离为BD3，到 y 轴的距离为2，则 M点的坐标为（）、（ -3 ，-2 ）、（ 2， 3），（2， -3 ），（ -2 ， 3），（ -2 ， -3 ）答案：D例 3：若点P（ a ，

14、b ）到x 轴的距离是2 ，到y 轴的距离是3 ，则这样的点P 有 （）、个、个、个、个答案： D习题演练：1 、点 P 位于 x 轴下方，么点 P 的坐标是（A、（ 4， 2）By 轴左侧，距离）、（ 2， 4）x 轴 4 个单位长度，距离C、（ 4， 2）y 轴D2 个单位长度，那、（ 2，4）是答案： B2、点 E（a,b ）到 x 轴的距离是4，到 y 轴距离是3，则有（）A、 a=3, b=4B、 a=± 3,b= ± 4C、 a=4, b=3D、 a=± 4,b= ±3答案： D3、已知点 P的坐标为（ 2 a ， 3a + 6 ），且点 P

15、 到两坐标轴的距离相等，则点P 坐标()A、（ 3，3)B、(3 ， 3)C、(6 ，一6)D、(3 ，3) 或(6，一6)答案： D题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标例 1：在平面直角坐标系中， A， B， C三点的坐标分别为（以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第0，0），（ 0， -5 ），（-2 ， -2 ）， ?_象限答案： 一习题演练：1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1,1）、（ 1， 2）、（ 3, 1），则第四个顶点的坐标为（）A 、（2，2） B 、（3，2） C 、（3，3）D 、（2，3）答案： B题型七：根据点的坐标求图形的面积例

16、1：已知点 A（ -2 ， 0）B（ 4，0） C（ -2 ，-3 ）。（ 1）求 A、B 两点之间的距离。 （2）求点 C 到 X 轴的距离。（ 3）求 ABC的面积。答案：（1）6 ； （2）3 ； （3）9习题演练：1、在坐标系中，已知A、4B、6A（ 2，0），B（ 3， 4），C（ 0，0），则 ABCC、8D、3的面积为（）答案： A技巧：割补法求面积题型八 ： 求平移后的坐标例 1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（1， 4）、（ 1， 1）、（ 4， 1），现将这三个点先向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（A、（ 2， 2），（3， 4），

17、（1， 7）B、（ 2，2），（ 4， 3），（ 1， 7）C、（2， 2），（3， 4），（1， 7）D、（ 2， 2），（ 3， 3），（ 1， 7）答案： A例 2：线段 CD 是由线段AB 平移得到的1）的对应点D 的坐标为（）A 、（ 2， 9）B 、（5， 3）.点 A（ 1，4）的对应点为C（ 4，7），则点C、（ 1， 2）D、（ 9， 4）B（ 4，答案：C习题演练：1 、已知点M 3 ， 2 ，将它先向左平移4 个单位，再向上平移3 个单位后得到点，则点的坐标是答案：（ -1,1 ）题型九：图形变换后点的坐标【例 4】将点 P( 2，2) 沿 x 轴的正方向平移4 个单位得

18、到点P 的坐标是（） ( 2，6) (6，2) (2，2) (2， 2)【解析】将点P 沿 x 轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是点 P 的坐标为（ 2， 2），即选 C【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x 轴正方向平移时，纵坐标的不变性就很直观了yABA a，bOBx52 AOB绕点O逆时针旋转90o ，【例 】如图，将得到 A OB 若点 A 的坐标为 ( a， b)，则点 A 的坐标为【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转90o 后，得到的 A OB 所在位置也很特殊，即 B 恰好落在y 轴上，于是点A 的纵坐标为a, 横坐标应该为 -b; 故点 A 的坐标为（ -b,a ）【点评】本题分析出得到的 A OB 所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点A 的横坐标应该为b，忽视逆时针旋转后点A 所在象限变化到第二象限了例 1：如图 4 所示