2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集(学生版解析版)

1、2017-2021年高考真题 绝对值不等式解答题全集(学生版+解析版)1.( 2021?乙卷)已知函数 f (x)= |x- a|+|x+3|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) 6 的解集；(2)若 f (x)- a,求 a 的取值范围.2.( 2020?江苏)设 xR，解不等式 2区+1|+凶.4.( 2020?新课标I)已知函数 f (x)= |3x+1| - 2|x- 1|.(1) 画出 y= f (x)的图象；(2) 求不等式 f (x) f (x+1 )的解集.5.( 2020?新课标n)已知函数 f (x)= |x- a2|+|x- 2a+1|.(1 )当 a =

2、2 时，求不等式 f (x) 4 的解集；(2 )若 f (x) 4，求 a 的取值范围.6.( 2020?新课标川)设数列an满足 a1= 3, an+1= 3an- 4n.(1) 计算 a2, a3,猜想an的通项公式并加以证明；(2) 求数列2nan的前 n 项和 Sn.7.( 2020?新课标川)设 a, b, cR, a+b+c= 0, abc = 1.(1) 证明：ab+bc+cav0；(2)用 maxa, b, c表示 a, b, c中的最大值，证明：maxa, b, c .第 1 页(共 15 页)& ( 2019?江苏)设 xR，解不等式 X|+|2x - 1|2 .

3、9.( 2019?新课标川)设 x, y, zR，且 x+y+z= 1 .(1 )求(x- 1)2+ ( y+1)2+ (z+1)2的最小值;(2)若(x- 2)2+ ( y- 1)2+ (z- a)21成立，证明：aw- 3 或 a- 1.310. (2019?新课标n)已知 f (x)= |x- a|x+|x- 2| (x - a).(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x)v0 的解集；(2 )当 x(-g,1)时，f(x)v0,求 a 的取值范围.11. (2019?新课标I)已知 a, b, c 为正数，且满足 abc = 1 .证明:1+1+1wa2+b2+c2；? ? ?3

4、33(2) (a+b) + (b+c) + ( c+a)24.12. ( 2018?北京)设 n 为正整数，集合 A= a| a=(t1, t2,tn), tk0, 1 , k= 1 , 2,n，对于集合 A 中的任意元素a=(x1, x2,，xn)和3=(y1, y2,yn),记 M(a,13)=(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+(xn+yn-|xn-yn|).(I)当 n=3 时，若a=(1,1,0), 3=(0,1,1)，求 M(a, a)和 M(a, 3)的 值；()当 n= 4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素a, 3,当a, 3

5、相同时，M (a, 3)是奇数；当a, 3不同时，M (a, 3)是偶数.求集合 B 中元素个数的 最大值；(川)给定不小于 2 的 n,设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素a, 3,M (a,3)= 0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由.13.(2018?新课标I)已知 f (x)= |x+1| - |ax- 1|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) 1 的解集；(2)若 x (0, 1 )时不等式 f (x) x 成立，求 a 的取值范围.14.(2018?新课标H)设函数 f( x)= 5-|x+a|-|x - 2|.(1 )当 a

6、 = 1 时，求不等式 f (x) 0 的解集；(2 )若 f (x)w1，求 a 的取值范围.215.(2017?新课标I)已知函数 f (x)=- x +ax+4, g (x)= |x+1|+|x- 1|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) g (x)的解集；(2)若不等式 f (x) g (x)的解集包含-1, 1,求 a 的取值范围.第 2 页(共 15 页)(1)第 3 页（共 15 页）3316.(2017?新课标n)已知 a 0, b 0, a +b = 2证明：55(1)(a+b) (a5+b5) 4;(2)a+bw2.17.(2017?新课标川)已知函数 f (

7、x)= |x+1| - X - 2|.(1 )求不等式 f (x) 1 的解集；(2)若不等式 f (x) x2- x+m 的解集非空，求 m 的取值范围.2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集(学生版+解析版)参考答案与试题解析1.( 2021?乙卷)已知函数 f( x)= |x- a|+|x+3|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) 6 的解集;(2)若 f (x)- a,求 a 的取值范围.-2? - 2,? 1 f (x) 6,. ?w-3或-3v?V1或?1,-2? - 2 6462?+ 2 6/ x 2,不等式的解集为(-a,-4U2,+R).(2)

8、f (x)= |x - a|+|x+3| |x- a- x - 3|= |a+3|,若 f (x)- a,则 |a+3| - a,两边平方可得 a2+6a+9 a2,解得 a-j, 即 a 的取值范围是(-2, +a).2.( 2020?江苏)设 xR，解不等式 2|x+1|+|x|V4.3?+ 2,?0【解答】 解：2|x+1|+|x|= ?+ 2,- 1 ?0-1 ? 0?V- 1 0V?V2或-K xv4 .【解答】 证明：(1)Ta+b+c= 0,.( a+b+c)2= 0,第 4 页(共 15 页)第 5 页（共 15 页）2 2 2a +b +c +2ab+2ac+2bc= 0,2

9、 2 2 2ab+2ac+2bc=-( a +b +c ),/abc = 1 , a, b, c 均不为 0,2 2 2 2ab+2ac+2bc=-( a +b +c ) 0, ab+ac+bc 0;(2)不妨设 a b 0 c占,/a+b+c=0，-a-b=c 2V? -6 = 43=学 4,与假设矛盾,% 41故 max a, b, c v4.4.( 2020?新课标I)已知函数 f (x)= |3x+1| - 2|x- 1|.(1) 画出 y= f (x)的图象；(2)求不等式 f (x) f (x+1 )的解集.?+ 3,(? 1)1【解答】 解：函数 f (x)= |3x+1| -

10、2|x- 1|=5?- 1,(- - ?1),1-?- 3,(? f (x+1)的解集为x|xV-6.5.( 2020?新课标H)已知函数 f (x)= |x- a2|+|x- 2a+1|.(1 )当 a = 2 时，求不等式 f (x) 4 的解集；(2)若 f (x) 4，求 a 的取值范围.-2? + 7,? 4当 XW3 时，不等式 f (x) 4 化为-2x+7 4，即 x|, x 4 化为 1 4,此时 x?；当 x 4 时，不等式 f (x) 4 化为 2x- 7 4，即 x11-, x11-.综上，当 a= 2 时，不等式 f (x) 4 的解集为x|xw|或 x号；第 6 页

11、(共 15 页)(2)由于 f (x+1)的图象是函数 f (x)的图象向左平移了一个单位所得,(如图所示)第 7 页(共 15 页)2 2 2(2) f (x)= |x- a |+|x 2a+1| |x a ( x 2a+1) |= | (a - 1) |=( a 1)2又 f (x) 4,.( a 1)2 4,得 a 1w- 2 或 a 12,解得：aw-1 或 a 3.综上，若 f (x) 4，贝Ua 的取值范围是(-a,-1U3, +s).6.( 2020?新课标川)设数列an满足 a1= 3, an+1= 3an 4n.(1) 计算 a2, a3,猜想an的通项公式并加以证明；(2)

12、 求数列2nan的前 n 项和 Sn.【解答】 解：( 1 )法一：数列 an 满足 a1= 3, an+1= 3an 4n,贝Va2= 3a1 4 = 5, a3= 3a2 4X2 = 7,，猜想 an 的通项公式为 an= 2n+1 .证明如下： (i)当 n = 1, 2, 3 时，显然成立，(ii)假设 n = k 时，ak= 2k+1 ( kN+)成立，当n=k+1时,ak+1= 3ak 4k= 3( k+1 ) 4k= 2k+3= 2( k+1 ) +1 ,故 n= k+1 时成立, 由(i) (ii)知，an= 2n+1,猜想成立，所以an的通项公式 an= 2n+1.法二：数列

13、 an 满足 a1= 3, an+1= 3an 4n,则a2= 3a1 4 = 5, a3= 3a2 4X2 = 7,，猜想 an 的通项公式为 an= 2n+1 .证明：设an+1+a(n+1) +3=3 (an+an+ ,可得an+1=3an+2 %n+23- a,2?= -4?= -2二2?- ?= 0，解得?= -1二 an+1 2 (n+1) 1 = 3 (an 2n - 1),(不能说明an 2n 1是等比数列)Ta1= 3, a1 2x1 1 = 0,并且 a2 2 (2+1) 1 = 0,所以 an= 2n+1 恒成立.所以an= 2n+1 .(2)令 bn= 2nan=( 2

14、n+1 )?2n，则数列2nan的前 n 项和Sn=3x21+5x22+(2n+1)2n,两边同乘 2 得，2Sn= 3X22+5x23+ (2n+1 ) 2n+1,-得，-Si = 3X2+2x22+ +2x2n( 2n+1) 2n+1?-1第8页（共 15 页）n8(1-2?)/、n+1=6+1-2- (2n+1) 2,所以 Sn=( 2n - 1) 2n+1+2.7.( 2020?新课标川)设 a, b, cR, a+b+c= 0, abc = 1.(1) 证明：ab+bc+cav0;(2)用 maxa, b, c表示 a, b, c 中的最大值，证明：maxa, b, c v4.【解答

15、】 证明：(1 ) a+b+c= 0,.( a+b+c)2= 0,2 2 2a +b +c +2ab+2ac+2bc= 0, 2ab+2ac+2bc=-( a2+b2+c2),/ abc = 1 , a, b, c 均不为 0, 2ab+2ac+2bc=-( a2+b2+c2) 0, ab+ac+bc 0;(2)不妨设 a b 0 c具,?V43 _/ a+b+c=0，-a-b=c 2v?=4y= 43 =J4,与假设矛盾,必463故 max a,b,c v4.& ( 2019?江苏)设 xR ,解不等式 Xl+|2x - 1|2 .13?- 1,?1【解答】解：|x|+|2x-1|=

16、 _?+1,0w?*,-3? + 1,?2 ,3?- 12、-? + 12-3?+12 1或1或 * *? -0w?w -? 1 或 x?或 x-,3不等式的解集为x|x 1.9. ( 2019?新课标川)设 x , y , zR ,且 x+y+z= 1 .?-1第9页（共 15 页）(1 )求(x- 1)2+ ( y+1 )2+ (z+1 )2的最小值；(2)若(x- 2)2+ ( y- 1)2+ (z- a)21成立，证明：aw- 3 或 a- 1.3第10页（共 15 页）【解答】解：（1） x, y, zR，且 x+y+z= 1,由柯西不等式可得2 2 2 2 2 2 2(1 +1 +

17、1 ) (X- 1)+ ( y+1)+ ( z+1) ( X- 1+y+1 + z+1 )= 4,可得(x- 1)2+ (y+1 )2+ (z+1)24,32224即有(X - 1) + (y+1 ) + (z+1 ) 的最小值为一；3(2 )证明：由 x+y+z= 1，柯西不等式可得(12+12+12)2 2 2 2 2(x- 2) + ( y- 1) + (z- a) ( x- 2+y- 1+z-a) =( a+2),可得（x-2）22+ (y- 1)2+ (z- a)2(?#L,即有（x- 2）2+ (y- 1)2+ (z- a)2的最小值为刀,3（?+2）21由题意可得上一丄 -,33

18、解得 a- 1 或 aw- 3.10. (2019?新课标H)已知 f (x)= |x- a|x+|x- 2| (x - a).(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x)v0 的解集；(2 )当 x(-g,1)时，f(x)v0,求 a 的取值范围.【解答】 解：(1)当 a = 1 时，f (x)= x- 1|x+|x- 2| (x- 1),/ f (x)v0,二当 xv1 时，f (x)=- 2 (x - 1)2v0，恒成立， xv1;当 x 1 时，f( x) = ( x - 1) (x+|x- 2|) 0 恒成立， x?；综上，不等式的解集为(-R,1);(2)当 a 1 时，f

19、(x)= 2 (a- x) (x- 1)v0 在 x (-,1) 上恒成立;当 av1 时，x (a, 1), f (x)= 2 (x- a) 0，不满足题意， a 的取值范围为：1 , +g)11. （2019?新课标I）已知 a, b, c 为正数，且满足 abc = 1 .证明:1 1 12 2 2(1)+ - +wa2+b2+c2；? ? ?(2) (a+b)3+ (b+c)3+ ( c+a)32 4.【解答】证明：（1）分析法：已知 a, b, c 为正数，且满足 abc = 1.1 1 12 2 2要证(1)?+?+?wa+b+c;因为abc=1.? ? ? c C C就要证：右+

20、右+石wa +b +c;第11页（共 15 页）第12页（共 15 页）2 2 2即证：bc+ac+abwa +b +c ;2 2 2即：2bc+2ac+2ab 02 2 2(a - b) + ( a - c) + (b - c)0;/ a, b, c 为正数，且满足 abc = 1.( a - b)2 0; (a - c)2 0; (b - c)2 0 恒成立；当且仅当：a = b= c= 1 时取等号. 即(a-b)2+ (a- c)2+ (b- c)20 得证.t111故 + + Wa + b + c 得证.? ? ?(2)证(a+b)3+ (b+c)3+ (c+a)324 成立；即：已

21、知 a, b, c 为正数，且满足 abc= 1.(a+b )为正数；(b+c )为正数；(c+a)为正数；(a+b)3+ (b+c)3+ (c+a)33 (a+b)?(b+c)?(c+a)；当且仅当(a+b) = ( b+c) = ( c+a)时取等号；即：a= b= c= 1 时取等号；/ a, b, c 为正数，且满足 abc = 1.(a+b ) 2 v?( b+c) 2v?( c+a)2v?当且仅当 a= b, b = c； c= a 时取等号；即：a= b= c= 1 时取等号；(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33(a+b)?(b+c)?(c+a)3x8v?/?/?/?24a

22、bc=24；当且仅当 a= b = c= 1 时取等号；故(a+b)3+ (b+c)3+ (c+a)324.得证.故得证.12. (2018?北京)设 n 为正整数，集合 A= a|a=(t1, t2,tn), tk0, 1 , k= 1 , 2, n，对于集合 A 中的任意元素a=(X1,X2,，xn)和3=(y1, y2,yn),记 M(a,13)=(X1+y1-|X1-y11)+(X2+y2-|X2-y2|)+(Xn+yn-|xn-yn|).(I)当 n=3 时，若a=(1,1,0), 3=(0,1,1)，求 M(a, a)和 M(a, 3)的 值；()当 n= 4 时，设 B 是 A

23、的子集，且满足：对于B 中的任意元素a, 3,当a, 3相同时，M (a, 3)是奇数；当a, 3不同时，M (a, 3)是偶数.求集合 B 中元素个数的 最大值；第 11 页(共 15 页)(川)给定不小于 2 的 n 设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素a,3,M(a, 3)= 0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由.【解答】 解：(I)M(a, a) =1 + 1+0=2,M( a, 3) =0+1+0=1分别为 0、0、0、1,所以 B 中的每个元素应有奇数个 1,所以 B 中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1 , 0, 0,

24、 0 )、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1),(0, 1, 1, 1)、 (1, 0, 1, 1)、 (1, 1, 0, 1)、 (1, 1, 1, 0),对于任意两个只有 1 个 1 的元素a,3都满足 M(a,3)是偶数，所以四元集合 B = (1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1) 满足题意,假设 B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1 个含有 3 个 1 的元素a,则互补元素中含有 1 个 1 的元素3与之满足 M(a, 3) =1 不合题意，

25、故 B 中元素个数的最大值为4 (川)B = (0, 0, 0,0), ( 1, 0, 0，0), (0 , 1 , 0，0), (0 , 0 , 1 0),(0 , 0, 0,1) ,此时 B 中有 n+1 个元素，下证其为最大.对于任意两个不同的元素a, 3,满足 M(a,3)= 0,贝U a,3中相同位置上的数字不能同时为 1 ,假设存在 B 有多于 n + 1 个元素，由于a=(0,0,0,0)与任意元素3都有 M( a ,3) =0,所以除(0 , 0 , 0 ,0)外至少有 n+1 个元素含有 1 ,根据元素的互异性， 至少存在一对a,3满足 Xi= yi= l,此时 M (a,3

26、) 1 不满足题意，故 B 中最多有 n+1 个元素.13.(2018?新课标I)已知 f (x)= |x+1| - |ax- 1|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) 1 的解集;(II )考虑数对(Xk,yk)只有四种情况:(0,0)、0,1 )、1,0)( 1 ,1)，相应的第 11 页(共 15 页)(2)若 x (0 , 1 )时不等式 f (x) x 成立，求 a 的取值范围.2,? 1 【解答】 解：(1)当 a = 1时，f (x)= X+1| - |x- 1|= 2? - 1 1, 2?1或21,-1W?1解得 x2.,1故不等式 f (x) 1 的解集为(-，

27、+a),2(2 )当 x (0, 1 )时不等式 f (x) x 成立,/ |x+1| - |ax - 1| - x 0,即 x+1 - |ax- 1|- x0,即 |ax- 1|v1, 1vax-1v1,/ 0vaxv2,x (0 , 1), a 0 ,20vxv? av2?2 2 ,?0vaw2,故 a 的取值范围为(0 , 2.14. (2018?新课标H)设函数 f(x)= 5- |x+a|-|x 2|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) 0 的解集；(2 )若 f (x)w1,求 a 的取值范围.2?+ 4,?W-1【解答】 解：(1)当 a = 1 时，f (x)=

28、5- |x+1| - |x- 2|= 2,- 1v?v2 -2? + 6,? 2当 xW-1 时，f (x)= 2x+4 0,解得-2Wx 0 恒成立，即-1vxv2 ,第 12 页(共 15 页)第 14 页(共 15 页)当 x 2 时，f( X)=- 2x+6 0,解得 2wXW3,综上所述不等式 f ( x) 0 的解集为-2, 3,(2)Tf(x)1, 5 - |x+a| - |x - 2| 4, |x+a|+|x 2|= x+a|+|2- x| |x+ a+2 x|= |a+2|, |a+2p4,解得 a2,故 a 的取值范围(-a, -6U2,+s).215.(2017?新课标I

29、)已知函数 f (x)=- x +ax+4, g (x)= |x+1|+|x- 1|.(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x) g (x)的解集；(2)若不等式 f (x) g (x)的解集包含-1, 1,求 a 的取值范围.【解答】解：(1)当 a = 1 时，f (x)=- x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=2的二次函数，2? ?1g(x)=|x+1|+|x-1|= 2,- 1w?w1,-2?,?W- 1当 x (1 , +a)时，令-x2+x+4 = 2x，解得当 x - 1 , 1时，g (x)= 2, f (x) f (- 1 )= 2.当 x(-a,-1)时，g(x)单调递减，f ( X)单调递增，且 g(-1)=f(-1)=2.故 a 的取值范围是-1, 1.16.(2017?新课标H)已知 a 0, b 0, a3+ b3= 2证明:(1) (a+b) (a5+b5) 4;增，f （乂）在（1, +a）上单调递减，.此时f （ x） g （ X）的解集为（1,7-12综上所述,f ( x)