指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

1、.（一）指数与指数函数1根式（ 1）根式的概念（ 2）两个重要公式an 为奇数 n a na( a0)；| a |0)n 为偶数a(a (n a ) na （注意 a 必须使 na 有意义）。2有理数指数幂（ 1）幂的有关概念m正数的正分数指数幂:nnm(0, 、,且1);aa am nNnm11正数的负分数指数幂:a n0, m、 nN , 且n 1)m(aa nn am0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（ 2）有理数指数幂的性质r s r+sa a =a(a>0,r 、 s Q); (ar)s=ar

2、s(a>0,r 、s Q); (ab)r=arbs(a>0,b>0,r Q);.3指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1;.图象定义域R值域（0，+ ）性质（ 1）过定点（ 0， 1）（ 2）当 x>0 时， y>1;(2) 当 x>0 时， 0<y<1;x<0 时 ,0<y<1x<0 时, y>1(3) 在（ - ，+）上是增函数（ 3）在（ -， +）上是减函数注： 如图所示，是指数函数（1） y=ax,（2） y=b x, （ 3）,y=c x（ 4） ,y=d x 的图象，如何确定底数

3、 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1, c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果 axN (a0且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作 xlog aN ，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a0,且a 1log a N常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eln N2、对数的

4、性质与运算法则（1）对数的性质（ a0,且a11agolaNa N0， oglN ，ogl）： log aa 1， aa（2）对数的重要公式：N 。;.N换底公式： logb Nloga b(a,b均为大于零且不等于 1,N0) ；loga log a b1a。logb（3）对数的运算法则：如果 a0,且a1 ， M0, N0 那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog a Mlog aN ；N log aM nnlog a M ( nR) ； log a m bnn log a b 。m3、对数函数的图象与性质a 10 a 1图象性（ 1）定义域：（0,+

5、）质（ 2）值域： R（ 3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1，0）（ 4）当 0 x1时， y (,0) ；（ 4）当 x1 时， y(,0) ；当 x 1 时， y(0,)当 0 x1时， y(0,)（ 5）在（ 0,+）上为增函数（ 5）在（ 0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线 y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 0<c<d<1<a<b. 4、反函数;.指数函数y=ax 与对数函数y=log ax 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。（三）幂函数1、幂函数

6、的定义形如 y=x （ aR）的函数称为幂函数，其中x 是自变量， 为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3， y=x 2，y=x ， y x2， y=x -1 方法：可画出x=x 0；1当 x0>1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ， yx2 ， y=x -1 ；y=x -1， y12， y=x 3 。当 0<x 0<1 时，按交点的高低，从高到低依次为x 2 ，y=x ， y=x3、幂函数的性质23y=x-1y=xy=xy=x1yx2定义域RRR0，）R