圆柱和圆锥的体积

1、美吉数学圆柱和圆锥的体积（一）u 【知识点1】 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！u 【知识点2】长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（abh）×4 长=棱长总和÷4宽 高 a=L÷4bh宽=棱长总和

2、7;4长 高 b=L÷4ah高=棱长总和÷4长 宽 h=L÷4ab正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12长方体的表面积=（长×宽长×高宽×高）×2 S=2（abahbh）无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽（长×高宽×高）×2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab无底又无盖长方体表面积=（长×高宽×高）×2 S=2（ahbh）正方体的表面积=棱长×

3、;棱长×6 S=a×a×6 u 【知识点3】物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a= a3 u 【知识点2】长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长 ×棱长

4、把圆柱的底面平均分的份数越多，切拼成的立体图形越接近长方体。圆柱的体积= 圆柱体的大小与底面积有关！高相等时底面积越大的体积越大圆锥的体积= 圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一圆柱与圆锥的体积之间有什么关系？等底等高圆锥体积是圆柱体积的三分之一等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍圆柱圆锥底 面都是圆 形一个底面，是圆形。侧面曲面，沿高剪开，展开后是 长方形曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线 段剪开，展开后是扇形。高两个底面之间的距离，有无 数条顶点到底面圆心的距离，只有一条。例 1、求下面立体图形的底面周长和底面积。半径3厘米 直径10米等高等积：比较底圆柱底是圆锥底的（ ），圆锥底是

5、圆柱底的（ ）；圆柱底比圆锥底（ ），圆锥底比圆柱底（ ）。想一想：把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米。已知圆柱高20厘米，求圆柱的体积。等底等积：比较高圆柱高是圆锥高的（ ），圆锥高是圆柱高的（ ）；圆柱高比圆锥高（ ），圆锥高比圆柱高（ ）。等底等高：比较体积圆柱体积是圆锥体积的（ ），圆锥体积是圆柱体积的（ ）；圆柱体积比圆锥体积（ ），圆锥体积比圆锥体积（ ）。例2 拼、切圆柱把一个高是6分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48平方分米。原来这个圆柱的体积是多少立方分米？练一练1、把一个长3分米的圆柱

6、，平均分成两段圆柱，表面积增加6.28平方分米。原来这个圆柱体积是多少立方分米？2、把3完全一样的圆柱，连接成一个大圆柱，长9厘米，表面积减少12.56平方分米。原来每个圆柱的体积是多少立方厘米？例3 加工圆柱一个长方体，长8厘米，宽6厘米，高8厘米。把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱体积是多少立方厘米？练一练1、把一个棱长是8分米的正方体锻造成一个高是12分米的圆柱体，这个圆柱体的底面积是多少？2、把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？例4 求空心管的表面积和体积有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图

7、圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？练一练明明做一个直径20cm，高30cm的圆柱形灯笼，（如下图）。上下底面中间分别留出了直径是10cm的圆形口，他用了多少彩纸？例5 巧求体积如图，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米；瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？ 练一练一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米问：瓶内酒精的体积是多

8、少立方厘米？合多少升？  圆柱和圆锥的体积（二）等底等高：比较体积圆柱体积是圆锥体积的（ ），圆锥体积是圆柱体积的（ ）；圆柱体积比圆锥体积（ ），圆锥体积比圆锥体积（ ）。例1等高等积：比较底圆柱底是圆锥底的（ ），圆锥底是圆柱底的（ ）；圆柱底比圆锥底（ ），圆锥底比圆柱底（ ）。小练习：（1） 一个圆柱与一个圆锥等底等高，如果要使它们的体积相等，则圆锥的高要 ( ) ，或者把圆柱的高 ( )；也可以把圆锥的底面积( ) ，或者把圆柱的底面积( )。（2） 一个圆柱的体积是 300 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。（3）一个圆柱的体积是 60 立方分米，比与它

9、等底等高的圆锥的体积多( )立方分米。（4） 把一个圆柱切削成一个最大的圆锥，已知削去部分的体积比圆锥体积大3.6立方分米，那么圆锥的体积是（ ）立方分米。（5） 一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积之和是 120 立方分米，这个 圆柱的体积是( )立方分米；圆锥体积比圆柱少( )立方分米。例2 按某条轴旋转得到圆柱体或圆锥体（或以一条边为轴）有一个直角三角形的三条边的长度分别为3分米、4分米和5分米。如果以其中的一条边为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少?练一练1、一个直角三角形的两条直角边长度分别是4厘米和3厘米。如果以长为4厘米的直角边为旋转轴一周，可以得到一个圆锥，这个圆锥的体积

10、是多少立方厘米？2、一个直角三角形的三条边分别为5厘米，12厘米和13厘米，如果以其中的一条边为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少?例3一个装满小麦的粮囤，上面是一个圆锥形，下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是6.28米，高是2米，圆锥的高是0.6米。如果每立方米小麦重750千克，这囤小麦大约有多少千克？练一练1、有一种容器，它的下半部分是圆锥，上半部分是圆柱，圆锥的直径是10厘米，高3厘米，圆柱的直径8厘米，高是10厘米。现在用这种容器装油，圆锥部分装满，圆柱部分装了2厘米，如果将这种容器倒立，那么此时油的高度是多少？2、如图，有一个下面是圆柱，上面是圆锥的容器，圆柱的高是10厘米，圆锥的

11、高是6厘米，容器内液面的高是7厘米。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的尖到液面的高是多少厘米？例4一个底面直径是40里面的圆柱形玻璃杯装有一些水，一个底面直径是20厘米、高为15厘米的圆锥形铅锥完全没入水中，当取出铅锤后，杯里的水面下降几厘米？练一练1、一个圆柱形容器，底面半径10cm，里面盛有不满的水，现将一个底面积为157cm2的圆锥形铁块浸没在容器内，水面上升了1cm，求圆锥形铁块的高是多少厘米。2、在一个高为8厘米、容积为50毫升的圆柱形容器A里面装满了水。现把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿起后，A中的水高度为6厘米，求圆柱

12、体B的体积。课后作业（一）1、 填空不困难，全对不简单。（1） 圆柱的底面积为S，高为h，它的体积V（ ）。（2） 圆柱的底面半径是r，高为h，它的体积V( )。（3） 6.4立方米（ ）立方分米 2升25毫升（ ）升( )立方分米（4） 把高2m 圆柱锯成两段，表面积增加了20m2，原来这个圆柱的体积是（ ）。（5）圆柱的底面周长6.28cm，高10cm，这个圆柱的表面积是（ ），体积是（ ）。（6）把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，圆柱的底面半径是10cm，这个圆柱的高是（ ）cm，体积是（ ）cm2。（7）一个圆柱的体积是21dm3，把它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）dm3。

13、2、 我是小法官，对错我会判。（1） 圆锥的侧面是三角形。（ ）（2） 圆锥只有一条高。（ ）（3）一个圆柱的高缩小到原来的二分之一，底面半径扩大到原来的2倍，体积不变。（ ）（4）把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的8倍。（ ）（5）把1dm3的物体放在桌上，它所占桌面的面积是1dm2。（ ）3、慧眼识珠，我会选。 A.侧面积 B.表面积 C.体积 D.容积（1） 一只圆柱形水桶能装多少升水，是求水桶的（ ）。（2） 做一节圆柱形通风管要用多少铁皮，是求通风管的（ ）。（3） 一段圆柱形铁条有多少立方米，是求它的（ ）。（4） 做一只圆柱形的油桶，至少要用多少铁皮，

14、是求油桶 （ ）。4、大亲公园新建一个圆柱形水池，它的容积是84.78m3，底面积是28.26m2。现在水池里装水量为水池容积的六分之五，水深是多少米？5、一个圆柱形粮囤，量得底面周长9.42m，高是4m，每立方米小麦约重650kg。这个粮囤大约能装上麦多少千克？6、用铁皮制作2个圆柱形水桶（无盖），底面半径为12厘米，高为35厘米。制作这样2个水桶需要用铁皮多少平方分米？这2个桶最多可盛水多少升？7、有一个圆柱形储粮桶，容量是3.14m³，桶深2米，把这个桶装满稻谷后再在上面把稻谷堆成一个高0.3米的圆锥。这个储粮桶装的稻谷体积是多少立方米？（得数保留两位小数）8、一根底面直径是2

15、分米、长是2米的圆木，要锯成横截面是最大的正方形的方木，需要锯下多少木料？9、一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器内，水深是多少分米？8cm10、如图，一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。 课后作业（二）一、填空 一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高是 9 分米,圆锥的高是 ( )分米。 一个圆锥与一个圆柱等底等积，圆锥的高是 24 厘米，圆柱的高比圆锥矮 ( ) 厘米。 如果圆柱与圆锥等积等底，它们高的相差 12 厘米，则圆柱的高是 ( )厘米；它们高的和是 ( )厘

16、米。（4） 一个圆锥与一个圆柱的高相等，体积也相等,圆锥的底面积是90平方厘米, 圆柱的底面积是 ( )平方厘米。（5） 一个圆柱与一个圆锥等积等高，如果圆柱的底面积是60平方厘米，则它们的的底面积之和是( )平方厘米。（6） 已知一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等, 高也相等，圆柱的体积和圆锥体积的关系是： A. 圆柱的体积是圆锥体积的 。 B. 圆锥的体积是圆柱体积的 。 C. 圆柱的体积比圆锥体积 。 D. 圆锥的体积比圆柱体积 。 E. 圆柱与圆锥体积之比是 。 F. 圆锥与圆柱体积之比是 2、填表。（单位：cm）直径高侧面积表面积体积36412.56656.523、 求下面图形的体积

17、。（单位：cm） 三、应用题1、一个体积是1413dm3的铁块，可以锻造成多少个底面积是28.26dm2，高是5dm的圆锥形零件？2、把一根圆柱形木材沿底面直径切开成两个半圆柱体，已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是30144立方厘米，求原来圆柱形木材的体积和侧面积。3、一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？4、一个直角三角形，三条直角边分别是6厘米，8厘米和10厘米，沿斜边旋转一周后，得到一个旋转体，求旋转体的体积是多少？5、在一只底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入长和宽都是8厘米，高15厘米的一块铁块