第十一节-用能量法计算自振频率

1、2021/8/14111-10 能量法计算自振频率能量法计算自振频率 一一.能量法计算自振频率能量法计算自振频率 的依据的依据对体系的自由振动形式作出简化假设，根据对体系的自由振动形式作出简化假设，根据能量守恒定律能量守恒定律求得体系自振频求得体系自振频率的近似值。率的近似值。 能量守恒定律能量守恒定律: :如果不考虑阻尼的影响，则体系的能量既无输入也无耗散。如果不考虑阻尼的影响，则体系的能量既无输入也无耗散。根据能量守恒定律，体系在任一时刻根据能量守恒定律，体系在任一时刻t t的动能的动能V V(t)(t)与应变能与应变能U U( (t t) )之和应当保之和应当保持不变，即持不变，即 V(

2、t)+ U(t)=常数常数 二.能量法计算自振频率能量法计算自振频率 的公式的公式若体系以某一频率作自由振动，当体系在通过静平衡位置时，各质若体系以某一频率作自由振动，当体系在通过静平衡位置时，各质点速度最大，因此动能点速度最大，因此动能V(t)达到其最大值达到其最大值Vmax，而应变能，而应变能U(t)=0；当；当体系达到振幅位置时，各质点速度为零，因此动能体系达到振幅位置时，各质点速度为零，因此动能V(t)=0，而应变，而应变能能U(t)达到其最大值达到其最大值Umax。对这两个特定时刻，按照式。对这两个特定时刻，按照式(a)可得可得 (a) Vmax+0 = = 0+Umax 或或 Vm

3、ax = = Umax (b) 利用式利用式(b)可以得到确定体系自振频率的方程。可以得到确定体系自振频率的方程。 2021/8/142设图设图11-54所示简支梁具有分布质所示简支梁具有分布质量和若干个质点量和若干个质点mi。体系按某一。体系按某一自振频率作自由振动，以自振频率作自由振动，以Y(x)表表示梁上任意一点示梁上任意一点x处的振幅处的振幅(即振即振型函数型函数)，则位移可表示为，则位移可表示为 y(x,t)=Y(x)sin( t+ ) 速度为速度为 (x,t)=Y(x)cos( t+ ) y 体系的动能为体系的动能为 202)(21),()(21)(tymdxtxyxmtViil2

4、220222)(cos21)()()(cos21iilYmtdxxYxmt式中式中Yi为质点为质点mi的振幅。的振幅。 动能的最大值为动能的最大值为 22202max21)( )(21iilYmdxxYxmV2021/8/143体系的弯曲应变能为体系的弯曲应变能为 dxtxyEIdxEIMtUll 0202),(2121)(dxxYEItl 022)()(sin21应变能的最大值为应变能的最大值为 dxxYEIUl 02max)(21由由 = 得得 maxVmaxU liilYmdxxYxmdxxYEI022022)()()(11-97) 利用式利用式(11-97)计算自振频率时，必须知道振幅

5、曲线计算自振频率时，必须知道振幅曲线Y(x)，但，但Y(x)事先通常未知，事先通常未知，故只能假设一个故只能假设一个Y(x)来进行计算。来进行计算。若所假设的若所假设的Y(x)恰好与第一振型吻合，则可求恰好与第一振型吻合，则可求得第一频率的精确值；若恰好与第二振型吻合，则可求得第二频率的精确值；得第一频率的精确值；若恰好与第二振型吻合，则可求得第二频率的精确值；。但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率亦为近似值。由于假设高频率的振型但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率亦为近似值。由于假设高频率的振型较困难较困难，常使误差很大，故这种方法常使误差很大，故这种方法适宜于计算第一频率适宜于计算第一

6、频率。2021/8/144在假设振幅曲线在假设振幅曲线Y(x)时，时，至少应使它满足位移边界条件，并尽可能满足力的至少应使它满足位移边界条件，并尽可能满足力的边界条件。边界条件。通常可取结构在某种静荷载通常可取结构在某种静荷载(x)作用下的挠曲线作为作用下的挠曲线作为Y(x)，此时应，此时应变能可以更简便地用外力实功来代替，即变能可以更简便地用外力实功来代替，即 dxxYxqUl0max)()(21而式而式(11-97)可改写为可改写为 liilYmdxxYxmdxxYxq02202)()()()( (11-98) 如果取结构自重作用下的变形曲线作为如果取结构自重作用下的变形曲线作为Y(x)，

7、则式，则式(11-97)可改写为可改写为 liiliiYmdxxYxmgYmdxxgYxm02202)()()()( (11-99) 如果是求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用如果是求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。 2021/8/145例例11-17 试用能量法求图试用能量法求图11-53a所示等截面简支梁的第一频率。所示等截面简支梁的第一频率。 解：解：(1)假设振幅曲线假设振幅曲线Y(x)为抛物线为抛物线 228)()(4)(laxYxlxlaxY 所选择的振幅曲线满足位移边界条件：所选择的振幅曲线满足位移边界条件：Y(0)=0，Y(l)=0；但不满足简支梁端弯矩等于

8、零；但不满足简支梁端弯矩等于零的边界条件：的边界条件： ， 。 0)0( YEI0)( lYEI2021/8/146将上式代入式将上式代入式(11-97)，得，得 228)()(4)(laxYxlxlaxY 4232022420422112015864)(1664lmEIlamlEIadxxlxlamdxlaEIllmEIl21954.102021/8/147(2)取均布荷载取均布荷载q作用下的挠曲线作为作用下的挠曲线作为Y(x)，即，即 )2(24)(433xlxxlEIqxY它既满足位移边界条件，也满足力的边界条件。代入式它既满足位移边界条件，也满足力的边界条件。代入式(11-98)，得，

9、得 lldxxlxxlEIqmdxxlxxlEIq024332043321)2()24()2(244955484.9763031245lmEIlEIqmqlmEIl21877. 92021/8/148(3)设振幅曲线设振幅曲线Y(x)为正弦曲线，即为正弦曲线，即 lxlaxYlxaxY sin)(sin)(22代入式代入式(11-97)，得，得 442324022024422122)(sin)(sinlmEIlamlEIadxlxamdxlxlEIallmEIlmEIl22218696. 92021/8/149(4)讨论讨论 正弦曲线是第一主振型的精确解正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求

10、得的是第一频，因此由它求得的是第一频率的精确值。率的精确值。 用近似的振幅曲线用近似的振幅曲线Y(x)求得的频率值均比精确值大求得的频率值均比精确值大，这是因为，这是因为用近似的振幅曲线去代替真实的振幅曲线时，相当于在体系上用近似的振幅曲线去代替真实的振幅曲线时，相当于在体系上增加了约束，使体系的刚度增大，导致求得的频率高于精确值。增加了约束，使体系的刚度增大，导致求得的频率高于精确值。 取均布荷载取均布荷载q作用下的挠曲线作为作用下的挠曲线作为Y(x)求得的求得的 具有很高的具有很高的精度，本例的误差仅为精度，本例的误差仅为0.075%。 12021/8/1410例例11-18 用能量法求例

11、用能量法求例11-12刚架的第一频率。刚架的第一频率。 已知：该刚架如图已知：该刚架如图11-55a所示，集中在各层横梁上的质量分别所示，集中在各层横梁上的质量分别为为m1=m2=270103kg、m3=180103kg，各层的相对侧移刚度，各层的相对侧移刚度分别为分别为k1=245106N/m、k2=196106N/m、k3=98106N/m。 2021/8/1411解：将各层重量解：将各层重量m mi ig g作为水平力作用于各横梁上作为水平力作用于各横梁上( (图图11-55b)11-55b)，以此水平力作，以此水平力作用下各横梁产生的水平位移作为用下各横梁产生的水平位移作为m mi i

12、的振幅的振幅Y Yi i，分别求得如下：，分别求得如下： )(0288. 0102458 . 910)180270270(631311mkgmYii2021/8/14126323212101968 . 910)180270(0288. 0kgmYYii)(0513. 00225. 00288. 0m018. 00513. 010988 . 9101800513. 0633323kgmYY=0.0693 (m) 2021/8/1413代入式代入式(11-99)得得 221iiiiYmgYm23223330693. 010180)0513. 00288. 0(102700693. 08 . 910

13、180)0513. 00288. 0(8 . 910270=185.769 =13.63 s1 1比精确值比精确值13.47(见例见例11-12)只大只大1.2%。 2021/8/1414本章小结本章小结 结构动力计算与静力计算的主要不同之处是动力计算结构动力计算与静力计算的主要不同之处是动力计算要考要考虑惯性力虑惯性力(有时也包括阻尼力有时也包括阻尼力)和时间因素。动力计算包括自由振和时间因素。动力计算包括自由振动和强迫振动两部分内容。动和强迫振动两部分内容。 (1)动力计算的基本未知量是质点的位移。动力计算的基本未知量是质点的位移。确定体系在振动过程确定体系在振动过程中任一时刻所有质点位置

14、所需的独立几何参数的数目，称为体系的中任一时刻所有质点位置所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度动力自由度，也就是动力计算基本未知量的个数。，也就是动力计算基本未知量的个数。 (2)进行动力计算要建立体系的运动方程。建立运动方程的基进行动力计算要建立体系的运动方程。建立运动方程的基本方法是本方法是动静法动静法，它是根据达朗贝尔原理，在运动体系的质点上，它是根据达朗贝尔原理，在运动体系的质点上加入假想的惯性力。用动静法列运动方程两种方式：若体系的柔加入假想的惯性力。用动静法列运动方程两种方式：若体系的柔度系数比较容易求得，就列位移方程度系数比较容易求得，就列位移方程(柔度法柔度法)；若体

15、系的刚度系；若体系的刚度系数比较容易求得，就列动力平衡方程数比较容易求得，就列动力平衡方程(刚度法刚度法)。 2021/8/1415 (3)熟练掌握单自由度体系自振频率和周期的计算方法。自振熟练掌握单自由度体系自振频率和周期的计算方法。自振频率为频率为 stgWgmmk1111111自振周期为自振周期为 1111222mkmT 体系的自振频率和周期只与体系的刚度和质量有关，而与引体系的自振频率和周期只与体系的刚度和质量有关，而与引起自由振动的初始条件起自由振动的初始条件(初位移或初速度初位移或初速度) 、 荷载情况荷载情况无关，是无关，是体系的固有特性。体系的固有特性。 2021/8/1416

16、 (4)阻尼对一般土木工程结构的自振频率和周期的影响很阻尼对一般土木工程结构的自振频率和周期的影响很小，通常忽略不计。小，通常忽略不计。 (5)对于简谐荷载作用于质点的单自由度体系，熟练掌握用对于简谐荷载作用于质点的单自由度体系，熟练掌握用动力系数法计算动位移和动内力动力系数法计算动位移和动内力(以动弯矩为例以动弯矩为例)的最大值：的最大值： stytymax)(stMtMmax)(在共振区外可不考虑阻尼，动力系数在共振区外可不考虑阻尼，动力系数按下式计算：按下式计算： 2211必须注意，必须注意，上述动力系数法只适用于单自由度体系在质点处受简谐荷载作用上述动力系数法只适用于单自由度体系在质点

17、处受简谐荷载作用的情况。的情况。对于干扰力不是简谐荷载，或简谐荷载不作用于质点的单自由度体对于干扰力不是简谐荷载，或简谐荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系系，以及多自由度体系(不论何种荷载不论何种荷载)，均不能采用这一方法。因为在这些，均不能采用这一方法。因为在这些情况下没有统一的动力系数。情况下没有统一的动力系数。 2021/8/1417 (6)对于任意动荷载作用于质点的单自由度体系，质点的动对于任意动荷载作用于质点的单自由度体系，质点的动位移用杜哈梅积分计算。应注意理解杜哈梅积分中各参数的含位移用杜哈梅积分计算。应注意理解杜哈梅积分中各参数的含义。义。 (7)多自由度体系自由

18、振动计算的主要目的是求自振频率和多自由度体系自由振动计算的主要目的是求自振频率和确定主振型。重点掌握两个自由度体系的计算。如果求体系的确定主振型。重点掌握两个自由度体系的计算。如果求体系的柔度系数方便，就采用柔度法；如果求体系的刚度系数方便，柔度系数方便，就采用柔度法；如果求体系的刚度系数方便，就采用刚度法。就采用刚度法。 当多自由度体系的各质点按某一个自振频率作自由振动时，当多自由度体系的各质点按某一个自振频率作自由振动时，任一时刻各质点位移之间的比例保持不变，这种特殊的振动形任一时刻各质点位移之间的比例保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型。所谓确定主振型，就是求出每一振型情况下各式称为主振型。所谓确定主振型，就是求出每一振型情况下各质点位移之间的比值。质点位移之间的比值。 2021/8/1418 (8)掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下(不考虑阻尼不考虑阻尼)的振的振幅及最大动内力的计算方法幅及最大动内力的计算方法(列幅值方程列幅值方程) 。 (9)当干扰力为任意动荷载或简谐荷载需考虑