《弹塑性力学》第六章 弹性力学平面问题的直角坐标解答ppt课件

1、二二维维问问题题柱形杆改动柱形杆改动平面问题平面问题轴对称问题轴对称问题平板弯曲问题平板弯曲问题平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题固体的外形特点：固体的外形特点： 物体一个方向物体一个方向尺寸比其它两个方尺寸比其它两个方向尺寸小的多等向尺寸小的多等厚度薄板。厚度薄板。 x2x1x3ox2t03 ZX由物体几何特点和受力特点知：由物体几何特点和受力特点知： 在在 处，处， z=z=zx=zx=zy=0zy=0。 2tz0ZYX 平面应力问题待求未知函数一共八个：平面应力问题待求未知函数一共八个： 3个应力个应力3个应变个应变2个位移个位移 1.2 1.2 平面应变问题平面应变问题

2、外形特点：物体一个方向尺寸外形特点：物体一个方向尺寸z z 或或x3x3比其比其它两个方向它两个方向x,y x,y 或或 x1 ,x2 x1 ,x2 大的多，如水大的多，如水坝、涵洞。坝、涵洞。 x1 (x)x2 (y)x3 (z)03 ZXw = 0 (z = 0 ) , zx=zy=01.2 1.2 平面应变问题平面应变问题 1.2 1.2 平面应变问题平面应变问题2.1 2.1 平衡微分方程平衡微分方程2 2个个 两个平面问题一致：两个平面问题一致： , ,+f+f=0, =0, , , =1,2=1,20Xyxyxx0Yyxyxy2.2 2.2 几何方程几何方程3 3个个 两平面问题一

3、致：两平面问题一致： )(21,uu,xux,yvyxvyuxy2.3 2.3 相容方程相容方程1 1个个 两平面问题一致：两平面问题一致： yxxyxyyx22222对于平面应力问题还应有对于平面应力问题还应有 220,zx220,zy02yxz但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不思索。不思索。 2.4 2.4 本构方程本构方程3 3个个 平面应力问题平面应力问题 1(),xxyE1(),yyxE2(1)xyxyE2.4 2.4 本构方程本构方程3 3个个 平面应变问题平面应变问题 2(1)(),1xxyE2(1)(),1yyxExyxyE)1 (2 两个平

4、面问题的根本方程仅物理方程有所两个平面问题的根本方程仅物理方程有所不 同 ， 将 平 面 应 力 物 理 方 程 中 弹 性 系不 同 ， 将 平 面 应 力 物 理 方 程 中 弹 性 系数数 ， ，那么平面应力问题的物，那么平面应力问题的物理方程变为平面应变问题的物理方程。所以理方程变为平面应变问题的物理方程。所以按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此交换，那么可得到平面应变问题解。此交换，那么可得到平面应变问题解。21EE12.5 2.5 边境条件边境条件 位移边境条件：位移边境条件： ( (=1,2=1,2 uu ,uuvv 在在SuSu上上 n

5、XyxxmlXyxymlY在在S S 上上 根本未知函数：根本未知函数：u(x,y) , v(x,y) u(x,y) , v(x,y) 根本方程两个：用根本方程两个：用 u , v u , v 表示的平衡微分方程。表示的平衡微分方程。 平面应力问题：平面应力问题： 011,2fuGuG其中其中 22222yx平面应变问题：平面应变问题： 0211,2fuGuG边境条件：位移边境边境条件：位移边境 ,uuvv在在SuSu上上力的边境力的边境 yxxmlXyxymlY在在S S 上上 应力需求用位移微分表示应力需求用位移微分表示 3.2 3.2 应力法应力法 根本未知函数3个：x , y ,xy=

6、yx 根本方程根本方程3 3个：个：2 2个平衡微分方程个平衡微分方程 , , + f + f= 0 = 0 1个相容方程：个相容方程： 平面应力问题时平面应力问题时 )(1 ()(2yfxfyxyx3.2 3.2 应力法应力法 1 1个相容方程：个相容方程： )(11)(2yfxfyxyx平面应变问题时平面应变问题时 力边境条件：力边境条件： nXyxxmlXyxymlY在在S S =S =S上上 当膂力为常数或膂力为零时，两个平面问题当膂力为常数或膂力为零时，两个平面问题的相容方程一致的相容方程一致 2( 2(x+x+y ) = 0 y ) = 0 (x+y )为调合函数，与弹性系数无关，

7、不论是平面应力应变问题，也不论资料如何，只需方程一致，应力解一致，有利实验。 3.2 3.2 应力函数解法应力函数解法 当膂力为常量或为零时，按应力法解的根本方程共三个为 , +f =0 , 2=0应力法根本方程的前两个为非齐次方程，所应力法根本方程的前两个为非齐次方程，所以根据微分方程实际，非齐次微分方程的通以根据微分方程实际，非齐次微分方程的通解等于其特解加上齐次微分方程的通解。解等于其特解加上齐次微分方程的通解。 非齐次方程特解可以选 x = - f x x , y = - fyy ,xy= 0; 特解还可以选其它方式 下面任务求齐次微分方程下面任务求齐次微分方程 , , =0 =0 的

8、通解，的通解， 或或 求求0,yxxxy0yxyxy的通解的通解 同时通解还需求满足相容方程：同时通解还需求满足相容方程： 2( 2(x+x+y )=0 y )=0 对于上面三个齐次微分方程要求出其通解，仍是一个较复杂、困难的问题。 1862年年Airy提出将满足三个齐次微分方程提出将满足三个齐次微分方程的的3个应力分量的齐次解由一个函数个应力分量的齐次解由一个函数应力应力函数的二阶微分来表示，使之自然满足齐次函数的二阶微分来表示，使之自然满足齐次平衡微分方程平衡微分方程 , =0 这样应力法的齐次根本方程仅为用应力函数这样应力法的齐次根本方程仅为用应力函数 表示的相容方程，使未知函数和根本方

9、程表示的相容方程，使未知函数和根本方程数均减为一个。数均减为一个。 Airy提出应力函数 (x,y) 与齐次微分方程中待求应力分量之间满足如下微分关系：22yx22xyyxxy2a 应力函数应力函数 (x,y) 与待求应力分量齐次解与待求应力分量齐次解之间的微分关系是由两个齐次平衡微分方程之间的微分关系是由两个齐次平衡微分方程导出的：导出的：xxyxyAyxxyxAyxyyxBxyxyyB得 yAyBxA xB从而导出从而导出(a)(a)式。那么式。那么 (a) (a) 式使得齐次的平式使得齐次的平衡微分方程自然满足，将衡微分方程自然满足，将(a) (a) 式代入相容方式代入相容方程，得程，得

10、0)(42222222xy上式称为应力函数解法的根本方程一个上式称为应力函数解法的根本方程一个 根本方程为由应力函数根本方程为由应力函数 满足的双调合方满足的双调合方程程 最后应力分量解为其特解加通解：最后应力分量解为其特解加通解： 2,xxf xy2,yyf yxyxxy240 在边境上应力分量满足力的边境条件在S上，用应力函数表示： )()(222yxmxfylXx)()(222yfxmyxlYy 对于单连域，应力函数 (x,y) 满足双调和方程 4= 0，且在S上满足用应力函数二阶偏微分表示的边境条件，那么由 (x,y) 导出应力分量为真解，对于复连域，还要思索位移的单值条件.3.4 3

11、.4 应力函数的特性应力函数的特性 1. 应力函数加上一个线性函数应力函数加上一个线性函数 a+bx+cy，并，并不影呼应力，换句话说，某问题的应力函数为不影呼应力，换句话说，某问题的应力函数为 ，那么，那么 1=+a+bx+cy 也是问题的应力函也是问题的应力函数。应力函数可确定到只差一个线性函数。数。应力函数可确定到只差一个线性函数。2. 无膂力作用时，应力函数及其一阶偏导数无膂力作用时，应力函数及其一阶偏导数的边境值可分别由边境的面力的主矩和主矢的边境值可分别由边境的面力的主矩和主矢量来确定。量来确定。()()BBBAyyAAF dSYdSRxx ()()BBBAxxAAF dSXdSR

12、yyxoABF y BBABBABABMdSXyydSYxx)()(对对B点取矩点取矩)逆时针为正。逆时针为正。 下面推导一下下面推导一下 xoABF y 对于无膂力时对于无膂力时 fx=fy= 0fx=fy= 0； 力的边境条力的边境条件为件为 Xyxmyl222Yxmyxl222 yxodsdyne1e2-dxdSdyenl),cos(1dSdxenm),cos(2代入边境条件，得代入边境条件，得XdSdxyxdSdyy222XydSd)( YxdSd)( YdSdxxdSdyyx)(222积分得积分得(),dXdSyYxdSd)(积分得积分得()()()BBBAxAAddsXdsRyyd

13、SyyBAABRdsYxx)()(xoABF y 根据函数的求导公式根据函数的求导公式 dSdyydSdxxdSd dSXdSdydSYdSdxdSdCACA)()(而而C C为边境上动点为边境上动点 xoABF y CyBAABRdsYxx)()(上式对上式对s s 积分得积分得 dSdSXdSdydSYdSdxBACACAAB)( 采用分部积分采用分部积分 dSXdSdydSYdSdxdSdCACA)()(xoABF y CdSdSXdSdydSYdSdxBACACAAB)( ()BCCBBAAAAAxY dSyXdSxYdSyXdS边境力对边境力对B B点之矩点之矩 ()BBBBBBAA

14、AAxY dSyXdSxYdSyXdS()()BBBBAAxx YdSyyXdSxoABF y C例题例题1 1 矩形域无膂力作用时应力函数分别为矩形域无膂力作用时应力函数分别为二次项和三次项的结果而一次项无须思索，二次项和三次项的结果而一次项无须思索，采用逆解法。采用逆解法。1.1.取取为二次项：为二次项： 2322122),(ycxycxcyx代入代入 4 4 =0 =0， 满足。满足。 2322122),(ycxycxcyx将将 代入应力分量与应力函数的关系式，得代入应力分量与应力函数的关系式，得322cyx122cxy22cyxxy 可见，矩形域各点应力形状一样，为常量。可见，矩形域各

15、点应力形状一样，为常量。 设设c1 ,c2 ,c3c1 ,c2 ,c3均为正值。矩形域边境面力如下图。均为正值。矩形域边境面力如下图。c1xc3 yc213. 3. 取取为三次项：为三次项： 342322316226),(ydxydyxdxdyx代入代入 4 4 =0 =0， 满足。满足。 将将 代入应力分量与应力函数的关系式，代入应力分量与应力函数的关系式，得得 ydxdyx4322ydxdxy2122ydxdyxxy322应力为应力为x x、y y 的线性的线性式。式。 仅取一项仅取一项 346yd x= d4 y, y= xy= 0 在边境上面力分布与在边境上面力分布与坐标系位置有关。坐

16、坐标系位置有关。坐标系如以下图所示标系如以下图所示面力分布为纯弯问题，在两端面的面力面力分布为纯弯问题，在两端面的面力将产生一个将产生一个M M 。xh/2h/21d4 h/2MM y12334223422hdydydxMhhhhx43,12zMMdhIyIMzx资料力学解 由由 M 与与 x 的关系确定的关系确定 d4 的值的值yIMzx由应力分量求应变分量：由应力分量求应变分量： yEIMExx1EIMyExy0 xy经过几何方程积分及约束条件可以求出位移。经过几何方程积分及约束条件可以求出位移。 此题讨论此题讨论 : : 坐标位置选取不同将导致边境上面力分坐标位置选取不同将导致边境上面力

17、分布不同，从而对应不同的问题。因此，此题布不同，从而对应不同的问题。因此，此题在边境上面力分布与坐标系位置有关。在边境上面力分布与坐标系位置有关。 x= d4 y, y = xy = 0346ydh yxd4hd4h/2d4h/2但坐标位置变了但坐标位置变了, , 边境上面力分布如以下图。边境上面力分布如以下图。例题例题2 2 无膂力作用无膂力作用的悬臂梁，在端部受的悬臂梁，在端部受集中力集中力P P 作用。作用。 x1 yPMPlx2h此题采用应力函数的半逆解此题采用应力函数的半逆解法。半逆解法思绪：法。半逆解法思绪： 1. 根据受力情况和求解阅历，包括资料力学根据受力情况和求解阅历，包括资

18、料力学的解，定性估计应力分量的变化，并根据应的解，定性估计应力分量的变化，并根据应力分量与应力函数关系，反推出力分量与应力函数关系，反推出 函数的主函数的主要项。要项。2. 将所设将所设 代入代入 4 =0和力的边境条件进和力的边境条件进展检验，假设不满足那么进展修正适当添展检验，假设不满足那么进展修正适当添加项，再代入加项，再代入 4 =0和力的边境条件进和力的边境条件进展检验，直至满足一切方程为止。展检验，直至满足一切方程为止。此题求解的根本情况：此题求解的根本情况：主要边境上，主要边境上， 在在y= y= h h ： ， 无面力无面力 0X0Y根本方程根本方程 4 4 =0 =0，边境条

19、件为混合边境条件：边境条件为混合边境条件： x1 yPMPlx2h次要边境上：次要边境上： 在在x=lx=l： 0,X hhPdyY在在x=0 x=0 ： 严厉要求严厉要求 u=0 u=0，v=0 v=0 x1 yPMPlx2h在在x=0 x=0 ： PdyYPlMydyXdyXhh0 x1 yPMPlx2h解：解： 1根据受力特点知在根据受力特点知在 x 处弯矩：处弯矩： M=P(l-x)， 资料力学应力解：资料力学应力解：yIxlPyIMx)( x 包含y和 xy项，又由于 22yx 可设可设 331166acxyy 代入代入 4 4 =0 =0， 满满足。足。 将将 代入应力分量与应力函

20、数的关系式，代入应力分量与应力函数的关系式，得得 2121120yayxycxyaxyyx 将应力分量代入边境条件，确定待定系数将应力分量代入边境条件，确定待定系数 。主要边境：主要边境：y = y = h h ，l = 0, m l = 0, m = =1 1 0000yxyYX假设满足，那么假设满足，那么 a1=0 a1=0 。代回应力分量表达。代回应力分量表达式式 在在y= h时，时， 为均匀剪力。为均匀剪力。212haxy由由 求得应力分量公式，得求得应力分量公式，得 2121120yayxycxyaxyyx 001xyyxyc本应力解对应纯弯问题，本应力解对应纯弯问题，不是所要求的。

21、不是所要求的。 2 对对 要进展修正，消去要进展修正，消去y= h面上均匀面上均匀 剪力剪力设设 313166ycxya + b1 xy 代入代入 4 4 =0 =0， 满足。满足。 将将 代入应力分量与代入应力分量与应力函数的关系式，得应力函数的关系式，得1211120byaycxyaxyyx代入主要边境：代入主要边境：y= y= h h y= 0 满足； xy= 0 或 21102ahb2112hab代回应力分量表达式代回应力分量表达式 )(2022111hyaycxyaxyyx代入代入 x=l x=l 边境：边境：l=1 , m=0,l=1 , m=0,那么 0 xX011yclya 或

22、 lac11)(2022111hyaycxyaxyyx而而 PdyYPdyhyahh)(2221133,2Pah 2123hPlc 13,4Pbh将惯性矩将惯性矩 323hI 代入代入a1a1、b1b1、c1c1表达式，表达式，那么那么 1,PaI 21,2PhbIIPlc 1代回应力分量表达代回应力分量表达 () ,xPlx yI0,y)(222yhIPxy 与资料力学解一样。 留意此题应力解在梁两端不能用。由于用到了圣维南原理。 有了应力解后，依次求应变和位移。有了应力解后，依次求应变和位移。 在位移确实定中，当在位移确实定中，当 x=0 , u = v =0 x=0 , u = v =0

23、 不能处处满足，而用到不能处处满足，而用到0000000yxyxyxdxdvvu 将刚体位移去掉，放松了位移边境处置 例题例题3 3 简支梁不计膂力上面受均载作用，简支梁不计膂力上面受均载作用， 仍采用应力函数解的半逆解法。仍采用应力函数解的半逆解法。x1 yqlqllhql思索应力特点：思索应力特点： y y 与与 x x 无关，无关， y y 由由q q 引引起，起，且在且在 y= -h/2 y= -h/2 处处 y y 为常数。为常数。设设 )(22yfxy)()(1yfyxfx )()()(2212yfyxfyfx代入根本方程代入根本方程 4 4=0 =0 02ffxffx21 (4)

24、2(4)1(4)2微分方程对全梁满足。微分方程对全梁满足。因此，要求因此，要求440,d fdy4140,d fdy0222424dyfddyfd 由前两个常微分方程积分得到 f(y) 和 f1 (y) 的表达式，代回第三个常微分方程积分，可得到f2 (y) 的表达式。一切待定系数由边境条件定。例题例题4 4 楔形体受重力和液体压力作用，楔形楔形体受重力和液体压力作用，楔形体下端无限长。体下端无限长。 x yn g gy 楔形体的体积力楔形体的体积力fx= X = 0 fx= X = 0 ，fy= Y = fy= Y = g g； 边境条件边境条件: : 在在x=0 x=0处处, , gyX0Y那么边境处的应力为那么边境处的应力为 x= -x= -gygy， xy =0 xy =0在在x = ytgx = ytg 处处, ,0X0Y 从楔形体的受力情况分从楔形体的受力情况分析析, ,可