第二讲-5抛物线的参数方程VIP

1、抛物线的参数方程抛物线的参数方程引例中，空投物资作平抛运动，其空中运引例中，空投物资作平抛运动，其空中运动轨迹为：动轨迹为：) )g g10001000t t(t为参数，且0(t为参数，且0gtgt2 21 1500500y y100t100tx x2 2思考：对于一般的抛物线，如何建立相应思考：对于一般的抛物线，如何建立相应的参数方程？的参数方程？xyoM(x,y)例例1 1、设抛物线的普通方程为、设抛物线的普通方程为:y:y2 2=2px=2px，M(x,yM(x,y) )为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OMOM为为终边的角记作终边的角记作，求此抛物

2、线的参数方程。，求此抛物线的参数方程。) ). . . . . . . . .( (6 6t ta an n. . . . . . .x xy y定定义义可可得得，根根据据三三角角函函数数的的因因为为点点M M在在的的终终边边上上) )2 2p px x. . . . . .( (5 5y y设设抛抛物物线线的的普普通通方方程程为为2 2程程不不包包括括顶顶点点) )的的参参数数方方这这就就是是抛抛物物线线( (5 5) )( ( (为为参参数数）t ta an n2 2p py yt ta an n2 2p px xy y，得得到到( (6 6) )解解出出x x, ,由由( (5 5) )

3、, ,2 2(t为参数)(t为参数)2pt2pty y2pt2ptx x则有则有),),(0,(0,0),0)( (t t, ,tantan1 1如果令t如果令t2 2t的几何意义：t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.0 0) )的的参参数数方方程程? ?2 2p py y( (p px x普普通通方方程程为为建建立立抛抛物物线线设设抛抛物物线线的的的的定定义义选选取取参参数数，思思考考：怎怎样样根根据据抛抛物物线线2 2(t为参数)(t为参数)2pt2pty y2pt2ptx x2 22 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12

4、2t tt t1 1D D、, ,t tt t1 1C C、t tB B、t t, ,t tA A、t t) ) 所所在在直直线线的的斜斜率率是是( (M M弦弦M M则则, ,t t, ,所所对对应应的的参参数数分分别别是是t t，M M不不同同两两点点M M点点的的( (t t为为参参数数) )上上异异于于原原2 2p pt ty y2 2p pt tx x1 1、若若曲曲线线c轨迹方程。轨迹方程。M的中点，求点P的M的中点，求点P的M M1,0)，点P为线段1,0)，点P为线段( (M M2x上的动点，给定点2x上的动点，给定点2、设M为抛物线y2、设M为抛物线y0 00 02 2点点M

5、 M的的轨轨迹迹方方程程。M M，求求A AB B并并于于A AB B相相交交于于点点O OM MO OB B, ,且且O OA A点点，0 0) )上上异异于于顶顶点点的的两两动动2 2p px x( (p p线线y yB B是是抛抛物物标标原原点点，A A, ,例例2 2、如如图图O O是是直直角角坐坐2 2xyoBAM1 1t t所所以以t t0 0, ,t tt t( (2 2p p) ) )t t( (2 2p pt t即即0 0, ,O OB BO OA A所所以以, ,O OB BO OA A因因为为) ) )t t) ), ,2 2p p( (t tt t( (2 2p p(

6、(t tA AB B) ), ,2 2p pt t( (2 2p pt tO OB B) ), , ,2 2p pt t( (2 2p pt tO OA Ay y) ), ,( (x x, ,O OM M0 0) )则则t t且且t t, ,t t) )( (t t, ,2 2p pt t( (2 2p pt t) ), , ,2 2p pt t( (2 2p pt ty y) )B B的的坐坐标标分分别别为为( (x x, ,A A, , ,解解：根根据据条条件件，设设点点M M2 21 12 21 12 22 22 21 11 12 22 21 12 22 22 22 22 21 12 2

7、1 12 21 12 21 12 22 22 21 12 21 1B三点共线，B三点共线，M,M,y)且A,y)且A,x,2ptx,2pt(2pt(2ptMBMB),),2pt2pty y, ,2pt2pt(x(xAMAM因为因为0)0)(x(xx xy yt t即t即t0,0,y y) )t t所以x(t所以x(t0 0) )t t2py(t2py(t) )t t2px(t2px(t即即0,0,OBOBOMOM所以所以, ,ABABOMOM因为因为2 22 22 21 12 21 12 21 12 21 11 12 22 21 12 22 2这就是点M的轨迹方程这就是点M的轨迹方程0)0)0

8、(x0(x2px2pxy y0即x0即xx x2p2p) )x xy yy(y(得到得到(9)代入(10),(9)代入(10),将(8),将(8),0 0 x xt t2pt2pt) )t t化简，得y(t化简，得y(t) )2pt2ptx)(yx)(y(2pt(2pty)y)(2pt)(2pt2pt2pt所以(x所以(x2 22 22 21 12 21 11 12 22 22 22 21 1最最小小？最最小小值值是是多多少少? ?O OB B的的面面积积B B在在什什么么位位置置时时，A A在在例例3 3中中，点点A A, ,探探究究：. .最小值为4p最小值为4pAOB的面积最小，AOB的面积最小，B关于x轴对称时，B关于x轴对称时，即当点A,，即当点A,t t当且仅当t当且仅当t4p4p4 4) )t t(t(t2p2p2 2t tt t2p2p1)1)(t(t1)1)(t(tt tt t2p2pS S为为所以，所以，AOB的面积AOB的面积1 1t tt t2p2p) )(2pt(2pt) )(2pt(2ptOBOB1 1t tt t2p2p) )(2pt(2pt) )(2pt(2ptOAOA由例3可得由例3可得2 22 21 12 22 22 21 12 22 22