2017_2018学年高中数学复习课(一)导数及其应用教学案新人教A版选修2_2

1、i复习课(一)导数及其应用1常考点一导数的概念及几何意义的应用(1) 近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现.(2) 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点.考点精要(1) 已知切点A(xo,f(xo)求斜率k，即求该点处的导数值：k=f(Xo)；(2) 已知斜率k,求切点A(xi,f(xi)，即解方程f(xi) =k；(3) 已知过某点Mxi,f(xi)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(xo,f(xo), 利用k=f(xi)-f(xo)求解.Xixo典例(全国卷n)已知f(x)为偶函数，当xW0时，f(x) = eJix，则曲

2、线y=f(x) 在点(i,2)处的切线方程是_.解析 设x0，则xv0,f( x) = exi+x.Tf(x)为偶函数，f( x) =f(x),xif(x) = e +x.当x0 时，f(x) = exi+ i,f (i) = eii+ i = i +1 = 2.曲线y=f(x)在点(i,2)处的切线方程为y 2= 2(x i)，即 2xy= 0.答案2xy= 0类题通法(1) 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况1若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.2如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.(2) 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，

3、y=x3在(i,i)处的切线I与y=3x的图象还有一个交点(一 2, 8).题组训练xi.曲线y=xr在点(i， i)处的切线方程为()A. y= 2x+ iC. y= 2x 3B. y= 2x iD.y= 2x 22解析：选 A.y =x (x+ 2) -x(x+ 2)(x+ 2)22(x+ 2)2，32:k=1=(_1+2)2=2,切线方程为：y+ 1 = 2(x+ 1)，即y= 2x+ 1.22.已知曲线y=x+ inx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+ 2)x+ 1 相切，则a=1解析：y=X+inx , y=1+x， z.yz|x=1= 2.曲线y=x+ inx在点(1,1

4、)处的切线方程为y- 1= 2(x 1)，即y= 2x- 1.法一：y= 2x- 1 与曲线y=ax2+ (a+ 2)x+ 1 相切，az0(当a= 0 时曲线变为y= 2x+1 与已知直线平行).由y=2x-1，y=ax+ (a+ 2)x+ 1,消去y,得ax2+ax+ 2 = 0.2由 =a 8a= 0,解得a= 8.22法二：设y= 2x 1 与曲线y=ax+ (a+ 2)x+ 1 相切于点(xo,axo+ (a+ 2)xo+ 1).Ty= 2ax+ (a+ 2),y |x=xo= 2axo+ (a+ 2).孑 2axo+ (a+2)=2,|xo= ,由2解得2axo+ (a+ 2)xo

5、+1 = 2xo 1,-la= 8.答案：8若函数f(x)在(a,b)内可导，贝 yf(X)在(a,b)任意子区间内部不恒等于0.f(x) 0?函数f(x)在(a,b)上单调递增；1题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现， 难度则以中等偏上为主， 主要考查求函数的单调区间、 证明或判断函数的单调性等问题。2在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中,只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“U”连接.考点精要函数的单调

6、性与导函数值的关系當考点二导数与函数的单调性4f( x)v0?函数f(x)在(a,b)上单调递减.反之，函数f(x)在(a,b)上单调递增？f(x) 0；函数f(x)在(a,b)上单调递减？f(x)w0.即f(x) 0(f(x)v0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件.a典例 已知函数f(x) =x+x+b(x丰0)，其中a,b R.x(1) 若曲线y=f(x)在点P(2 ,f(2)处的切线方程为y= 3x+ 1,求函数f(x)的解析式；(2) 讨论函数f(x)的单调性并求出单调区间.a解f(x) = 1-孑(1) 由导数的几何意义得f=3，即 1-a= 3,a= 8.由切点P(2 ,f

7、(2)在直线y= 3x+ 1 上,得f(2) = 3X2+ 1= 7 则一 2+b= 7,解得b= 9,8函数f(x)的解析式为f(x) =x-+9(XM0).x(2) 当a0(x*0),这时f(x)在(一g,0),(0,+s)上是增函数.当a0 时，由f(x) = 0,解得x=a.当xv卫或x,a时，f(x) 0；当 一 .avxv0 或 0vxva时，f(x)v0.f(x)在(一g,a),(a,+g)上是增函数，在(0a), ( a, 0)上是减函数.类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1) 确定函数f(x)的定义域.(2) 计算函数f(x)的导数f(x).(3) 解不等式f(x) 0,得

8、到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)v0,得到函数f(x)的递减区间.提醒 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误.题组训练21._ 设函数f(x)=x+ 3x 4,则y=f(x+ 1)的单调递减区间为 _ .解析：由f(x) =x2+ 3x 4，令f(x)v0，即x2+ 3x 4v0，解得一 4vx0在 R 上恒成立，12x,/xTf(x)=尹 + 2xae , f(x) = x+ 2 ae ,于是有不等式x+ 2 aex0在 R 上恒成立，2 一x即a0 在(a,b)上成立，是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.对于可导函数f(x) ,f(X

9、o) = 0 是函数f(x)在x=Xo处有极值的必要不充分条件. 2利用导数求函数极值应注意三点(1) 求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f(xo) = 0 时，xo不一定是极值点；(3) 求最值时， 应注意极值点和所给区间的关系， 关系不确定时应分类讨论.典例 已知函数f(x)=ax+bx+c在点x= 2 处取得极值c16.(1) 求a,b的值；(2) 若f(x)有极大值 28,求f(x)在3,3上的最小值.解(1)因为f(x) =ax3+bx+c,2故f(x) = 3ax+b.由于f(x)在点x= 2 处取得极值c 16,a= 1,解得*b=12.3由(1 )知f

10、(x) =x 12x+c;2f (x) = 3x 12 = 3(x 2)(x+ 2).令f(x) = 0,得X1= 2,X2= 2.当x(a, 2)时，f(x)0,故f(x)在(a, 2)上为增函数；当x ( 2,2)时，f(x)0,故f(x)在(2,+a)上为增函数.由此可知f(x)在x= 2 处取得极大值f( 2) = 16 +c,f(x)在x= 2 处取得极小值f(2) =c 16.f(2)=0,=c16,12a+b= 0,即0.x x(1) 当a0，函数f(x)为(0 ,+)上的增函数，函数f(x)无极值；(2) 当a0 时，由f(x) = 0，解得x=a.又当x (0 ,a)时，f(

11、x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a) =aalna,无极大值.综上，当aW0时，函数f(x)无极值；当a0 时，函数f(x)在x=a处取得极小值aalna,无极大值.1 + lnx2.已知函数f(x) =(x 1),x(1) 试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；k(2) 若f(x) -7 恒成立，求实数k的取值范围.解:8/x 1 , Inx0,二f( x)w0.故函数f(x)在1,g)上单调递减.91再令h(x) =x-Inx，则h(x) = 1-xx 1,贝 yh(x) 0,.h(x)在1,+R)上单调递增.h(x)min=h(1) = 10,从而g(x)0

12、,故g(x)在1,+s)上单调递增，:g(x)min=g(1)=2,.kw2.故实数k的取值范围为(一a,2.生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查， 也可以解答题形式考查，难度中低档.考点精要(1) 解决优化问题的策略1要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.2要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.(2) 求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的 值应舍去.(3) 在实际问题中，由f(x)= 0 常常

13、仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000n元(n(2) x 1,(x+ 1)(1 + Inx)x令g(x)=(x+ 1)(1 + Inx(x)=(x+ 1)(1 + InX)x-(x+ 1)(1 + Inx)x- Inx常善点四10为圆周率).(1) 将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义

14、域.(2) 讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解因为蓄水池侧面的总成本为100 2nrh= 200nrh(元)，底面的总成本为160nr2元，所以蓄水池的总成本为(200nrh+ 160nr2)元.又据题意知 200nrh+ 160nr= 12 000n,12所以h=乔(300 4r),n3从而V(r) =nr h= (300r 4r).5因为r0,又由h0 可得rv5 3,故函数V(r)的定义域为(0,5 , 3).n3(2)因为V(r) = y(300r 4r),所以 V(r)=n(300 12r2).5令 V() = 0,解得r1= 5,2= 5(因r2=

15、 5 不在定义域内，舍去).当r (0,5)时，V(r) 0,故V(r)在(0,5)上为增函数；当r (5,53)时，V(r)v0,故V(r)在(5,5 - 3)上为减函数.由此可知，V(r)在r= 5 处取得最大值，此时h= 8.即当r= 5,h= 8 时，该蓄水池的体积最大.类题通法利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1) 分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题， 即列出函数关系y=f(x)，根据实际问题确定y=f(x)的定 义域.(2) 求方程f(x) = 0 的所有实数根.(3) 比较导函数在各个根和区间端点处的函数

16、值的大小，根据实际问题的意义确定函数 的最大值或最小值.题组训练111书店预计一年内要销售某种书15 万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30 元，每千册书存放一年要耗库存费40 元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分 _次进货、每次进 _ 册，可使所付的手续费与库存费之和最少.解析：设每次进书x千册(0vxv150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投44124 50020(x+ 15)(X 15)2+ 20=2xx当 0vxv15 时，yv0，当 15vxv150 时，y 0. 故当x= 15 时，y取得最小值，150此时进货次数为 右=10(次).15即该书店分 10 次进货

17、，每次进 15 000 册书，所付手续费与库存费之和最少.答案：1015 0002. 一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时 10 千米时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？33解：设轮船速度为x(x 0)千米/时的燃 料费用为Q元，贝yQ=kx,由 6 =kx10 ,可得X 世中 (33、13296总费用y= 500 x+96x= 500 x+6x96y=矿x7.令y=0，得x=20当x (0,20)时，yv0，此时函数单调递减，当x (20,+)时，y 0,此时函数单调递增.当x

18、= 20 时，y取得最小值，此轮船以 20 千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小.回扣验收特训x1.函数f(x) = e cosx的图象在点(0 ,f(0)处的切线的倾斜角为()nA. ax解析：选 A 由f(x) = e (cosx sinx)，则在点(0 ,f(0)处的切线的斜率k=f (0)n=1，故倾斜角为，选 A.13122.已知函数f(x) =乂+cx+d有极值，则c的取值范围为()1A. c v-放市场，则平均库存量为批量一半，即2,故有y=150 xxX30+2X40,y，=3k= 500.500 xB. 0C.3n4D. 11B. c0,解3. 函数y= Inxx在x (0

19、 , e上的最大值为()A. eB. 1C. 1D. e11 x解析：选 C 函数y= Inxx的定义域为(0 ,+)，又y= -1-，令y= 0 z.z.得x= 1,当x (0,1)时，y 0,函数单调递增；当x (1 , e)时，y 0,函数单调递减.当x= 1 时，函数取得最大值1,故选 C.4. 函数f(x) =x2+ 2Mnx(m0)的单调递减区间为()A. (0，+m)B.(0, ，mC.( m+m)D.(0,mu ( m+ 8)解析：选 B 由条件知函数f(x)的定义域为(0,+8).因为n0,则f(x) =2(x+,m(x-.-m.x当x变化时，f(x) ,f(x)的变化情况如

20、下表：x(0, vmp-m(Vm+8)f(X)0+f(x)极小值7由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,m, 单调递增区间是(p-m+m).15.已知函数f(x) =3x3+ 2x2+2x,若存在满足 0Wxc 414的极小值点，贝Ua=()A. 4B. 215C. 4解析：选 D 由题意得f(x) = 3x3 4 12,令f(x) = 0 得x= 2,.当xv2 或x 2 时，f(x)0;当一 2vxv2 时，f(x)v0,Af(x)在(g,2)上为增函数，在(一 2,2)上为减函数，在(2 ,+)上为增函数.Af(x)在x= 2 处取得极小值，Aa= 2.7._已知函数f(x) =

21、 (2x+ 1)ex,f(x)为f(x)的导函数，贝U f (0)的值为_ .解析：因为f(x) = (2x+ 1)ex,所以f (x) = 2ex+ (2x+ 1)ex= (2x+ 3)e：所以f (0) = 3e= 3.答案：33 2 2&设xi,X2是函数f(x) =x 2ax+a x的两个极值点，若xiv2vx2,则实数a的取值 范围是_ .解析：由题意得f(x) = 3x2 4ax+a2的两个零点xi,X2满足xiv2vX2,所以f (2) =12 8a+av0，解得 2vav6.答案：(2,6)9. 已知函数f(x) = x+ax 4 在x= 2 处取得极值，若mn 1,1

22、，则f(+f(n)的最小值是_.解析：f(x) = 3x2+ 2ax，根据已知f=0,得a= 3，即f(x) =x5+ 3x2 4. 根据函数f(x)的极值点，可得函数f(n) 在 1,1上的最小值为f(0) = 4 ,f(n) = 3n2+ 6n在1,1上单调递增，所以f(n)的最小值为f ( 1) = 9. f(m) +f (n)min=f(mmin+f(n)min=4 9 = 13.答案：1310.请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A, B, C, D四个点重合于图中的点P,正好形成一

23、个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE= FB= x(cm).3若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？34某厂商要求包装盒的容积V(cm )最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值.解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).D. 216DC1760 2x由已知得a= 2x,h=:一= 2(30 x),0 x0;当x (20,30)时，V 1，证明当x (0,1)时，1+ (c 1)xcx.1解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0 ,+) ,f(x) =- 1，令f(x) = 0,解得x=x1.当 0vxv1 时，f(x) 0,f(x)单调递增；当x 1 时，f(x)v0,f(x)单调递减.(2)证明：由(1)知，f(x)在x= 1 处取得最大值，最大值为f(1) = 0.所以当x工1时，Inxvx 1.1 1 故当x(1,+s)时，In