大学概率论二维正态分布

1、上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回二维正态分布二维正态分布4.34.3第四章 正态分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回定义定义 设二维随机变量),(YX的联合概率密度为),(yxf,e12122222)()(2)()1(212yyyxyxxxyyxrxryxr则称二维随机变量),(YX服从二维正态分布二维正态分布， 记作),(YX),(22rNyxyx其中) 1(,0,0,rryxyx是分布参数.4.3 二维正态分布 上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回x-10-50510y-10-50510z0.0000.0050.0100.015

2、二维正态分布f(x,y) 12xy1 2exp121 2xx2x22x xxyyyyy2y2x 0y 0 x 10y 10 0.54.3 二维正态分布 上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 定理定理1 设二维随机变量),(YX服从二维正态分布, ),(22rNyxyx则X与Y的边缘分布都是正态且无论参数) 1(rr为何值， 都有, ),(2xxNX. ),(2yyNY证：证：X的边缘概率密度)(xfX,e121),(2dyryxuyx分布，4.3 二维正态分布 其中),(yxu22222)()(2)()1(21yyyxyxxxyyxrxr上一页下一页概率论与数理统计教程（第四

3、版）目录结束返回设,)(112xxyyxryrt则)(xfXdttxxxx2)2()(222ee21.e21)2()(22xxxx由此可得，, ),(2xxNX同理，. ),(2yyNY4.3 二维正态分布 由定理1可知：, )(XEx, )(YEy,)(XDx. )(YDy,)()1 (212)(2222xxyyxxxryrx上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回,e121),(),(2dxdyyxrYXRyxuyyxxyx 化为二次积分，得,)(e121),()2()(222dxxIxrYXRxxxxxyx4.3 二维正态分布 ,e)(22)()1 (21dyyxIxxyy

4、xryryy设 ,)(112xxyyxryrt则得其中 定理定理2 则设),(),(22rNYXyxyx.),(rYXR证：证：上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回dtxrrtrxItxxy22e)(11)(22dtrxrdttrtxxyty222222e1)(e)1 (, )1(2)(2rxrxxy4.3 二维正态分布 所以),(YXR,e)(2)2()(222dxxrxxxxxx设, txxx得),(YXRdttrt22e22. r上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 定理定理3 , ),(),(22rNYXyxyx设则X与Y. 0r独立的充要条件是证：

5、证：必要性：若随机变量X与Y相互独立， 则.0r充分性：,0r若则二维正态分布的联合密度可化为：4.3 二维正态分布 ),(yxf2)()( 212222eyyxxyxyx)2()(2122exxxx)2()(2122eyyyy. )()(yfxfYX所以,随机变量 与 相互独立.XY上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例1 设随机变量X与Y相互独立， 都服从标准正态分.22的概率密度求随机变量函数YXZ, ) 1 ,0(N布解：解：因为随机变量X与Y相互独立， 且已知,e21)(22xXxf,e21)(22yYyf所以，.e21)()(),(2)(22yxYXyfxfyx

6、f4.3 二维正态分布 )(zFZ)(zZP. )(22zYXP的分布函数为22YXZ由分布函数定义，上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回当0z时， 有)(zFZdxdyzyxyx22222)(e21ddz02202e21.e12z4.3 二维正态分布 所以，Z的分布函数 ,0,e1)(2zZzF;0z.0z当0z时， 显然有;0)(zFZ上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回4.3 二维正态分布 ,0,e)(2zZzf21;0z.0z的概率密度由此得Z上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回1. 二维正态分布的边缘分布为正态分布：若),(YX)

7、,(22rNyxyx则, ),(2xxNX. ),(2yyNY且, )(XEx, )(YEy,)(XDx,)(YDy.),(rYXR4.3 二维正态分布 小小 结结2.),(YX若),(22rNyxyx则与XY相互独立. 0r上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回思考题思考题1. 设二维随机变量),(YX服从二维正态分布， 已知,0)()(YEXE,16)(XD,25)(YD,12),(covYX求),(YX的联合概率密度.解：解：已知,0yx,416 x,525 yX于是与Y的相关系数为,53251612),(YXRr4.3 二维正态分布 ,12),(covYX上一页下一页概

8、率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回第四章 正态分布正态随机变量的线性函数的分布正态随机变量的线性函数的分布4.44.4上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 定理定理11 设随机变量X服从正态分布, ),(2N则X的线性函数bXaY)0( b也服从正态分布：).,(22bbaNbXaY证：证：Y的分布函数为)(yFY)(yYP).(ybXaP若0b则有)(yFY)(bayXP),(bayFX4.4 正态随机变量的线性函数的分布)(yfY )(bayFX)(1bayfbX,e212222)(bbayb所以).,(22bbaNY当0b时类似地可证.由分布函数定义，求导得上一页

9、下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回定理1表明：正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.4.4 正态随机变量的线性函数的分布推论推论设随机变量X服从正态分布, 则标准化的随机变量).1 ,0(*NXX在定理1中，设,a1b即得结论.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 定理定理22 设随机变量X与Y独立， 并且都服从正态分布：, ),(2xxNX, ),(2yyNY则它们的和也服从正态分布， 且有).,(22yxyxNYXZ证：证： 已知X与Y的概率密度分别是,e21)(222)(xxxxXxf,e21)(222)(yyyyYyf4.4 正态随机变量的线性函数的

10、分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回则随机变量YXZ的概率密度dxzfyyxxxzxyxZ)()(212222e21)(,e21)2(2dxcbxaxyx其中, )11(2122yxa4.4 正态随机变量的线性函数的分布, )(2122yyxxzb,)(212222yyxxzc上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回不难计算积分得dxcbxax)2(2e,e)(2abaca于是.e21)()(2)(22222yxyxzyxZzf由此可见，Z服从正态分布).,(22yxyxN4.4 正态随机变量的线性函数的分布dxzfcbxaxyxZ)2(2e21)(定理2表

11、明：独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 定理定理33 设随机变量nXXX,21相互独立， 且都服从正态分布：),(2iiiNX,2 ,1ni的线性组合niiiXc1也服从正态分布，且有iniiXc1),(2121iniiiniiccN其中nccc,21为常数.4.4 正态随机变量的线性函数的分布由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论.则它们上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回思考题思考题1.设随机变量X与Y独立， 且X服从均值为,1标准差为2的正态分布， 而Y服从标准正态分布， 试求随机解：解： 已知X与Y独立， 且

12、, ) 1 ,0(, )2 ,1 (NYNX所以).9 ,2(2NYXW又因为随机变量, 3WZ4.4 正态随机变量的线性函数的分布).9 ,5(332NWYXZ由此可知，Z的概率密度为,e231)(18)5(2zZzf.z32YXZ的概率密度.变量于是上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回042Xyy无实根的概率为,5 . 0则._解：解： 方程042Xyy无实根就是,0416X即, 4X按题意,有,5 . 0)4(XP即. 5 . 0)4(XP已知, ),(2NX4.4 正态随机变量的线性函数的分布2.设随机变量X服从正态分布,),(2N且二次方程),4()4()4(XPX

13、P从而，,5 . 0)4(因为,5 . 0)0(所以应有,04由此得. 4所以上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回1.，若),(2NXbXaY).,(22bbaN特别： ).1 ,0( NX2. 随机变量X与Y相互独立， 且),(2xxNX),(2yyNY则).,(22yxyxNYX小小 结结推广： 设nXXX,21相互独立， 且),(2iiiNX,2 ,1ni则).,(21211iniiiniiiniiccNXc4.4 正态随机变量的线性函数的分布时，则当0b上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回补充例题补充例题设YX ,是两个相互独立的服从同一正态分布)2

14、1( ,0(2N的随机变量， 则随机变量YX 的数学期望._)(YXE设,YXZ由正态随机变量的线性性质知, ) 1 ,0( NYXZ于是Z的概率密度为.,e21)(22zzfzZ解解: :4.4 正态随机变量的线性函数的分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回4.4 正态随机变量的线性函数的分布dzzz202e22.2所以，dzzZEz22e21)(dzzz22e21上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回第四章 正态分布中心极限定理中心极限定理4.54.5上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回则怎么求和nXXXX21的分布?问题：能否利用极限

15、的方法进行近似处理？在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理中心极限定理.4.5 中心极限定理设nXXX,21为随机变量，上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回定理定理1（莱维定理莱维定理）设独立随机变量,21nXXX服从相同分布，并且数学期望和方差都存在：,)(iXE, 0)(2iXD,2 ,1 ni 4.5 中心极限定理服从标准正态分布。nnXXDXEXYniiniininiiin1111)()(当n时，则它们的和的标准化变量ninX1上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回

16、即它的分布函数xYPxFnn)(4.5 中心极限定理,e2122dtxtxnnXPxFniinnn1lim)(lim.是任意实数其中x满足)(x上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回由莱维定理可得如下的近似公式：nXXX,21设 独立同分布，,)(iXE, 0)(2iXD,2 ,1ni则当n充分大时，4.5 中心极限定理推论推论且211znnXznii),()(12zzP.,21是任意实数其中zz上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例1解：解： 设随机变量iX表示第i个加数的取整误差， 则iX在区间5 . 0 ,5 . 0上服从均匀分布， 并且有,0)(iX

17、E,121)(iXD.300,2 ,1i4.5 中心极限定理 计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间 上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.5 . 0 , 5 . 0上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回于是所求的概率为1)2(2.9544. 04.5 中心极限定理)()(12211zzznnXzPnii0)(iXE121)(iXD)2()2()10(3001iiXP)(21213003001iiXP上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回定理定理2（棣莫弗棣莫弗-

18、拉普拉斯定理拉普拉斯定理）设在独立试验序列中，A事件 在各次试验中发生的概率为, ) 10( pp随机变量nY表示事件A在n次试验中发生的次数， 则有xnpqnpYPnnlim)(e2122xdtxt其中z是任何实数，. 1 qp4.5 中心极限定理上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回证证： 设随机变量iX表示事件A在第 次试验中发生 i的次数),2 ,1( ni 则这些随机变量相互独立，服从相同的 10 分布分布， 并且有数学期望及方差：,)(pXEi,)(pqXDi.,2 ,1 ni 显然，事件A在n次试验中发生的次数,1niinXY所以， 按列维定理可知， 等式成立.4.5 中心极限定理上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回由定理可以推知：由